En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.
1. Parámetros de la distribución: Se establece que la media es de 500 ml y la desviación estándar es de 5 ml.
2. Calculando los valores z para 490 ml y 510 ml: Se calculan los valores z para 490 ml y 510 ml utilizando la fórmula del valor z, que es (x - media) / desviación estándar.
3. Calculando las probabilidades usando la función pnorm: Se calculan las probabilidades correspondientes a los valores z utilizando la función de distribución acumulativa normal, pnorm.
4. Porcentaje de botellas entre 490 ml y 510 ml: Se calcula el porcentaje de botellas que tienen entre 490 ml y 510 ml restando la probabilidad correspondiente a 490 ml de la probabilidad correspondiente a 510 ml y multiplicando el resultado por 100.
5. Redondeando el porcentaje a dos decimales: Finalmente, se redondea el porcentaje a dos decimales utilizando la función sprintf para formatear el resultado como un porcentaje con dos decimales.
El porcentaje de botellas que contienen entre 490 ml y 510 ml de agua purificada es aproximadamente del 95.45%. Esto significa que casi todas las botellas producidas por la envasadora tienen un contenido de agua dentro de ese rango.
En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine:
1. Parámetros conocidos: Se establecen los parámetros conocidos. La desviación estándar (sigma) es 10, la probabilidad (prob) es 0.20 y el valor (valor) es 50.
2. Encontrando el valor z correspondiente a P(X > 50) = 0.20: Se calcula el valor z correspondiente a la probabilidad de que una observación aleatoria sea mayor que 50, que es 0.20. Para esto, se utiliza la función qnorm de R, que devuelve el cuantil correspondiente a una probabilidad dada en una distribución normal estándar. Como estamos buscando la probabilidad de que una observación sea mayor que 50, utilizamos 1 - prob en la función qnorm.
3. Calculando la media: Finalmente, se calcula la media de la población utilizando la fórmula para el valor z en una distribución normal, que es z = (x - media) / sigma. Resolviendo para la media, obtenemos media = x - z * sigma. En este caso, x es el valor (50), z es el valor z que acabamos de calcular y sigma es la desviación estándar (10).
Por lo tanto, la media de la población se calcula como
media_poblacion <- valor - z_valor * sigma.
1. Probabilidad para el percentil 95%: Se establece la probabilidad para el percentil 95% como 0.95.
2. Encontrando el valor z correspondiente al percentil 95%: Se calcula el valor z correspondiente al percentil 95% utilizando la función qnorm de R, que devuelve el cuantil correspondiente a una probabilidad dada en una distribución normal estándar.
3. Calculando el valor x correspondiente: Finalmente, se calcula el valor x correspondiente utilizando la fórmula para el valor z en una distribución normal, que es z = (x - media) / sigma. Resolviendo para x, obtenemos x = media + z * sigma. En este caso, la media es la media de la población que calculamos anteriormente, z es el valor z que acabamos de calcular y sigma es la desviación estándar (10).
Por lo tanto, el valor por encima del cual se encuentra el 5% de las
observaciones se calcula como
valor_95 <- media_poblacion + z_95 * sigma.
De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más. Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p = 0.6, encuentre las siguientes probabilidades:
1. Parámetros de la distribución binomial: Se establecen los parámetros de la distribución binomial. El número de ensayos (n) es 12 y la probabilidad de éxito (p) es 0.6.
2. Calculando la probabilidad de al menos 5: Se calcula la probabilidad de que haya al menos 5 éxitos en los 12 ensayos. Para esto, se utiliza la función de distribución acumulativa binomial, pbinom, que devuelve la probabilidad de que haya un número dado de éxitos o menos en n ensayos. Como estamos buscando la probabilidad de que haya al menos 5 éxitos, restamos la probabilidad de que haya 4 éxitos o menos de 1.
3. Redondeando el porcentaje a dos decimales: Finalmente, se redondea la probabilidad a dos decimales y se convierte en un porcentaje multiplicando por 100.
Por lo tanto, el porcentaje de que haya al menos 5 éxitos en los 12
ensayos se calcula como
porcentaje_al_menos_5 <- round(prob_al_menos_5 * 100, 2).
1. Calculando la probabilidad de exactamente 9: Se calcula la probabilidad de que haya exactamente 9 éxitos en los 12 ensayos. Para esto, se utiliza la función de densidad binomial, dbinom, que devuelve la probabilidad de que haya un número exacto de éxitos en n ensayos. En este caso, estamos buscando la probabilidad de que haya exactamente 9 éxitos.
2. Redondeando el porcentaje a dos decimales: Finalmente, se redondea la probabilidad a dos decimales y se convierte en un porcentaje multiplicando por 100.
Por lo tanto, el porcentaje de que haya exactamente 9 éxitos en los
12 ensayos se calcula como
porcentaje_exactamente_9 <- round(prob_exactamente_9 * 100, 2).
1. Calculando la probabilidad de 3 o menos: Se calcula la probabilidad de que haya 3 éxitos o menos en los 12 ensayos. Para esto, se utiliza la función de distribución acumulativa binomial, pbinom, que devuelve la probabilidad de que haya un número dado de éxitos o menos en n ensayos. En este caso, estamos buscando la probabilidad de que haya 3 éxitos o menos.
2. Redondeando el porcentaje a dos decimales: Finalmente, se redondea la probabilidad a dos decimales y se convierte en un porcentaje multiplicando por 100.
Por lo tanto, el porcentaje de que haya 3 éxitos o menos en los 12
ensayos se calcula como
porcentaje_tres_o_menos <- round(prob_tres_o_menos * 100, 2).
1. Probabilidad de que tengan menos de 14 años: Se calcula la probabilidad de que los aficionados tengan menos de 14 años. Como la probabilidad de que tengan 14 años o más es 0.6 (p), la probabilidad de que tengan menos de 14 años es 1 - p.
2. Calculando la probabilidad de más de 2 tengan menos de 14: Se calcula la probabilidad de que más de 2 de los 12 aficionados tengan menos de 14 años. Para esto, se utiliza la función de distribución acumulativa binomial, pbinom, que devuelve la probabilidad de que haya un número dado de éxitos o menos en n ensayos. Como estamos buscando la probabilidad de que haya más de 2 éxitos, restamos la probabilidad de que haya 2 éxitos o menos de 1.
3. Redondeando el porcentaje a dos decimales: Finalmente, se redondea la probabilidad a dos decimales y se convierte en un porcentaje multiplicando por 100.
Por lo tanto, el porcentaje de que más de 2 de los 12 aficionados
tengan menos de 14 años se calcula como
porcentaje_mas_de_2_menos_14 <- round(prob_mas_de_2_menos_14 * 100, 2).