Estadística y Probabilidad

Clase 2.10
Distribución uniforme

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Distribución Uniforme
    • Algunos ejemplos donde se usa la distribución de Poisson
    • Variable aleatoria uniforme continua
    • Función de densidad de una v.a uniforme continua
    • Función de distribución de una v.a uniforme continua
    • Valor esperado y varianza de una v.a uniforme continua
    • Ejemplos
    • Ejercicios

Distribución Uniforme

La distribución uniforme \(U(a,b)\) es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

  • La distribución Uniforme es el modelo continuo más simple.

Observación

Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones discretas).

Variable aleatoria uniforme continua

Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos \(a\) y \(b\). La variable aleatoria uniforme continua, es la siguiente.

\[\begin{align*} X : & S \rightarrow [a,b]\\ & s \rightarrow X(s)=x \end{align*}\]

Escribimos \(X \sim U(a,b)\), para representar a la variable aleatoria continua \(X\).

Función de densidad de una v.a continua

Para cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud (dentro del intervalo \([a, b]\)) en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, \(a\) y \(b\), que son sus valores mínimo y máximo respectivamente.

Función de densidad

La función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua \(X\) en el intervalo \([a,b]\) es:

\[ f(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{b-a}, & \text{si $a\leqslant x \leqslant b$} \\ 0, & \text{Cualquier otro caso} \end{cases} \]

Gráfico de la función de densidad

Función de distribución de una v.a continua

Función de densidad

La función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua \(X\) en el intervalo \([a,b]\) es:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{si } x < a \\ \displaystyle \frac{x-a}{b-a}, & \text{si } a \leqslant x \leqslant b \\ 0, & x > a \end{cases} \]

Gráfico de la función de distribución

Valor esperado y varianza de una v.a continua uniforme

Si \(X \sim U(a,b)\), es una variable aleatoria uniforme, entonces su valor esperado (media) y su varianza, vienen dados por las siguientes fórmulas.

Valor esperado

\[\mu =E(X) = \frac{a+b}{2}\]

Varianza

\[\sigma^2 = Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

Observación

Es fácil comprobar estas dos fórmulas para la media y la varianza de la distribución uniforme continua. Queda como ejercicio. Recuerde que para la varianza se puede usar \(Var(X)=E(X^2)-E(X)\).

Ejemplo 1

El precio medio del galón de gasolina en Colombia durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 16000 y 17000 pesos. Podría ser, por tanto, de 16430, o de 16434, o de 16434.5, o de 16494.52, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad. Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

\[f(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{17000-16000} = 0.001\]

Donde:

  • \(b\): es el extremo superior (en el ejemplo, $17000.)
  • \(a\): es el extremo inferior (en el ejemplo, $16000.)

Determinar:

  1. La v.a del problema.
  2. La distribución de probabilidad del problema.
  3. La probabilidad de que el precio de la gasolina sea menor que $16500.
  4. La probabilidad de que el precio de la gasolina $16500 y $16800.
  5. Encuentre el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de esta distribución.

Ejemplo 2

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive.

  1. ¿Cuáles son la v.a y la distribución del problema?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12.5 minutos?
  3. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, \(\mu\), y la desviación típica, \(\sigma\).
  4. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces?
  5. Si una persona ya ha esperado 3 minutos, ¿cuál es la probabilidad que deba esperar 4 minutos más?

Ejemplo 3

Sea la variable aleatoria continua \(X\) la corriente medida, en miliamperes,en un alambre delgado de cobre. supongase que el rango de \(X\) es 0.20 mA.

  1. ¿Cuál es la v.a del problema?
  2. ¿Cuál es la distribución de la v.a?
  3. Encuentre la función de probabilidad de la v.a.
  4. ¿Cual es la probabilidad de que una medición de corriente este entre 5 y 10 miliamperes?
  5. Obtenga la media y la varianza de \(X\).

Ejercicio 1

La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive.

  1. Calcule \(a\) y \(b\). Describa lo que representan.
  2. Escriba la distribución.
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas?
  4. Calcule la media y la desviación típica.

Ejercicio 2

El tren de cercanías Sounder 69 de Lakeview a Seattle, Washington llega a la estación de Tacoma cada 20 minutos durante la hora pico de la mañana. Supongamos que este tren está funcionando a tiempo.

  1. ¿Cuál es la variable del problema?
  2. Calcule \(a\) y \(b\). Describa lo que representan.
  3. Escriba la distribución \(X\).
  4. Encuentra el Rango Intercuartílico (\(Q_3-Q_1\)) para esta variable aleatoria.
  5. Encuentra la probabilidad de esperar al menos 15 minutos para el siguiente tren de cercanías después de llegar a la estación de Tacoma.
  6. Encuentra probabilidades de esperar 5 minutos, cuando ya se han esperado 6 minutos.
  7. Encuentre el tiempo de espera esperado y la desviación estándar de la v.a \(X\).