EJERCICIO 1.

En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.

Modelo Normal

Para resolver el problema se usa la distribución normal estándar (Z) para calcular el contenido de botellas de agua entre 490 y 510 ml. \(X \sim Normal(\mu= 500,\sigma=5)\)

Primero se deben convertir los valores en terminos de Z para después buscar los datos en la tabla de distribución normal.

\(z =\frac {x - \mu}{\sigma}\)

Donde: \(x\) Es el valor que queremos convertir. \(\mu=500ml\) Es la media. \(\sigma=5ml\) Es la desviación estándar
Se deben encontrar las probabilidades 410 y restarle la probabilidad en 510

litros=rnorm(490,500,5)
hist(litros,xlab="Litros de agua en las botellas",ylab="Cantidad de botellas",col="#00FFFF")

El porcentaje de botellas que se fabrican en 490: 0.9772499

El porcentaje de botellas que se fabrican en 510: 0.0227501

#Probabilidad en 490 ml
prob_490=pnorm(490, 500, 5)

#Probabilidad acumulativa en 510 ml
prob_510=pnorm(510, 500, 5)

Para obtener el resultado del porcentaje de botellas que se fabrican entre 490 y 510ml:

#Porcentaje de botellas entre 490 y 510 ml
porcentaje_entre_490_y_510=prob_510 - prob_490
porcentaje_entre_490_y_510
## [1] 0.9544997

El porcentaje que representan es de \(x=0.9544997*100%\), siendo esto el 95.44997% de las botellas, lo que quiere decir que al menos el 95% alcanzan el valor esperado de ml, siendo un valor alto.

EJERCICIO 2.

En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine: a. La media de la población. b. El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones

\(\sigma=10\)

Datos proporcionados

probabilidad_mayor_50 = 0.20 # Probabilidad de que una observación sea mayor de 50 desviacion_estandar = 10 # Desviación estándar de la población

Calculando el valor de Z correspondiente a una probabilidad de 0.20 z_value = qnorm(1 - probabilidad_mayor_50)

Usando la fórmula Z = (X - media) / desviacion_estandar para calcular la media de la población Dado que Z = (X - media) / desviacion_estandar y Z = qnorm(1 - probabilidad_mayor_50), podemos despejar la media: media = X - Z * desviacion_estandar media = 50 - z_value * desviacion_estandar

# Datos proporcionados
probabilidad_mayor_50 = 0.20 # Probabilidad de que una observación sea mayor de 50
desviacion_estandar = 10 # Desviación estándar de la población

# Calculando el valor de Z correspondiente a una probabilidad de 0.80 (porque 1 - 0.20 = 0.80)
z_value = qnorm(0.80)

# Usando la fórmula Z = (X - media) / desviacion_estandar para calcular la media de la población
# Dado que Z = (X - media) / desviacion_estandar y Z = qnorm(0.80), podemos despejar la media:
# media = X - Z * desviacion_estandar
media = 50 - z_value * desviacion_estandar

# Resultados
media
## [1] 41.58379
  1. La media es 41.5837877
# Para encontrar el valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones,
# necesitamos encontrar el valor Z correspondiente al percentil 95.
# Usamos la función qnorm para calcular el valor Z correspondiente al percentil 95.

percentil_95 = qnorm(0.95)

# Usamos la fórmula Z = (X - media) / desviacion_estandar para calcular X (el valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones)
# Despejando X obtenemos:
# X = media + Z * desviacion_estandar
valor_por_encima_del_cual_5_por_ciento = media + percentil_95 * desviacion_estandar

# Resultados
valor_por_encima_del_cual_5_por_ciento
## [1] 58.03232

El valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones es 58.0323239.

EJERCICIO 3.

De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más. Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p=0.6, encuentre las siguientes probabilidades.

  1. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.

  2. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.

  3. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.

  4. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años

Modelo Binomial

Para resolver el problema se usa la distribución binomial. Sea \(X:\) # de aficionados de 14 años o más. \(X \sim Binomial(n=12,p=0.6)\)

Empecemos generando una muestra de datos binomiales.

simulaciones = rbinom(1000,12,0.6)

  1. La probabilidad de que al menos cinco de ellos tenían 14 años o más es: 0.934

  2. La probabilidad de que exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más es: 0.135

  3. La probabilidad de que tres o menos de ellos tenían 14 años o más es: 0.016

En la d hay una variación, nos preguntan por aquellos que tengan menos de 14 años, así que ya no podemos usar \(p=0.6\) ya que es la probabilidad de libros comprados por lectores de 14 años o más. En este caso, debemos usar \(p=0.4\) debido a que es la probabilidad de libros comprados por lectores que tienen menos de 14 años.

simulaciones2 = rbinom(1000,12,0.4)
  1. La probabilidad de que más de dos de ellos tengan menos de 14 años es: 0.924