Ejercicio 1

Planteamiento: En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml. Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.

Definición del modelo: Sean \(X\) el contenido de agua de una botella, \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) donde \(\mu = 500\) ml y \(\sigma = 5\) ml.

# Parámetros de la distribución
mu <- 500
sigma <- 5

# P(X entre 490 y 510)
p_490_510 <- pnorm(510, mu, sigma) - pnorm(490, mu, sigma)
p_490_510 * 100  # Convertir a porcentaje
## [1] 95.44997

Interpretación: El porcentaje de las botellas que tienen entre 490 y 510 ml es 95.4499736%.

Ejercicio 2

Planteamiento: En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%.

Definición del modelo: Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución normal \(N(\mu, \sigma^2)\) con \(\sigma = 10\). La probabilidad \(P(X > 50) = 0.20\).

a. Determinar la media de la población.

# Probabilidad dada
p_gt_50 <- 0.20
# Desviación estándar
sigma <- 10

# Encontrar la media usando el cuantil correspondiente a la probabilidad 1 - p_gt_50
z <- qnorm(1 - p_gt_50)
mu <- 50 - z * sigma
mu
## [1] 41.58379

Interpretación: La media de la población es 41.5837877.

b. Determinar el valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones.

# Probabilidad para el cuantil 95%
p_95 <- 0.95

# Cuantil correspondiente
x_95 <- qnorm(p_95, mu, sigma)
x_95
## [1] 58.03232

Interpretación: El valor por encima del cual se encuentra el 5% de las observaciones es 58.0323239.

Ejercicio 3

Planteamiento: De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más. Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y \(p = 0.6\), encontrar las siguientes probabilidades.

Definición del modelo: Sea \(X\) el número de aficionados de Harry Potter de 14 años o más que compraron libros, \(X \sim Binomial(n, p)\) donde \(n = 12\) y \(p = 0.6\).

a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.

# Parámetros de la distribución binomial
n <- 12
p <- 0.6

# P(X >= 5)
p_almenos_5 <- 1 - pbinom(4, n, p)
p_almenos_5
## [1] 0.9426901

Interpretación: La probabilidad de que al menos cinco de ellos tenían 14 años o más es 0.9426901.

b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.

# P(X = 9)
p_exactamente_9 <- dbinom(9, n, p)
p_exactamente_9
## [1] 0.141894

Interpretación: La probabilidad de que exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más es 0.141894.

c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.

# P(X <= 3)
p_maximo_3 <- pbinom(3, size = n, prob = p)
p_maximo_3
## [1] 0.01526727

Interpretación: La probabilidad de que tres o menos de ellos tenían 14 años o más es 0.0152673.

d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años.

# Probabilida de tener más de 2 éxitos con p = 0.4 (menos de 14 años)
p_menos_que_14 <- 0.4
p_mas_que_2 <- 1 - pbinom(2,n,p_menos_que_14)
p_mas_que_2
## [1] 0.9165567

Interpretación: La probabilidad de que más de dos de ellos tengan menos de 14 años es 0.9165567.