Cátedra de Biometría y Técnica Experimental

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T.P.N° 9: Análisis de Variables Categóricas

Autores: Prof. Adj. Ing. Agr. Esp. Sebastian Bustos
         JTP Ing. Agr. Arnaldo Romero

Contacto: estadistica@agrarias.unca.edu.ar

Motivación

Las pruebas de Chi-Cuadrado permiten analizar datos cualitativos o categóricos. Así, estas pruebas evalúan si las diferencias observadas entre las frecuencias esperadas y las frecuencias observadas en una muestra son debidas al azar o a algún efecto específico, permitiendo determinar la existencia de asociaciones significativas o verificar la adecuación de una distribución teórica. Estas pruebas pueden ser clasificadas según el tipo de tabla de contingencia que se utiliza en el análisis en pruebas a una o dos vías de clasificación, según el número de variables categóricas involucradas y la estructura de la tabla de datos que se está analizando. Estas son:

Pruebas a una vía de clasificación

Pruebas de Bondad de Ajuste

La prueba de bondad de ajuste compara la distribución observada de una variable categórica con una distribución teórica esperada. Se utiliza para determinar si una muestra sigue una distribución específica.En esta prueba, se considera una única variable categórica y se compara su distribución observada con una distribución esperada.

El estadístico chi-cuadrado (𝝌²)

La fórmula para el estadístico Chi-Cuadrado (\(\chi^2\)) en una prueba de bondad de ajuste es:

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{{(f_i - \hat{f}_i)^2}}{{\hat{f}_i}} \]

Donde:

• \(\chi^2\): Estadístico Chi-Cuadrado.

• \(\sum_{i=1}^{k}\): Sumatoria que se realiza para cada categoría en los datos.

• \(f_i\): Frecuencia observada en la categoría \(i\).

• \(\hat{f}_i\): Frecuencia esperada en la categoría \(i\), que se obtiene bajo la hipótesis nula de que no hay diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas.

Pruebas a dos vías de clasificación

Prueba de Independencia

La prueba de independencia evalúa si dos variables categóricas son independientes entre sí. Se utiliza para determinar si existe una asociación significativa entre las dos variables.

Prueba de Homogeneidad

La prueba de homogeneidad compara las distribuciones de una variable categórica en diferentes poblaciones o grupos. Se utiliza para determinar si diferentes poblaciones tienen la misma distribución de frecuencias para una variable categórica.

Estadístico de Prueba

El estadístico Chi-Cuadrado (\(\chi^2\)) para las pruebas a dos vías de clasifición es:

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{{(f_{ij} - \hat{f}_{ij})^2}}{{\hat{f}_{ij}}} \sim \chi_{[(r-1)(c-1)]}^2 \]

Donde:

• \(\chi^2\): Estadístico Chi-Cuadrado.

• \(\sum_{i=1}^{r}\): Sumatoria realizada para cada fila en la tabla de contingencia.

• \(\sum_{j=1}^{c}\): Sumatoria realizada para cada columna en la tabla de contingencia.

• \(f_{ij}\): Frecuencia observada en la celda \(i, j\) de la tabla de contingencia.

• \(\hat{f}_{ij}\): Frecuencia esperada en la celda \(i, j\).

Actividad

Ejercicio 1. La especie conocida como Mosca de los Frutos (Ceratitis capitata) es considerada una de las plagas de mayor importancia económica para la producción frutihortícola de la Argentina, debido a los daños que produce en la fruta y a las mermas económicas asociadas. Entre los cultivos de importancia en la región que ataca se encuentran los cítricos, duraznos, higos, membrillos, entre otras.

En un estudio realizado se encontró que 201 individuos de esta especie, tenían ojos negros y 790 los tenían rojos. Se desea probar la hipótesis de que la proporción de moscas con ojos negros respecto de moscas con ojos rojos es 1:3. ¿Se puede rechazar H_o? α = 0,05.

Ejercicio 2. Una máquina mezcla maníes, avellanas, nueces y almendras en la proporción 5:2:2:1. Para comprobar la afirmación se examina una lata que contiene 500 de estos frutos mezclados y se encuentra que 269 son maníes, 112 avellanas, 74 nueces y 45 almendras. ¿La máquina está trabajando según las especificaciones? α = 0,01.

Ejercicio 3. En la frontera fitosanitaria de la Patagonia se revisaron cargamentos de frutas de distinta procedencia para evaluar la posibilidad de introducción de mosca de la fruta (Ceratitis capitata) en áreas no infestadas. La información de cargamentos con presencia de la plaga se resume en la siguiente tabla:

Presencia de la Plaga		Procedencia
	Cuyo	NOA	NEA
Con mosca	22	32	33
Sin mosca	67	5	10

Responder:

a. Identifique y clasifica las variables en estudio

b. Represente los datos gráficamente

c. ¿Qué tipo de prueba de hipótesis corresponde aplicar en este caso? justifique.

d. Realice la prueba de hipótesis y saque conclusiones. α = 0,05.

Ejercicio 4. La siguiente tabla corresponde al número de vacas paridas y vacias, con respecto al tiempo de conservación de semen vacuno congelado usado en inseminación artificial.

Tiempo de conservación (meses)	Vacas Paridas	Vacas Vacias
12	65	52
24	60	37

Responder:

a. Identifique las variables e indique si las mismas son de clasificación o de respuesta.

b. Grafique los datos e interprete a través de un gráfico de barras apiladas.

c. ¿Influye el tiempo de conservación en la cantidad de vacas paridas? α = 0,05

Ejercicio 5. Teniendo en cuenta el tipo de delimitación de las explotaciones agropecuarias que se encuentran en las diversas regiones de Catamarca ¿Podemos afirmar que es independiente ¿Podemos afirmar que existe asociación estadísticamente significativa entre la región de la Provincia y el tipo de delimitación de las explotaciones agropecuarias?

		Tipo de Límite
Región	EAP con límites definidos	EAP mixta	EAP sin límites definidos
Centro	231	307	226
Este	545	91	1023
Oeste	884	297	263
Puna	0	0	11

Fuente: Censo Nacional Agropecuario 2018. INDEC

Marco Conceptual

Región Centro: La conforman los departamentos Ambato, Capayán, Capital, Fray Mamerto Esquiú, Paclín y Valle Viejo.

Región Este: Abarca los departamentos de Ancasti, El Alto, La Paz y Santa Rosa.

Región Oeste: integrada por los deptos. Andalgalá, Belén, Santa María, Pomán y Tinogasta.

Región dela Puna: conformada por el departamento Antofagasta de la Sierra.

Explotación Agropecuaria (EAP): La unidad estadística del Censo Nacional Agropecuario es la EAP, teniendo en consideración que es la unidad de organización de la producción. La EAP debe tener, como mínimo, una superficie de 500 m2 y debe encontrarse dentro de los límites de una misma provincia, independientemente del número de parcelas (terrenos no contiguos entre sí) que la integren. Para ser considerada como tal, la EAP debe reunir los siguientes requisitos:

• Producir bienes agrícolas, pecuarios o forestales destinados al mercado.

• Tener una dirección única que asume la gestión de la EAP, representada en la figura del productor agropecuario (PA).

• Utilizar, en su totalidad o en parte, los mismos medios de producción de uso durable y la misma mano de obra en las diversas parcelas que la integran.

EAP con límites definidos: Las EAP que reúnen las características antes mencionadas conforman el subconjunto de las EAP con límites definidos (EAPc/l).

EAP sin límites definidos: Son también EAP las unidades productivas que cumplen las condiciones 1 a 3, pero cuyos productores no pueden definir la superficie de terreno que ocupan o bien se trata de tierras de uso común entre varios productores.

EAP mixta: Son unidades productivas (EAP) que basan su producción en una combinación de parcelas con superficies delimitadas y alguna porción de superficie no delimitada.

Productor Agropecuario (PA): Es la persona humana o jurídica (sociedad, empresa, cooperativa, organismo oficial, etc.) que ejerce el control técnico y económico de una o más EAP. El PA es quien adopta las principales decisiones acerca de la utilización de los recursos disponibles, recibe los beneficios y asume los riesgos de la actividad empresarial. Desde el punto de vista de la forma jurídica de su relación con la tierra, el PA puede ser propietario, arrendatario, aparcero, contratista accidental u ocupante, o combinar estas distintas formas de tenencia, respecto de la parcela o parcelas que integran su EAP.

Ejercicio 6. Seleccione dos variables categóricas obtenidas por su grupo en el Trabajo Integrador N° 1 y efectúe la prueba de hipótesis correspondiente.

Bibliogafía

• Balzarini, M., Di Rienzo, J. Tablada, M. González, L. Bruno, C., Córdoba, M. Robledo, W., Casanoves, F. (2016). Estadística y biometría: ilustraciones del uso de InfoStat en problemas de agronomía - 2a ed. Córdoba: Editorial Brujas; UNC.
  

• Batista, W. B., (2018). Introducción a la inferencia estadística aplicada: teoría, cálculo e interpretación - 1a ed. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Editorial Facultad de Agronomía.

• Censo Nacional Agropecuario: Documento Conceptual. (2018). Recuperado de: https://www.indec.gob.ar/ftp/cuadros/economia/documento_conceptual_cna_2018.pdf

• Fernandez del Viso, D. S. (2018). Bondad de Ajuste y Tablas de Contingencia. Recuperado de: https://rpubs.com/dsfernandez/443736

• Leiva, S. D., Rettore, H. A. (2023). Revista “TECNOÁRIDO” Año 5 - Nº 8 - Junio de 2023 Capítulo 14 MOSCA DE LOS FRUTOS. Recuperado de: https://repositorio.inta.gob.ar/xmlui/handle/20.500.12123/15181