proba que si a/b y c/d entoces ac/bd
Demostracion: por hipótesis existen entero K y S tales que ak= bycs= d luego
ac\left ( ks \right )= bd asi que
ac/cd
proba que: 100/\left ( 11^{10}-1 \right )
10^{10}-1= \left ( 11-1 \right )\left ( 11^{9}+11^{8}+…..+11+1 \right )
=10\left ( \left ( 10+1 \right )^{9}+\left ( 10+1 \right )^{8}+…+\left ( 10+1 \right )+1 \right )
=10\left ( \left ( 10s9+1 \right )+\left ( 10s8+1 \right )+….+\left ( 10+1 \right )+1 \right )
=100k
proba que para todo n\geq 1,30/n^{5}-n
n^{5}-n=n\left ( n^{4}-1 \right )
=n\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )\left ( n^{2}+1 \right )
entonces 6/n^{5}-n
por inducción probamos que 5/n^{5}-n luego
30/n^{5}-n
n^{5}-n=n\left (n ^{4}-1 \right )
=n\left (n-1 \right )\left ( n+1 \right )\left ( \left ( n+2 \right )\left ( n+3 \right )-5n\left ( n+1 \right )^{2} \left ( n-2 \right )\right )
5!k1-5*3!k2\left ( n+1 \right )
5*3!\left ( 4k-k2\left ( n+1 \right ) \right )
=30k
Proba que a/b y solo si \left [ a,b \right ]=\left | b \right |
Demostración. supongamos que a/b entonces existe un entero K->tal que ak=b, asi que \left [ a,b \right ]=\left | b \right |
Proba que si (a,b)=(a,b) y a>0 b>0 entonces a=b
Demuestre que: sea d=\left [ a,b \right ]=\left ( a,b \right )
entonces d\left | a,a \right |d,d\left | b y b \right |d
llegamos a conclusión que a = d y b = d
por lo tanto a=b
Probar que si ac ≡ bc (mod cn) entonces a ≡ b (mod n)
cn/ac-cb
entonces existe un k\epsilon \mathbb{Z}
tal que ac-bc=(cn)k
c(a-b)=(cn)k
c(a-b)=(nk)c
(a-b)=nk
Pruebe que, para todo entero positivo n,3^{2n+1}+2^{n+2} es divisible por 7
Demostracion. tenemos que
3^{2n+1}+3^{2n}3=9^{n}3=2^{n}3\left ( mod7 \right )
3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 2^{n}3+2^{2}2^{n}\left ( mod7 \right )
\equiv 2^{n}\left ( 7 \right )\left ( mod7 \right )
\equiv 0\left (mod 7 \right )