Ejercicio 1

En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.

Sea \(Y:\) el contenido de las botellas de agua purificada en mililitros.

\(Y\sim Normal(\mu=500, \sigma=5)\).

Se necesita hallar la probabilidad de que \((490\leq Y \leq510)\).

Se crea una simulación de mil datos, para representar la distribución normal del ejercicio.

cantAgua = rnorm(1000,500,5)
hist(cantAgua, main="Histograma de cantidad de agua", xlab="Mililitros", ylab="Cantidad de botellas")

probabilidad = pnorm(510,500,5) - pnorm(490,500,5)

La probabilidad de que las botellas que se fabrican tengan entre 490 y 510 ml es de 0.9545.

Esto significa que al rededor del 95.45% de las botellas fabricadas contendrán entre 490 y 510 ml de agua purificada.

Ejercicio 2

En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine:

a) La media de la población.

Sea \(X:\) el valor de la observación.

\(X\sim Normal(\mu=?, \sigma=10)\)

Sabiendo que se debe cumplir que \(P(X>50)=0.2\), se puede reescribir así: \(1−P(X≤50)=0.2\)

# Identificación de datos
sigma=10
x=50
probabilidad=0.20

# Hallar z
z = qnorm(1-probabilidad)

# Hallar el promedio, una vez encontrado z
mu=x-z*sigma

Obtenemos que la media de la población es de, 41.6


b) El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones.

Tenemos que \(X\sim Normal(\mu=41.6, \sigma=10)\), teniendo en cuenta que \(\mu=41.6\), obtenido en el ejercicio anterior.

Podemos realizar una simulación:

observacion = rnorm(1000,41.6,10)
hist(observacion, main = "Valores de Observaciones", xlab = "Valor",
     ylab= " Observaciones")


Ahora para tener en cuenta el valor por encima del 5% usamos: \(P(X>x)=0.05\), equivalente a \(1−P(X≤x)=0.05\).

Se tiene que:

\(1−P(X≤x)=0.05\)

\(P(X≤x)=−0.05+1\)

\(P(X≤x)=0.95\)

x=0.95

# Se halla el valor de z
z = qnorm(x)

# Se encuentra la probabilidad de que una observación esté por encima del valor hallado anteriormente (95%)
x2 = mu + sigma * z

Es decir que el valor por por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones es 58.032.

Ejercicio 3

De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más.2 Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p=0.6, encuentre las siguientes probabilidades.

Sea \(W:\) la cantidad de aficionados a Harry Potter con 14 años o más, que compraron libros en un año reciente.

Se observa que \(W\) sigue un modelo Binomial: \(W\sim Binomial (n=12, p=0.6)\)

Se puede realizar una simulación para ver la distribución binomial:

Lectores = rbinom(500,12,0.6)
barplot(table(Lectores), main="Histograma de lectores de 14 años o más", xlab="Cantidad de lectores con 14 años o más", ylab="Frecuencia")
abline(h=0, col="black")

a) Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.

Para hallar \(P(X≥5)\) lo podemos representar como \(1-P(X<5)\).

Primero se calcula la probabilidad de que la cantidad de aficionados sea menor a 5.

Después, se le resta este resultado a 1, que representa el total; indicando así la probabilidad de que la cantidad de aficionados sea mayor o igual a 5.

Aficionados = pbinom(4,12,0.6)
Probabilidad = 1-Aficionados

Como resultado se obtiene que la probabilidad de que al menos cinco de los aficionados a Harry Potter tengan 14 años o más es de 0.94269.


b) Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.

En este caso, se usa la función dbinom, ya que esta calcula la probabilidad de obtener exactamente 9 aficionados: \(P(X=9)\)

Aficionados = dbinom(9,12,0.6)

Como resultado se obtiene que la probabilidad de que exactamente 9 aficionados tengan 14 años o más es de 0.1419.


c) Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.

Se calcula la probabilidad de que \(P(X≤3)\)

Aficionados = pbinom(3,12,0.6)

Se obtiene que la probabilidad de que tres o menos de los aficcionados a Harry Potter tengan 14 años o más es de 0.01527.


d) Más de dos de ellos tengan menos de 14 años.

Al tener que el éxito es que los aficionados tengan más de 14 años, de \(p=0.6\), ahora que tengan menos de 14 años se considera el fracaso, así que \(p=0.4\).

Ya que necesitamos saber la probabilidad de más de dos de ellos, lo podemos expresar como \(P(X>2)\), que es lo que calculamos a continuación:

Aficionados = pbinom(2,12,0.4,lower.tail = FALSE)

Al poner lower.tail=FALSE, se puede calcular la probabilidad de que la variable de distribución normal sea mayor que \(x\).

Se obtiene la probabilidad de que dos o más aficionados a Harry Potter tengan menos de 14 años es de 0.9166.