Estadística y Probabilidad
Clase 2.11
Distribución normal
2024-01-29
Distribución normal
Muchos fenómenos en la naturaleza se distribuyen normalmente. Esto significa que si uno toma al azar un número suficientemente grande de casos y construye un polígono de frecuencias con alguna variable continua, por ejemplo peso, talla, presión arterial o temperatura, se obtendrá una curva de características particulares, llamada distribución normal. Ver el video adjunto.
https://www.youtube.com/watch?v=1DTRzPRfu6s
- La distribución normal es uno de los pilarares de la base del análisis estadístico, ya que en ella se sustenta casi toda la inferencia estadística.
Distribución de variable aleatoria normal
Se dice que una v.a \(X\) tiene una distribución normal de parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\). Esto se escribe así:
\[X \rightsquigarrow N(\mu, \sigma^2)\]
Observación
Los parámetros de la distribución normal son:
- La media \(E(X) =\mu\)
- La varianza \(Var(X) =\sigma^2\)
- La desviación estandar \(sd(X) =\sigma\)
Ejemplo 1
Sea \(X\): “Calificación del examen final de 1000 estudiantes de estadística”, podemos escribir
\[X \rightsquigarrow N(\mu = 50, \sigma^2 = 2)\]
Función de densidad de una v.a normal
La función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua normal, fue descubierta por Carl Gauss al estudiar el comportamiento de los procesos aleatorios. Es ampliamente utilizada en estadística y teoría de las probabilidades.
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{\!2}} \]
La distribución normal tiene la forma de una campana y es conocida como la campana de Gauss.
Propiedades de la distribución normal
- Es una distribución simétrica.
- Es asintótica, es decir sus extremos nunca tocan el eje horizontal, cuyos valores tienden a infinito.
- En el centro de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda.
- El área total bajo la curva representa el 100% de los casos.
- Los elementos centrales del modelo son la media y la varianza.
Función de distribución de una v.a normal
\[
F(x)={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt
\] 
Tipificación de una variable aleatoria con distribución normal
Se conoce por tipificación o estandarización, al proceso de restar la media \(\mu\) y dividir por su desviación estandar \(\sigma\) a una variable aleatoria \(X \rightsquigarrow N(\mu, \sigma^2)\). Así, se obtiene la nueva variable \(Z\).
\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
es la variable normal tipificada o estandar 
De esta forma, \(Z \rightsquigarrow N(0, 1)\), es decir,
- La media de \(Z\), es \(\mu=0\)
- La desviación estandar de \(Z\), es \(\sigma=1\)
¿Para qué la tipificación de variables?
- Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.
- Ayuda a llevar a una misma escala, variables con diferentes unidades de medidas, múltiplos o submúltiplos.
Ejercicios
