Estadística y Probabilidad

Clase 2.8
Distribución de Poisson

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

Distribución de Poisson
- Algunos ejemplos donde se usa la distribución de Poisson
- Función de probabilidad de una v.a Poisson
- Función de distribución de una v.a Poisson
- Valor esperado y varianza de una v.a Poisson
- Ejemplos
- Ejercicios

Distribución de Poisson

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Dentro de sus principales aplicaciones tenemos:

Hace referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas.
Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.

Cuando se realiza el experimento un número muy elevado de veces y la probabilidad de éxito en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson.

Algunos ejemplos donde se usa la distribución de Poisson

La distribución de Poisson, se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos eventos que suceden “raramente”. En estas circunstancias, la variable aleatoria \(X\) significa o designa el número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio, la variable \(X\) se distribuye con una distribución de parámetro \(\lambda\) = promedio de eventos en un intervalo de tiempo o espacio. Algunos ejemplos pueden ser:

Número rayos que caen en un campo de futbol.
Número de accidentes de tráfico en un tramo de una via.
Cantidad de niños albinos en una población.
Número de robos en un día en un centro comercial.
Cantidad de defectos de una tela por \(m^2\).
Número de accidentes de aviones que aterrizan en un aeropuerto cada quinquenio.
Número de movimientos telúricos en Cartagena cada año.

Función de probabilidad Poisson

Si una variable aleatoria \(X\) sigue la distribución de Poisson, escribimos

\[X \sim Poi(\lambda)\]

y su función de probabilidad (densidad) viene dada por:

\[ f(x) = p(X=x)= \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} \]

Para \(x=0,1,2,\dots\), donde

\(\lambda=np\), es el promedio de sucesos esperados.
\(x\) es el número de éxitos cuya probabilidad se está calculando.

Code

library(ggplot2)

b1 = dpois(x = 0:30, lambda = 1)
b2 = dpois(x = 0:30, lambda = 4)
b3 = dpois(x = 0:30, lambda = 10)

data <- data.frame(x = rep(0:30, 3), 
                   p = c(b1, b2, b3), 
                   d = rep(c("b1","b2","b3"), c(31,31,31))) 

ggplot(data) +
  geom_point(aes(x=x, y=p, color=d), size = 2) + 
  geom_segment(aes(x=x, xend=x, y=0, yend=p, color=d), 
               size = 0.5,
               linetype="dashed", 
               alpha= 0.6) +
  labs(title = "Función de densidad\nDistribución de Poisson", 
       x="x", 
       y= "f(x)") +
  scale_colour_discrete(name  ="",
                            breaks=c("b1", "b2", "b3"),
                            labels=c("Poi(\U03BB = 1)", "Poi(\U03BB = 4)", "Poi(\U03BB = 10)")) +
  theme_linedraw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text = element_text(size = 18),
        axis.title.y = element_text(angle = 0, vjust = 0.5))

Valor esperado y varianza de una v.a de Poisson

El valor esperado y la varianza son iguales a \(\lambda=np\); es decir

\[\lambda = E(X) = Var(X) =np\]

Función de distribución de una v.a de Poisson

La función de distribución de la v.a. \(X \sim Poi(\lambda)\), se define de la siguiente manera:

\[p(X \leqslant x)=\sum_{i=0}^x \frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}\] Su gráfica es una función escalonada, continua por la derecha y monótona no decreciente.

Gráfico de la distribución de Poisson para \(\lambda = 4\)

Code

library(ggplot2)

p = ppois(q = 0:10, lambda = 4)

data = data.frame(x=-1:11, 
                  y=c(0, p, 1.0000), 
                  xend = 0:12,
                  yend=c(0, p, 1.0000),
                  xacu = 0:12,
                  yacu = c(p, 1.0000, 1.0000))

ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_point(aes(x=xend, y=yend), size = 4, color= "blue", shape=1) +
  geom_point(aes(x=xacu, y=yacu), size = 2, color= "blue") +
  geom_segment(aes(x=x, xend=xend, y=y, yend=yend), size = 0.8, alpha = 0.7) +
  scale_x_continuous(breaks = -1:12) +
  labs(title = "Función de distribución de Poisson; Poi(\U03BB = 4)", x="x", y= "F(x)") +
  theme_linedraw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text = element_text(size = 18),
        axis.title.y = element_text(angle = 0, vjust = 0.5))

Ejemplo 1

Los reportes de crímenes recientes indican que una media de 3.2 robos de vehículos motorizados ocurren cada minuto en estados unidos. Suponga que la distribución de los robos por minuto puede calcularse con la distribución de probabilidad de poisson.

Escriba la variable aleatoria y su distribución.
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran dos robos en un minuto cualquiera?
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto?
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran tres robos o menos en un minuto?
Calcule el valor esperado y la desviación estandar del número de robos.
Grafique las funciones de probabilidad y distribución de la variable \(X\).

Solución

La variable aleatoria es: \(X=\) “Número de motos robadas por minuto”, y su distribución es \(X \sim Poi(\lambda=3.2)\).
probabilidad de que ocurran dos robos en un minuto cualquiera \[p(X = 2) = \frac{e^{-3.2}\lambda^2}{2!}=0.208\]
probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto \[p(X = 4) = \frac{e^{-3.2}\lambda^4}{4!}=0.178\]

probabilidad de que ocurran tres robos o menos en un minuto.

\[ \begin{align*} p(X \leqslant 3) = & p(X = 0) +p(X = 1) + p(X = 2)+ p(X = 3) \\ = & \frac{e^{-3.2}\lambda^4}{4!} + \frac{e^{-3.2}\lambda^4}{4!} \frac{e^{-3.2}\lambda^4}{4!} \\ = & 0.602 \end{align*} \]

Valor esperado y desviación estandar.

\[\lambda = E(X) = 3.2\]

\[SD(X) = \sqrt{\lambda} = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{np} = \sqrt{3.2} = 1.79\]

Solución en R

probabilidad de que ocurran dos robos en un minuto cualquiera

Code

dpois(x = 2, lambda = 3.2)

[1] 0.2087025

probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto.

Code

dpois(x = 4, lambda = 3.2)

[1] 0.1780928

probabilidad de que ocurran tres robos o menos en un minuto.

Code

ppois(q = 3, lambda = 3.2)

[1] 0.6025197

Valor esperado y desviación estandar.

Code

# desviacion estandar 

sdX = sqrt(3.2)
cat("La desviación estandar de X es: sd(X) = ", sdX)

La desviación estandar de X es: sd(X) =  1.788854

Solución - continuación

Gráficas de las funciones de probabilidad y distribución.

Code

library(ggplot2)

data <- data.frame(x = 0:15, 
                   p = dpois(x = 0:15, lambda = 3.2))
                    
ggplot(data,aes(x=x, y=p)) +
  geom_point(color="blue", size = 2) + 
  geom_segment(aes(x=x, xend=x, y=0, yend=p), 
               size = 0.5,
               linetype="dashed", 
               alpha= 0.6) +
  labs(title = "Función de densidad\nDistribución de Poisson; Poi(\U03BB = 3.2)", 
       x="x", 
       y= "f(x)") +
  theme_linedraw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text = element_text(size = 18),
        axis.title.y = element_text(angle = 0, vjust = 0.5))

Code

library(ggplot2)

p = ppois(q = 0:15,lambda = 3.2)

data = data.frame(x=-1:16, 
                  y=c(0, p, 1.0000), 
                  xend = 0:17,
                  yend=c(0, p, 1.0000),
                  xacu = 0:17,
                  yacu = c(p, 1.0000, 1.0000))


ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_point(aes(x=xend, y=yend), size = 4, color= "blue", shape=1) +
  geom_point(aes(x=xacu, y=yacu), size = 2, color= "blue") +
  geom_segment(aes(x=x, xend=xend, y=y, yend=yend), size = 0.8, alpha = 0.7) +
  scale_x_continuous(breaks = -1:17) +
  labs(title = "Función de distribución\nnúmero de motos robadas por minuto Poi(\U03BB = 3.2)", x="x", y= "F(x)") +
  theme_linedraw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text = element_text(size = 18),
        axis.title.y = element_text(angle = 0, vjust = 0.5))

Ejemplo 2

La probabilidad de que un niño nazca albino es de 0.00012. Responda:

¿Cuál es la variable del problema?
¿Qué distribución sigue la variable?
¿Cuál es el valor esperado o la media de la distribución.
¿Cuál es la probabilidad de que entre 8000 recien nacidos haya 5 albinos?
¿Cuál es la probabilidad de nazcan menos de 5 albinos?

Solución

¿Cuál es la variable del problema?

La variable es \(X\) = “número de ninos nacidos con albinismo”.

¿Qué distribución sigue la variable?

La distribución de la variable es \(X \sim Poi(\lambda)\).

¿Cuál es el valor esperado o la media de la distribución.

Podemos ver, que el tamaño de la población es \(n=8000\) y la probabilidad de albinizmo es \(p=0.00012\); por lo tanto \(\lambda = np = 8000\times 0.00012 = 0.96\)

es el el valor esperado o la media del número de niños albinos.

En R

Code

p=0.00012
n=8000

lambda = n*p
lambda

[1] 0.96

¿Cuál es la probabilidad de que entre 8000 recien nacidos haya 5 albinos?

Usamos la distribución de Poisson para \(x=5\) y \(\lambda=0.96\), tenemos: \[P(X=5)=\frac{e^{-0.96}0.96^5}{5!}=0.0026\]

En R

Code

dpois(x = 5, lambda = 0.96)

[1] 0.00260167

Ejercicios

La probabilidad de tener un accidente de tráfico a la semana, es de 0.02 cada vez que se viaja por una carretera que comunica Cartagena con Bogota. Si se realizan 300 viajes,
1. ¿cuál es la probabilidad de tener máximo 3 accidentes?
2. ¿cuál es la probabilidad de no tener accidentes?
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuál es las probabilidades de que reciba:
1. cuatro cheques sin fondo en un día dado?
2. 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. calcular la probabilidad de…
1. Recibir 2 llamadas en un minuto,
2. No recibir ninguna llamada en un minuto.
3. Recibir menos de 3 llamadas en un minuto.