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\sum_{i=1}^{n}\left ( ai+bi \right )=\sum_{i=1}^{n}ai+\sum_{i=1}^{n}bi.
Demostracion: se van a desarolla por induccion sobre n. para n=1 se obtiene claramente. supongamolos para n y demostremoslo para n+1 \sum_{i=1}^{n+1}\left ( ai+bi \right )=\sum_{i=1}^{n}\left ( ai+bi \right )+\left ( ai+bi \right )=\sum_{i=1}^{n}ai+\sum_{i=1}^{n}bi+\left ( ai+bi \right )=\left ( \sum_{i=1}^{n}ai+ai \right )+\left ( \sum_{i=1}^{n}bi+bi \right )=\sum_{i=1}^{n+1}ai+\sum_{i=1}^{n+1}bi
\sum_{i=1}^{n}\left ( cai \right )=c\sum_{i=1}^{n}a el argumento es por induccion sobre n. para n=1 se tiene claramente. supongamoslo para n y demostremoslo para n+1 \sum_{i=1}^{n+1}\left ( ai-a-1\right )=c\sum_{i=1}^{n}\left ( ai \right )+cai=c\sum_{i=1}^{n}ai+cai=c\left ( \sum_{i=1}^{n} ai+ai\right )=c\sum_{i=1}^{n+1}ai
\sum_{i=1}^{n}\left ( ai-ai-1 \right )=an-a0 \left ( propiedad,telescopica \right )
por induccion sobre n para n=1 se tiene claro n demostremolo para n+1 \sum_{i=1}^{n}\left ( ai-ai-1 \right )=\sum_{i=1}^{n}\left ( ai-ai-1 \right )+\left ( an+1-an \right ) =\left ( an-a0 \right )+\left ( an+1-an \right )=an+1-a0
dado un entero positivo (n) definimos la funcion T(n,1) = n , e para todo k\geq 1,T(N,K+1)=n^{T\left ( N,K \right )} queremos que exista c \epsilon N
tan que , para todo K\geq 1, T(2010,k)< T(2,k+c) Determine o menor interio positivo c con esa propriedades
solucion
para aborda esta demostracion primero observamos algunas propiedaes de la funcion T(n,k)
T(n,k) crece exponencialmente con respecto a (K) es decir ,(T(n,k+1)) es siempre mayor que (T(n,k))
(T(n,k)) tambien crece con respecto a (n) si (n-1< n-2) entonces T(n,-1,k) < T(n-2k) para todo (k)
ahora, consideremos la función ( T(2010,k)) queremos encontrar un valor de (c) tal que T(2010,k) < T (2,k+c) para todo (k\geq 1)
suponemos que (c=1) entonces tenemos [T(2010,k) < T(2,k+1)]
Dado que (T(2010,k+1)=2010+T(2010,K)) Y (T(2k+1)=2.T(2,K))
podemos escribir :
[2010.T(2010,k)<2.T(2,K)]
Dividimos ambos lados de la desigualdad entre (T(2,k)):
[ 2010 < 2. T(2,k) T(2010,k)]
como T(2,K) Y T(2010K) \epsilon N
\frac{T\left ( 2,k \right )}{T2010k} tambien es un numero natural, por lo tanto podemos encontra un valor de (k) para el cual la fracion es mayo que
\frac{ 2010}{2}=1005
esto quiere decir que existen un N (k) tal que [ T(2010,k)<T(2,k+1)] por lo tanto hemos desmotrado que existe un valor de (c=1)que satisface la propiedad dad
para determinar el entero positivo más pequeño con esta propiedad evaluemos [T(2010,k)] y [T(2,k+1)] para algunos valores de (k)
\left ( T\left ( 2010,1 \right ) \right )=2010
\left ( T\left ( 2,2 \right ) \right )=4
\left ( T\left ( 2010,2 \right ) \right )=2010.2010=4040100
\left ( T\left ( 2,3 \right ) \right )=2.4=8
Claramente [T(2010,2) < T(2,3)] por lo tanto el \mathbb{Z}^{+} mas pequeño (c) con esta propiedad es (c=1)
finalmente hemos desmotrao que existe un numero natural (c=1) tal que [T(2010,K)<T(2,K+C)]
\forall \left ( K\geq 1 \right )
Demuestre que la suma de los primeros n números naturales está dada por fórmula
1+2+3+……+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}
Prueba Caso base Consideremos el caso donde n=1 y claramente 1=\frac{1\left ( 1+1 \right )}{2}
y entonces el caso base P (1) es verdadero. 1+2+3+….+k =\frac{k\left ( k+1 \right )}{2}
Paso inductivo Supongamos que el resultado es verdadero para algún número k, entonces tenemos P(k) Luego considere la suma de los primeros k + 1 números naturales, y usamos la hipótesis inductiva para demostrar que su suma está dada por la fórmula.
1+2+3+….+k +\left ( k+1 \right )=\frac{k\left ( k+1 \right )}{2}+\left ( k+1 \right )
=\frac{k^{2}+k}{2}+\frac{\left ( 2k+2 \right )}{2}
=\frac{k^{2}+3k+2}{2}
=\frac{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}{2} para graficar la fórmula que demuestra la suma de los primeros n números naturales.
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# Cálculo de la suma de los primeros n números naturales
sumaNaturales <- function(n) {
suma <- (n * (n + 1)) / 2
return(suma)
}
# Generación de los datos para la gráfica
n <- 1:10
suma <- sapply(n, sumaNaturales)
# Creación de la gráfica
plot(n, suma, type = "b", pch = 19, xlab = "n", ylab = "Suma de los primeros n números naturales",
main = "Suma de los primeros n números naturales",
ylim = c(0, max(suma) + 10))
# Agregar la línea que representa la fórmula
lineaFormula <- function(n) {
return((n * (n + 1)) / 2)
}
curve(lineaFormula, add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
# Agregar etiquetas a los puntos de la gráfica
text(n, suma, labels = suma, pos = 3, offset = 0.5)
# Agregar leyenda
legend("topright", legend = "Suma = n(n+1)/2", col = "red", lwd = 2, bty = "n")
En el código proporcionado, utilizamos la función sumaNaturales(n) para calcular la suma de los primeros n números naturales. Esta función toma un valor de n como argumento y utiliza la fórmula n(n+1)/2 para calcular la suma correspondiente.
Luego, creamos un vector n que representa los valores de n para los cuales queremos calcular la suma. En este ejemplo, utilizamos los valores del 1 al 10.
A continuación, utilizamos la función sapply(n, sumaNaturales) para aplicar la función suma Naturales a cada valor de n en el vector n. Esto genera un vector suma que contiene las sumas correspondientes a cada valor de n.
utilizamos la función plot(n, suma, type = “b”, pch = 19, xlab = “n”, ylab = “Suma de los primeros n números naturales”, main = “Suma de los primeros n números naturales”, ylim = c(0, max(suma) + 10)) para crear la gráfica. Aquí se especifica el tipo de gráfico (“b” para puntos conectados por líneas), los símbolos a utilizar (pch = 19 para puntos circulares rellenos), las etiquetas de los ejes x e y, el título de la gráfica y el rango del eje y.
despues, utilizamos la función curve(lineaFormula, add = TRUE, col = “red”, lwd = 2) para trazar la línea roja que representa la fórmula n(n+1)/2 en la gráfica. La función lineaFormula calcula los valores correspondientes a la fórmula para cada valor de n.
Para agregar etiquetas a los puntos de la gráfica, utilizamos la función text(n, suma, labels = suma, pos = 3, offset = 0.5). Esto coloca las etiquetas de las sumas en las coordenadas correspondientes de los puntos en la gráfica.
Finalmente, utilizamos la función legend para agregar una leyenda en la esquina superior derecha de la gráfica, indicando que la línea roja representa la fórmula n(n+1)/2.