Taller 3 - parte 2
Estadística y probabilidad
Fecha de entrega: viernes 24 de mayo, 2024
Distribuciones discretas: Binomial y Poisson
Distribuciones continuas: Uniforme y Normal

Autor

Roberto Trespalacios

Observaciones

El taller puede hacerse en grupo de tres estudiantes.
Se debe subir a SAVIO un archivo pdf con la solución de los problemas a mano o computador.
Solo un estudiante debe subir el taller y en el encabezado de cada archivo deben estar los nombres y apellidos de los integrantes del grupo.
El archivo debe tener el nombre siguiente:

Nombre_Apellido_estudiante1_Nombre_Apellido_Estudiante2_Nombre_Apellido_Estudiante3_taller_2_codigo_curso.pdf

Problemas

Distribuciones discretas

Suponiendo que según los últimos datos del I.N.E. (Instituto Nacional de Estadística) la probabilidad de nacimiento de niñas en la población española es 0.51, averiguar la probabilidad de que una familia de seis hijos tenga:
1. como mínimo una niña.
2. como mínimo un niño.
3. la mitad sean niñas.
4. calcule la media y la varianza de la distribución.
La probabilidad de que un paciente se recupere de una extraña enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esa enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que:
1. al menos 10 sobrevivan?
2. sobrevivan entre 3 y 8 personas?
3. sobrevivan exactamente 5 personas?
4. calcule la media y la varianza de la distribución.
La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Biología es 0.3. Hallar la probabilidad de que de un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso:
1. Ninguno de los siete finalice la carrera.
2. La finalicen todos.
3. Al menos dos acaben la carrera.
4. Hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acaban la carrera.
Un comprador de grandes cantidades de circuitos integrados ha adoptado un plan para aceptar un envío de éstos, que consiste en inspeccionar una muestra de 100 circuitos provenientes del lote. Si el comprador encuentra no más de dos circuitos defectuosos en la muestra, acepta el lote; de otra forma, lo rechaza. Si se envía al comprador un lote que contiene el 1% de circuitos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado el lote?.
Es conocido el hecho de que cierto tipo de bacterias poseen, además de sus cromosomas, otras estructuras de ADN llamadas factores de resistencia. Estos factores confieren a la bacteria resistencia a uno o varios antibióticos. En un determinado medio el 0.06% de las bacterias no poseen dicha propiedad. Sobre una población de 10.000 se desea saber:
1. La probabilidad de que el número de bacterias no poseyendo dicha resistencia sea superior a 6, pero inferior a 15.
2. La probabilidad de que haya exactamente 5 sin resistencia antibiótica.
3. Calcule la media y la varianza de la distribución.
El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días.
1. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades.
2. ¿Están cerca? ¿por qué?

Distribuciones continuas caso general

Sea $f(x)$ función definida de la siguiente manera. \[ f(x)= \begin{cases} c(4-2x), & \text{si } 0 \leqslant x \leqslant 2\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]
1. Calcular el valor de $c$, para que $f(x)$ función de densidad.
2. Gráficar la función de densidad.
3. Calcula la media y la varianza de la distribución.
4. Encuentra $p(1 < x \leqslant 1.5)$.
La función de densidad de una variable aleatoria continua, viene dada por \[ f(x)= \begin{cases} 1-\frac{x}{2}, & \text{si } 0 \leqslant x \leqslant 2\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]
1. Calcula la media de la distribución.
2. Encuentra $p(x \geqslant 1)$.
Se tiene la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua $X$. \[ f(x)= \begin{cases} x-\frac{x^3}{4}, & \text{si } 0 \leqslant x < 2\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \] Hallar la media, la moda y la mediana.

Observaciones - ejercicio 3:

Recuerde que la moda es el máximo de la función.
La mediana es el valor en donde la función alcanza una probabilidad de 0.5.

Distribución uniforme

De una estación parte un tren cada 10 minutos. Si designamos por $X$ la variable aleatoria “tiempo de espera desde que un viajero entra en el andén hasta que parte”, calcular:
1. La probabilidad de esperar menos de dos minutos.
2. El tiempo medio de espera.
3. La probabilidad de esperar dos minutos y medio.
La concentración de un contaminante se distribuye uniformemente en el intervalo de 0 a 20 millones. Una concentración se considera tóxica a partir de 8 millones. Se pide:
1. Probabilidad de que al tomar una muestra la concentración resulte tóxica.
2. Concentración media y varianza.
3. Probabilidad de que la concentración sea de 10 millones.

Distribución normal

Sabiendo que el número de alumnos que pasan cada año al tercer curso de una escuela sigue una distribución normal $N(\mu = 120,\sigma^2=100)$, calcular:
1. Probabilidad de que pasen más de 140.
2. Probabilidad de que pasen entre 100 y 130.
3. Si el 90% de los alumnos pasan al siguiente año, ¿Cuántos estudiantes hay en la población?
El costo mensual de alquiler de una vivienda en una ciudad sigue una distribución normal de media $880000 y desviación $330000. Calcular:
1. La probabilidad de que el precio sea superior a $1000000.
2. La probabilidad de que el precio este entre $750000 y $950000.
3. Si el 90% de los alumnos pasan al siguiente año, ¿Cuántos estudiantes hay en la población?
Analizadas 240 determinaciones (muestras) de colesterol en la sangre, se observó que se distribuían normalmente con media 100 y desviación estandar 20.

Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94.
¿Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos entre 105 y 130?
¿Cuántas determinaciones fueron superiores a 138?