En el siguiente taller, se estudiarán distintos ejercicios que involucran el uso de modelos de probabilidad, se detalla el uso de los modelos involucrados y en base a estos, se realizarán los distintos puntos a tratar en los ejercicios
En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.
Para este ejercicio claramente emplearemos el modelo de distribución normal, enfocado a variables de tipo continuo, como es nuestro caso
Consideraremos entonces:
\(x \sim Normal(\mu,\sigma)\)
Donde:
\(x:\) Distribución del contenido de agua en las botellas.
\(\mu= 500\) promedio del agua por botella
\(\sigma=5\) desviación estándar del agua por botella
\(x \sim Normal(\mu=500,\sigma=5)\)
Para determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml, aplicaremos la respectiva distribución normal encontraremos la probabilidad de contenido en las botellas para 490 y 510 ml de manera individual
prob490 = pnorm(490, mean = 500, sd = 5, lower.tail = TRUE)
prob510 = pnorm(510, mean = 500, sd = 5, lower.tail = TRUE)El porcentaje será entonces esta diferencia multiplicada por cien, por tanto, 95.45% es el porcentaje de botellas que se fabrican en la envasadora que tienen un contenido de agua entre 490 y 510 mililitros.
En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%.
Este ejercicio también emplea el modelo de distribución normal, pero con la variación de que la media no es dada, consideremos:
\(x:\) tamaño de la población.
\(\mu= ¿?\) media de la población.
\(\sigma=10\) desviación estándar de la población.
\(x \sim Normal(\mu=¿?,\sigma=10)\)
Entonces, nuestro primer punto, consistirá en encontrar \(\mu\)
Para determinar la media utilizaremos los puntajes Z, de la forma:
\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)
Como la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50% es de 20%, significa entonces que la probabilidad de que una observación sea menor o igual a 50 es del 80% (o 0.80), \(p(x≤50) = 1 - p(x>50)\), esto permitirá encontrar el valor de Z y por ende \(\mu\):
zValor <- qnorm(0.8)El cual es 0.8416. Para calcular la media despejamos está en la fórmula de los puntajes Z:
\(\mu=x-Z\sigma\)
Por tanto, la media de la población será de:
mu <- 50-((zValor)*10)\(x \sim Normal(\mu=41.6,\sigma=10)\)
Para esto consideraremos:
\(P(x>a)=0.05\)
Que es igual a
\(1 - P(x≤a)\)
Es decir un 0.95, por ende debemos encontrar la probabilidad acumulada hasta ese valor, para hallar ‘a’, vamos a reconsiderar los puntajes Z, para una probabilidad del 0.95:
zValor95 <- qnorm(0.95)y su resultado (1.64), se reemplazará en la ecuación de puntaje Z despejada en terminos de x:
\(x=Z\sigma+\mu\)
Por tanto, 58.03 es el valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones
De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más. Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p=0.6, encuentre las siguientes probabilidades.
Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.
Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.
Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.
Más de dos de ellos tengan menos de 14 años.
Para este ejercicio consideraremos entonces la distribución binomial, pues tenemos un número fijo de ensayos (n) y una probabilidad de éxito en cada uno, la cual corresponde a la probabilidad de que un libro sea comprado por un niño de 14 años o más. En base a esto consideremos:
\(x \sim Bin(n,p)\)
Donde:
\(x:\) Número de lectores de 14 años o más entre los 12 entrevistados
\(n=12\) Número de entrevistados
\(p=0.6\) Probabilidad
En base a esto, pasaremos a la resolución de cada punto:
a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.
Para determinar esta probabilidad vamos a considerar:
\(P(x≥5)\)
Calcularemos \(P(x<5)\):
resultA = pbinom(4, 12, 0.6, lower.tail = FALSE, log.p = FALSE)R se limita a calcular \(P(x>5)\), sin incluir el 5, motivo por el cual se partio desde 4. Por tanto,la probabilidad de que al menos cinco de los entrevistados tuvieran 14 años o más es de 0.9427 o 94.27%
b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.
Para determinar esta probabilidad vamos a considerar exactamente:
\(P(x=9)\)
resultB = dbinom(9, 12, 0.6, log = FALSE)Por tanto, la probabilidad de que nueve de los entrevistados tuvieran 14 años o más es de 0.1419 o 14.19%
c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.
Para determinar esta probabilidad vamos a considerar:
\(P(x≤3)\)
resultC = pbinom(3, 12, 0.6, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)Por tanto, la probabilidad de que tres o menos de los entrevistados tuvieran 14 años o más 0.0153 o 1.53%.
d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años.
Para este punto debemos de tener en cuenta la probabilidad de que los lectores tuviesen 14 años o menos, como 60% equivale a la probabilidad de que tengan 14 años o más, entonces, el complemento, equivaldrá a la probabilidad deseada, o sea 40% o 0.40.
Los nuevos valores serán:
\(y:\) Número de lectores de 14 años o menos entre los 12 entrevistados
\(n=12\)
\(p=0.4\)
Entonces:
resultD = pbinom(1, 12, 0.4, lower.tail = FALSE, log.p = FALSE)Por tanto, la probabilidad de que más de dos de los entrevistados tengan menos de 14 años 0.9804 o 98.04%