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Laboratorio 3

Análisis de Componentes Principales + Cluster)

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El Producto Interno Bruto (PIB) es una magnitud macroeconómica que expresa el valor monetario del acumulado de producción de bienes y servicios de demanda final en una población durante un período determinado de tiempo, regularmente un año o periodo fiscal.

En Colombia, la medición del PIB es realizada por el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE), quien considera 12 grandes agrupaciones para las ramas de la actividad económica en el país + el rubro de generación de impuestos (13 agrupaciones en total), las cuales son:

  1. Agricultura, ganadería, caza, silvicultura y pesca: Incluye la producción agrícola, ganadera, la caza de animales silvestres y la silvicultura (cultivo y explotación de árboles).

  2. Explotación de minas y canteras: Comprende la extracción de minerales y piedras preciosas, así como la explotación de canteras para la obtención de materiales de construcción.

  3. Industrias manufactureras: Engloba la transformación de materias primas en productos terminados mediante procesos industriales.

  4. Suministro de electricidad, gas, vapor y aire acondicionado; distribución de agua; evacuación y tratamiento de aguas residuales, gestión de desechos y actividades de saneamiento ambiental: Incluye la generación y distribución de energía eléctrica, gas y vapor, así como el suministro de agua potable y la gestión de aguas residuales y desechos.

  5. Construcción: Comprende la actividad de construcción de edificaciones, infraestructuras y obras civiles.

  6. Comercio al por mayor y al por menor; reparación de vehículos automotores y motocicletas; transporte y almacenamiento; alojamiento y servicios de comida: Incluye el comercio mayorista y minorista, la reparación de vehículos, el transporte y almacenamiento de mercancías, así como los servicios de alojamiento y comida.

  7. Información y comunicaciones: Engloba las actividades relacionadas con la tecnología de la información, las telecomunicaciones y los medios de comunicación.

  8. Actividades financieras y de seguros: Incluye las actividades bancarias, financieras y de seguros.

  9. Actividades inmobiliarias: Comprende la compra, venta, alquiler y gestión de bienes inmuebles.

  10. Actividades profesionales, científicas y técnicas; actividades de servicios administrativos y de apoyo: Engloba actividades como consultoría, servicios legales, servicios contables, servicios de arquitectura e ingeniería, entre otros.

  11. Administración pública y defensa; planes de seguridad social de afiliación obligatoria; educación; actividades de atención de la salud humana y de servicios sociales: Incluye la administración pública, la defensa nacional, la educación y los servicios de salud y sociales.

  12. Actividades artísticas, de entretenimiento y recreación y otras actividades de servicios; actividades de los hogares individuales en calidad de empleadores; actividades no diferenciadas de los hogares individuales como productores de bienes y servicios para uso propio: Comprende actividades culturales, recreativas, deportivas, servicios personales y actividades de los hogares.

  13. Impuestos: Incluye los impuestos generados por las actividades económicas.

La hoja de datos PIBpc.xlsx contiene, para el año 2018, la medición del PIB percapita (Cociente entre el PIB y el número de habitantes), medido en miles de millones de pesos, para las 33 unidades administrativas en que se divide Colombia el año 2018: 32 departamentos y el distrito capital, Bogotá. Las diferencias en la ubicación geográfica, la variedad de los recursos naturales, aspectos culturales y de tamaño de población, pueden generar heterogeneidad en las fortalezas productivas de los departamentos.

Análisis exploratorio de datos

Una vez cargados los datos, se procede a realizar un análisis exploratorio de datos con el objetivo de preparar los datos para realizar el análisis de componentes principales y proporcionar una comprensión inicial del conjunto de datos que permita tomar decisiones informadas durante el análisis.

Para un mejor manejo, se renombran las variables de la siguiente manera:

  • x1 | Agricultura, ganadería, caza, silvicultura y pesca
  • x2 | Explotación de minas y canteras
  • x3 | Industrias manufactureras
  • x4 | Suministro de electricidad, gas, vapor y aire acondicionado; distribución de agua; evacuación y tratamiento de aguas residuales, gestión de desechos y actividades de saneamiento ambiental
  • x5 | Construcción
  • x6 | Comercio al por mayor y al por menor; reparación de vehículos automotores y motocicletas; transporte y almacenamiento; alojamiento y servicios de comida
  • x7 | Información y comunicaciones
  • x8 | Actividades financieras y de seguros
  • x9 | Actividades inmobiliarias
  • x10 | Actividades profesionales, científicas y técnicas; actividades de servicios administrativos y de apoyo
  • x11 | Administración pública y defensa; planes de seguridad social de afiliación obligatoria; educación; actividades de atención de la salud humana y de servicios sociales
  • x12 | Actividades artísticas, de entretenimiento y recreación y otras actividades de servicios; actividades de los hogares individuales en calidad de empleadores; actividades no diferenciadas de los hogares individuales como productores de bienes y servicios para uso propio
  • x13 | Impuestos
Análisis descriptivo

Una vez renombradas las variables, se analiza el tipo de datos, para cerificar que los caracteres y los números estén bien categorizados:

## tibble [33 × 15] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ Departamento: chr [1:33] "Antioquia" "Atlantico" "Bogota D.C." "Bolivar" ...
##  $ Abreviatura : chr [1:33] "Anti" "Atla" "Bogo" "Boli" ...
##  $ x1          : num [1:33] 1.06e-03 1.59e-04 1.77e-06 6.49e-04 2.06e-03 ...
##  $ x2          : num [1:33] 3.45e-04 4.16e-05 4.49e-05 3.49e-04 1.45e-03 ...
##  $ x3          : num [1:33] 0.00317 0.00236 0.00261 0.00235 0.00237 ...
##  $ x4          : num [1:33] 0.000826 0.00097 0.000564 0.000404 0.00108 ...
##  $ x5          : num [1:33] 0.00162 0.00112 0.00148 0.00154 0.00212 ...
##  $ x6          : num [1:33] 0.00316 0.00291 0.00577 0.00256 0.00343 ...
##  $ x7          : num [1:33] 0.000562 0.0004 0.001321 0.000284 0.000302 ...
##  $ x8          : num [1:33] 0.00097 0.000648 0.002616 0.000348 0.000368 ...
##  $ x9          : num [1:33] 0.0017 0.001061 0.004024 0.000968 0.001067 ...
##  $ x10         : num [1:33] 0.001726 0.001084 0.002642 0.00101 0.000827 ...
##  $ x11         : num [1:33] 0.0022 0.00225 0.00448 0.00255 0.00247 ...
##  $ x12         : num [1:33] 0.000465 0.000368 0.001219 0.000215 0.000209 ...
##  $ x13         : num [1:33] 0.00173 0.00146 0.00306 0.00166 0.00132 ...

También se verifica el resumen general de las variables de la base de datos, para conocer su comportamiento (los valores entre los que oscila, su promedio y su mediana):

##  Departamento       Abreviatura              x1                  x2           
##  Length:33          Length:33          Min.   :1.765e-06   Min.   :1.473e-05  
##  Class :character   Class :character   1st Qu.:7.835e-04   1st Qu.:4.160e-05  
##  Mode  :character   Mode  :character   Median :1.226e-03   Median :1.454e-04  
##                                        Mean   :1.347e-03   Mean   :1.594e-03  
##                                        3rd Qu.:1.923e-03   3rd Qu.:7.585e-04  
##                                        Max.   :3.666e-03   Max.   :1.469e-02  
##        x3                  x4                  x5           
##  Min.   :9.823e-06   Min.   :1.427e-05   Min.   :0.0003409  
##  1st Qu.:2.221e-04   1st Qu.:1.256e-04   1st Qu.:0.0006911  
##  Median :6.365e-04   Median :2.926e-04   Median :0.0009486  
##  Mean   :1.171e-03   Mean   :3.580e-04   Mean   :0.0009957  
##  3rd Qu.:1.974e-03   3rd Qu.:5.256e-04   3rd Qu.:0.0011514  
##  Max.   :4.516e-03   Max.   :1.080e-03   Max.   :0.0022547  
##        x6                  x7                  x8           
##  Min.   :0.0005394   Min.   :5.420e-06   Min.   :6.479e-05  
##  1st Qu.:0.0014976   1st Qu.:1.191e-04   1st Qu.:1.842e-04  
##  Median :0.0021030   Median :2.068e-04   Median :2.381e-04  
##  Mean   :0.0025949   Mean   :2.703e-04   Mean   :3.996e-04  
##  3rd Qu.:0.0029135   3rd Qu.:3.552e-04   3rd Qu.:4.321e-04  
##  Max.   :0.0130943   Max.   :1.321e-03   Max.   :2.616e-03  
##        x9                 x10                 x11                x12           
##  Min.   :0.0001378   Min.   :6.620e-06   Min.   :0.001793   Min.   :4.282e-05  
##  1st Qu.:0.0004307   1st Qu.:1.384e-04   1st Qu.:0.002152   1st Qu.:1.209e-04  
##  Median :0.0007258   Median :5.452e-04   Median :0.002332   Median :1.881e-04  
##  Mean   :0.0008818   Mean   :6.272e-04   Mean   :0.002433   Mean   :2.373e-04  
##  3rd Qu.:0.0010445   3rd Qu.:9.783e-04   3rd Qu.:0.002547   3rd Qu.:3.111e-04  
##  Max.   :0.0040235   Max.   :2.642e-03   Max.   :0.004482   Max.   :1.219e-03  
##       x13           
##  Min.   :0.0001378  
##  1st Qu.:0.0003962  
##  Median :0.0006899  
##  Mean   :0.0009852  
##  3rd Qu.:0.0013203  
##  Max.   :0.0044431

Posteriormente, se buscan datos faltantes dentro de las variables:

En este gráfico se puede notar que no hay datos faltantes.

Análisis de correlación

Visualización univariada de datos

Complementando la comprensión inicial de la estructura y las características de los datos económicos, se ejecuta una visualización de los datos que proporciona un resumen estadístico de las variables de productividad económica mediante el promedio y la desviación estándar mediante diagramas de caja, lo que permite identificar tendencias, dispersión y posibles valores atípicos en los datos.

En este gráfico podemos evidenciar que en la mayoría de los sectores existe al menos un valor atípico en los datos. Los valores atípicos representan observaciones que se desvían significativamente del patrón general de los datos y pueden influir en el análisis estadístico. Identificar y comprender la naturaleza de estos valores atípicos es crucial para interpretar correctamente los resultados del análisis y tomar decisiones informadas basadas en los datos:

Análisis bivariado de la correlación

Ahora, se procede a explorar el nivel de correlación entre las variables del conjunto de datos.

Gráfico de dispersión: Este gráfico muestra todas las posibles combinaciones de dispersión entre las variables:

Matriz de correlación: Después de visualizar las relaciones bivariadas, se realiza la matriz de correlación de Pearson para cuantificar la relación lineal entre las variables. Los coeficientes de correlación de Pearson oscilan entre -1 y 1, donde -1 indica una correlación negativa perfecta, 1 indica una correlación positiva perfecta y 0 indica ausencia de correlación lineal.

Una vez realizados los gráficos, se procede a realizar un análisis específico para validar la presencia de valores atípicos en las variables. Según los resultados del diagrama de caja las columnas de x7 (Información y comunicaciones), x9 (Actividades inmobiliarias) y x10 (Actividades profesionales, científicas y técnicas) se destaca la presencia de datos atípicos.

Valor atípico | Bogotá

Al evaluar estos datos, resalta la presencia de un valor atípico, el cual está representado principalmente por la ciudad de Bogotá. Este hallazgo sugiere que Bogotá exhibe un comportamiento significativamente diferente en comparación con otras observaciones en estas variables, por lo que se descide prescindir de él.

Después de eliminar el dato atípico, se puede apreciar con mayor claridad la relación que existe entre los diferentes sectores de la economía. Anteriormente, la presencia del valor atípico dificultaba la visualización adecuada de la distribución de los datos en los diferentes sectores; ahora, con el dato atípico removido, se facilita la identificación de patrones y relaciones entre estos sectores, lo que permite obtener una perspectiva más precisa y completa de la estructura del caso en estudio.

Después de eliminar los valores atípicos, si graficamos nuevamente un boxplot por cada uno de los sectores económicos, observamos que ahora se han eliminado los valores atípicos en distintos gráficos. Esto nos permite tener una visualización más clara de la distribución de los datos en cada sector y facilita la identificación de posibles patrones o relaciones entre ellos e iniciar con el Análisis de Componentes Principales.

Análisis de componentes principales

Este gráfico muestra el análisis de componentes principales (PCA) realizado sobre un conjunto de datos. En el análisis de componentes principales, las variables originales se transforman en un nuevo conjunto de variables (llamadas componentes principales) que son combinaciones lineales de las variables originales.

La primera gráfica presenta los valores propios de las componentes principales, que indican la cantidad de varianza explicada por cada componente. Cada barra representa un valor propio, y la línea azul traza la magnitud de estos valores. La línea roja punteada marca el criterio comúnmente utilizado para determinar el número de componentes principales a retener, que es un valor propio de 1. Este criterio se basa en la idea de que se retienen solo las componentes que explican más varianza que la varianza media de las variables originales.

La segunda gráfica muestra la varianza acumulada explicada por las componentes principales. Cada barra representa la varianza acumulada hasta la componente correspondiente. Esto permite visualizar cuánta varianza total del conjunto de datos se explica a medida que se agregan más componentes principales. El número en cada barra indica el porcentaje de varianza acumulada explicada por ese componente.

Estas visualizaciones son útiles para determinar cuántas componentes principales retener en el análisis, lo que ayuda a reducir la dimensionalidad de los datos mientras se conserva la mayor cantidad posible de información.

En la gráfica de la izquierda, se puede visualizar un punto con una caída muy fuerte seguida de una caída un poco más gradual; por lo cual, en este caso, el “codo” se encuentra en el valor k = 2. A partir de ahí, la suma de cuadrados se reduce de manera más lenta, por lo que el porcentaje de información explicada de las dimensiones de ahí en adelante no tienen mucha variación entre ellos. Por lo tanto, se decide utilizar dos dimensiones, las cuales tienen un porcentaje de explicación de aproximadamente 73.25% para el análisis.

Los números de la mtriz de rotación, presentada a continuación, indican cuánto contribuye cada variable a cada componente principal. Por ejemplo, para la variable “x1”, su carga es 0.062 en PC1 y -0.577 en PC2. Esto significa que “x1” contribuye positivamente a PC1 y negativamente a PC2.

Interpretar estas cargas permite comprender qué variables están más fuertemente asociadas con cada componente principal y cómo se relacionan las variables con los componentes.

##          PC1      PC2
## x1   0.06237 -0.57677
## x2   0.00812 -0.60134
## x3   0.33275  0.08362
## x4   0.29066 -0.00971
## x5   0.28237 -0.13034
## x6   0.26641 -0.38658
## x7   0.35047  0.06256
## x8   0.33226  0.01881
## x9   0.33135  0.02061
## x10  0.33708  0.15371
## x11 -0.05925 -0.19400
## x12  0.29765  0.25146
## x13  0.31839 -0.05497

Después de analizar los coeficientes de las dos primeras componentes principales, se puede deducir lo siguiente:

  • Primera componente principal: Los coeficientes asociados a esta componente indican el grado en que cada sector económico contribuye al comportamiento general del Producto Interno Bruto (PIB). Por lo tanto, una mayor contribución positiva de un sector en esta componente sugiere que ese sector tiene un impacto significativo en la variación general del PIB.

  • Segunda componente principal: Esta componente parece dividirse en dos categorías distintas según el signo de los coeficientes. Los coeficientes negativos indican una asociación con sectores económicos que podrían estar más vinculados al aprovechamiento de tierras y suelos, lo que sugiere una economía más orientada hacia actividades primarias o extractivas. Por otro lado, los coeficientes positivos están relacionados con sectores cuya economía está más centrada en la prestación de servicios, como el sector de servicios financieros, de salud, educación, entre otros.

En resumen, el análisis de los coeficientes de las componentes principales proporciona información valiosa sobre cómo se estructura la economía de los diferentes departamentos en relación con la contribución al PIB y el tipo de actividades económicas predominantes.

Representación de individuos en componentes principales El gráfico de la componente 1 nos ofrece una visión de los núemros de los departamentos que tienen una mayor participación en general en las diferentes actividades económicas que contribuyen al PIB. Entre estos destacan las principales ciudades como Santander, Antioquia y el Valle del Cauca. Por otro lado, aquellos departamentos que muestran una menor evaluación para esta componente están relacionados principalmente con actividades agrícolas o mineras, lo que sugiere que no tienen un fuerte aporte en las diversas actividades económicas.

En cuanto al componente 2, que representa los aportes provenientes de actividades económicas basadas en el aprovechamiento de las tierras y suelo, observamos que la mayoría de los departamentos tienen una evaluación que oscila entre 1 y -1 en esta dimensión. Sin embargo, para los departamentos de Arauca, Meta y Casanare, se destaca una estrecha relación con estas actividades económicas, lo que sugiere que su economía está más orientada hacia la explotación de recursos naturales y actividades primarias.

A continuación, se proyecta la posición de nuevos individuos en el espacio definido por las dos primeras componentes principales obtenidas previamente. En este caso, se proyectan las ubicaciones de dos nuevos individuos, Bogotá y SAI, en el espacio definido por las componentes principales. Luego, se genera una visualización para representar estas proyecciones en un gráfico de dispersión.

Representación simultánea de los departamentos y variables La representación simultánea permite refinar la interpretación de los datos. Este tipo de diagrama es especialmente útil para contrastar la ubicación de las regiones con la dirección de las variables. Por ejemplo, se puede observar que Arauca, Casanare y Meta se alinean con el vector “Explotación”. Al examinar los registros económicos, se confirma que estas regiones tienen los valores más altos en actividades relacionadas con la explotación de recursos naturales. Esta correlación destaca la importancia de estas actividades económicas en dichas regiones y cómo influyen significativamente en su perfil económico.