En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, queremos determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.
Para abordar este problema, debemos calcular el porcentaje de botellas que contienen entre 490 ml y 510 ml de agua, sabiendo que la cantidad de agua se distribuye de manera normal con una media de 500 ml y una desviación estándar de 5 ml.
x1 <- 490
x2 <- 510
mu <- 500
sigma <- 5
# En esta parte calculamos los valores necesarios
z1 <- (x1 - mu) / sigma
z2 <- (x2 - mu) / sigma
# Aqui vamos a calcular el porcentaje de botellas entre 490 ml y 510 ml
percentage <- (pnorm(z2) - pnorm(z1)) * 100
percentage## [1] 95.44997Al usar la distribución normal con una media de 500 ml y una desviación estándar de 5 ml, encontramos que el 95% de las botellas producidas contienen entre 490 ml y 510 ml de agua. Esto implica que, con los datos proporcionados, la mayoría de las botellas cumplen con este rango específico.
En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine:
A. La media de la población.
B. El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones
Para abordar este ejercicio, es necesario utilizar la distribución normal y la información proporcionada para determinar la media de la población y el valor que deja el 5% de las observaciones por encima de este.
# Datos brindados
p1 <- 0.80 # Esta es la probabilidad acumulada para cuando X = 50
sigma <- 10
# A. Determinar la media de la población
# Vel valor a observar de la X
X1 <- 50
# Valor de Z que se relaciona con p1
z1 <- qnorm(p1)
# Media mu
mu <- X1 - z1 * sigma
mu## [1] 41.58379# B. Determinar el valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones
p2 <- 0.95 # Esta es la probabilidad acumulada para el percentil 95
# Valor de Z correspondiente a p2
z2 <- qnorm(p2)
# Valor X correspondiente
X2 <- mu + z2 * sigma
X2## [1] 58.03232Estos resultados muestran que, en una población con una distribución normal y una desviación estándar de 10, la media es aproximadamente 41.58. Esto indica que la mayoría de las observaciones se centran alrededor de este valor promedio. Además, solo el 5% de las observaciones se encuentran por encima de 58.03, lo que sugiere que es poco común observar valores tan altos en esta población. En otras palabras, valores mayores a 58.03 son excepcionales en este conjunto de datos.
De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más.2 Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p=0.6, encuentre las siguientes probabilidades.
A. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.
B. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.
C. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.
D. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años
El problema se enfoca en evaluar la probabilidad de que cierto número de entre un grupo de 12 aficionados de Harry Potter, quienes adquirieron libros recientemente, tengan 14 años o más, considerando que el 60% de los compradores pertenecen a este grupo de edad. Para ello, empleamos la distribución binomial para calcular estas probabilidades, asumiendo que cada aficionado tiene una probabilidad del 60% de ser mayor de 14 años.
Concretamente, buscamos determinar las probabilidades de que al menos cinco, exactamente nueve, tres o menos, y más de dos de estos 12 aficionados cumplan con el criterio de edad. Este enfoque probabilístico nos brinda una mejor comprensión sobre la distribución de edades entre los compradores de libros de Harry Potter.
# Datos
n <- 12 # Número de aficionados entrevistados
p <- 0.6 # Probabilidad de que un aficionado tenga 14 años o más
# a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más
# P(X >= 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - P(X <= 4)
prob_a <- 1 - pbinom(4, n, p)
prob_a## [1] 0.9426901# b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más
# P(X = 9)
prob_b <- dbinom(9, n, p)
prob_b## [1] 0.141894# c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más
# P(X <= 3)
prob_c <- pbinom(3, n, p)
prob_c## [1] 0.01526727# d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años
# Probabilidad de que tengan menos de 14 años es q = 1 - p = 0.4
q <- 1 - p
# P(Y > 2) donde Y es el número de aficionados menores de 14 años
# Y ~ Binomial(n, q)
# P(Y > 2) = 1 - P(Y <= 2)
prob_d <- 1 - pbinom(2, n, q)
prob_d## [1] 0.9165567La probabilidad de que al menos cinco de los 12 aficionados entrevistados tengan 14 años o más es considerablemente alta (94.2%), lo que indica que es bastante común que los lectores de Harry Potter en este grupo de edad adquieran los libros. Por otro lado, la probabilidad de que exactamente nueve de ellos tengan 14 años o más es moderada (14.1%), lo que sugiere que es razonablemente posible encontrar un número específico de compradores dentro de este rango de edad.
Sin embargo, la probabilidad de que tres o menos de los entrevistados sean mayores de 14 años es bastante baja (1.5%), lo que demuestra que es poco frecuente encontrar un grupo de 12 compradores donde tan pocos sean mayores de 14 años.
En cuanto a los lectores más jóvenes, la probabilidad de que más de dos de los 12 aficionados entrevistados tengan menos de 14 años es alta (91.6%). Esto sugiere que aunque muchos compradores son mayores de 14 años, también es común encontrar varios compradores menores de 14 años en un grupo de 12. Esto refleja que la mayoría de los compradores de libros de Harry Potter son adolescentes y adultos, pero aún hay una presencia significativa de lectores más jóvenes.