1 Probabilidad

1.1 Espacio muestral

Definición Sea E un experimento no determinístico, entonces \(\Omega\) es el conjunto de todos los posibles resultados de E.

Ejemplos:

  1. Experimento: lanzar una moneda \[ \Omega = \{cara, sello\} \]
  2. Experimento: lanzar un dado \[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \]
  3. Experimento: una rifa \[ \Omega = \{\textit{númeroos de los boletos vendidos}\} \]

1.2 Conjunto Potencia o Partes de \(\Omega\)

\[ \mathscr{P}(\Omega)=2^{\Omega}=\{A\mid A\subseteq \Omega\} \]

Ejemplos:

  1. Experimento: lanzar una moneda \[ \mathscr{P}(\Omega)=2^{\Omega}=\{ \emptyset,\{cara\},\{sello\},\{cara, sello\} \} \]

\[ Cardinalidad \,\, \mathscr(\mathscr{P}(\Omega))=4 \]

  1. Experimento: lanzar un dado \[ \mathscr{P}(\Omega)=2^{\Omega}=\{ \emptyset,\{1\},\{2\},\{3\}, .... ,\Omega,\emptyset \} \]

\[ Cardinalidad \,\, \mathscr(\mathscr{P}(\Omega))=64 \]

1.3 Sigma Álgebra

Definición Sea \(\Omega\) un conjunto fundamental de resultados de un experimento no determinístico específico, entonces,

\[ \mathscr{P}(\Omega) \textit{es una} \,\, sigma - álgebra \]

que verifica las siguientes propiedades:

  1. \(\Omega \in \mathscr{P}(\Omega)\)
  2. \(\forall \in \mathscr{P}(\Omega) \Rightarrow A^{c} \in \mathscr{P}(\Omega)\)
  3. \(\forall A_1,A_2, \ldots , A_n \in \mathscr{P}(\Omega) \Rightarrow \bigcup A_i \in \mathscr{P}(\Omega)\)

Ejemplo:

Sea \(\mathscr{F}=\{ \Omega, \emptyset \}\) una familia de conjuntos. Probar que esta familia \(\mathscr{F}\) es una \(\textit{sigma-álgebra}\).

  1. Se conoce que \(\Omega \in \mathscr{F}\), por tanto, se cumple la primera propiedad.
  2. \(\Omega \in \mathscr{F} \Rightarrow \Omega^{c}= \emptyset \in \mathscr{F}\) y \(\emptyset \in \mathscr{F} \Rightarrow \emptyset^{c} = \Omega \in \mathscr{F}\), por tanto, se cumple la segunda propiedad.
  3. \(\Omega \cup \emptyset = \Omega \in \mathscr{F}\)

1.4 Evento

Definición Sea \(\Omega\) un conjunto fundamental de resultados de un experimento no determinístico determinado y \(\mathscr{P}(\Omega)\) un \(\textit{sigma-álgebra}\), entonces, \[ \forall A \in \mathscr{P}(\Omega) \] es un Evento.

1.4.1 Preguntas

Pregunta Respuesta
¿Qué es un \(\textit{sigma-álgebra}\)? Familia de subconjuntos de \(\Omega\)
¿Qué se verifica al tratarse de un \(\textit{sigma-álgebra}\)? Se verifica las operaciones de conjuntos.
¿Qué es un Evento? Cualquier subconjunto de \(\Omega\), es un Evento. Es decir, todo subconjunto del conjunto fundamental de resultados, es un Evento

1.5 Álgebra de Eventos

  1. \(\forall A,B \in \mathscr{P}(\Omega)\), es decir, \(A \cup B = \{ x \mid x \in A \vee x \in B\}\)
  2. \(\forall A,B \in \mathscr{P}(\Omega)\), es decir, \(A \cap B = \{ x \mid x \in A \wedge x \in B\}\)
  3. \(\forall A,B \in \mathscr{P}(\Omega)\), es decir, \(A - B = \{ x \mid x \in A \wedge x \notin B\}\)
  4. \(\forall A \in \mathscr{P}(\Omega)\), es decir, \(A^{c} = \{ x \mid x \notin A \wedge x \in \Omega\}\)
  5. \(\forall A,B \in \mathscr{P}(\Omega)\), es decir, \(A \triangle B = (A-B) \cup (B-A) \equiv A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B)\)
  6. \(\forall A \in \mathscr{P}(\Omega)\), es decir, \((A \cup B)=A^c \cap B^c\)

1.6 Espacio Medible

Definición Sea \(\Omega\) un conjunto fundamental de resultados de un experimento no terminístico y \(\mathscr{P}(\Omega)\), entonces, la dupla \[ (\Omega, \mathscr{P}(\Omega)) \] es un Espacio Medible. Donde: \(\Omega\) es el Conjunto fundamental de resultados y \(\mathscr{P}(\Omega) \,\, \textit{sigma-álgebra}\)

1.7 Función de Probabilidad

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega))\) un espacio medible, etnonces, la función definida por \[ \mathbf{P}: \mathscr{P}(\Omega) \rightarrow [0,1] \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A \mapsto \mathbf{P}(A) \]

1.8 Propiedades que cumple la Función de Probabilidad - Axiomas de Kolmogorov

  1. \(\mathscr{P}(\Omega)=1\), es decir, \(\Omega\) evento seguro
  2. \(\mathscr{P}(\emptyset)=0\), es decir, \(\emptyset\) evento imposible
  3. \(\mathscr{P}(A^c)=1-\mathscr{P}(A)\)
  4. \(\forall A,B \in \mathscr{P}(\Omega)\) \[ \mathbf{P}(A \cup B)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B) \] si y solo si, \(A\) y \(B\) son independientes, \[ \mathbf{P}(A \cup B)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A \cap B) \] si y solo si, \(A\) y \(B\) no son independientes, o dependientes.

Ejercicio:

Sea \(A,B \in \mathscr{P}(\Omega)\) donde \(A = \emptyset\) y \(B \neq \emptyset\). Calcular la probabilidad de \(A \cap B\).

Tenemos:

\[ A \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset \]

finalmente,

\[ \mathbf{P}(A \cap B) = \mathbf{P}(\emptyset) = 0 \]

1.9 Espacio de Probabilidad

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega))\) un espacio medible y \(\mathbf{P}\) la función de probabilidad definida en este espacio, entonces, la tripleta

\[ (\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P}) \]

se le llama, Espacio de Probabilidad.

Ejemplo:

  • Experimento: lanzar una moneda

\[ \Omega = \{cara, sello \} \]

\[ \mathscr{P}(\Omega) = \{\Omega, \emptyset, \{cara\}, \{sello\} \} \]

siendo,

\[ (\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P}) \]

un espacio de probabilidad,

\[ \mathbf{P}: \mathscr{P}(\Omega) \rightarrow [0,1] \]

por Axiomas de Kolmogorov,

\[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Omega \mapsto \mathbf{P}(\Omega) = 1 \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \emptyset \mapsto \mathbf{P}(\emptyset) = 0 \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \{cara\} \mapsto \mathbf{P}(\{cara\}) = \frac{1}{2} \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \{sello\} \mapsto \mathbf{P}(\{sello\}) = \frac{1}{2} \]

1.10 Teorema de Equiprobabilidad

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un espacio de probabilidad donde \(\Omega = \{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}\) y \(\mathbf{P}(\{x_1\})=\mathbf{P}(\{x_2\})= \dotsc =\mathbf{P}(\{x_n\})\), entonces,\(\forall i = \overline{i,n} \mid \mathbf{P}(\{x_i\}) = \frac{1}{n}\).

\(\underline{Demostración:}\)

tenemos, \(\Omega = \{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}, \mathscr{C}(\Omega) = n\) y \(\mathscr{P}(\Omega) = \mathscr{P}(\{x_1,x_2, \dotsc , x_n\})\)

mediante, \[ \mathscr{P}(\Omega) = \mathscr{P}(\{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}) \equiv 1 = \mathscr{P}(\{x_1\}\cup\{x_2\}\cup \dotsc \cup \{x_n\}) \]

como, \(\{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}\) son independientes entre sí,

\[ \mathscr{P}(\Omega) = \mathscr{P}(\{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}) \equiv 1 = \mathscr{P}(\{x_1\} + \mathscr{P}(\{x_2\} + \dotsc + \mathscr{P}(\{x_n\} \]

\[ \mathscr{P}(\Omega) = \mathscr{P}(\{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}) \equiv \forall i = \overline{i,n} 1 : n \mathscr{P}(\{x_n\} \]

\[ \mathscr{P}(\Omega) = \mathscr{P}(\{x_1,x_2, \dotsc , x_n\}) \equiv \mathscr{P}(\{x_i\})=\frac{1}{n} \]

1.11 Proposición

Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un Espacio de Probabilidad, entonces, \[ \forall A \in \mathscr{P}(\Omega) \mid A=\{x_1,x_2, \ldots, x_k\} \,\textit{y}\,\, \Omega=\{x_1,x_2, \ldots, x_n\} \] donde, \(k \leq n\), se tiene que \[ \mathbf{P}(A)=\frac{\mathscr{C}(A)}{\mathscr{C}(\Omega)}=\frac{k}{n} \]

Ejercicio: Ejemplo: lanzar dos monedas. Calcular, la probabilidad de tener al menos una cara. \(\underline{Tenemos:}\) \[ \Omega=\{(cara, cara)(sello, sello)(cara, sello)(sello, cara)\} \] \[ \mathscr{P}(\Omega)=\{\Omega, \emptyset, \{(cara, cara)(sello, cara)\},\{(cara, cara)\}, \ldots\} \] \[ \mathscr{C}(\Omega)=2^4=16 \] \(\underline{Ahora}\) \[ A=\{\textit{Obtener al menos una cara}\} \] \[ A=\{(cara, cara)(cara, sello)\} \] \[ \mathscr{C}(A)=2^2=4 \] \(\underline{Finalmente,}\) \[ \mathbf{P}(A)=\frac{\mathscr{C}(A)}{\mathscr{C}(\Omega)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

1.12 Probabilidad Condicional

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un Espacio de Probabilidad, entonces, \[ \forall A,B \in \mathscr{P}(\Omega): \mathbf{P}(A\mid B)=\frac{\mathbf{P}(A\cap B)}{\mathbf{P}(B)} \] donde \(\mathbf{P}(B)\neq 0\) \[ \,\, \mathbf{P}(B\mid A)=\frac{\mathbf{P}(A\cap B)}{\mathbf{P}(A)} \] donde \(\mathbf{P}(A)\neq 0\)

Al tener Probabilidad Condicionada, nos podemos preguntar: ¿Cuál es la Probabilidad de que exista algo de A en B?

Ejercicio: Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un Espacio de Probabilidad, entonces. Si \(A = \emptyset, B\neq \emptyset\). Calcular la probabilidad conjunta de \(\mathbf{P}(A\mid B)\) y \(\mathbf{P}(B\mid A)\). \[ \mathbf{P}(A\mid B)=\frac{\mathbf{P}(A\cap B)}{\mathbf{P}(B)}=\frac{\mathbf{P}(\emptyset)}{\mathbf{P}(B)}=0 \] \[ \mathbf{P}(B\mid A)=\frac{\mathbf{P}(A\cap B)}{\mathbf{P}(A)}=\frac{\mathbf{P}(\emptyset)}{\mathbf{P}(\emptyset)}=\frac{0}{0}= \textbf{Ind.} \]

1.13 Independiencia de Eventos

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un Espacio de Probabilidad. Donde, si \(\mathbf{P}(A\cap B)=\mathbf{P}(A)\cdot \mathbf{P}(B)\), entonces, \(A\) y \(B\) son eventos independientes.

1.14 Probabilidad Total

Teorema Probabilidad Total
Teorema Probabilidad Total

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\), tal que, \(\Omega = \bigcup A_i \,\,\); \(\,\forall A_i,A_j: A_i \cap A_j=\emptyset\,\, y\,\, i \neq j\). Probemos, \(\mathbf{P}(B)\). \(\underline{Tomemos:}\) \[ \mathbf{P}(B)=\mathbf{P}((B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup \cdots \cup (B\cap A_n)) \] como, sabemos que los eventos \(\forall A_i \mid i:\overline{i,n}\) son independientes, \[ \mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(B\cap A_1)+\mathbf{P}(B\cap A_2)+ \cdots + \mathbf{P}(B\cap A_n) \] tengamos en cuenta lo siguiente, \[ \mathbf{P}(B\mid A_1)=\frac{\mathbf{P}(B\cap A_1)}{\mathbf{P}(A_1)} \]

\[ \mathbf{P}(B\mid A_2)=\frac{\mathbf{P}(B\cap A_2)}{\mathbf{P}(A_2)} \]

\[ \vdots \]

\[ \mathbf{P}(B\mid A_n)=\frac{\mathbf{P}(B\cap A_n)}{\mathbf{P}(A_n)} \] por tanto, \[ \mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(B\mid A_1)\cdot \mathbf{P}(A_1)+\mathbf{P}(B\mid A_2) \cdot \mathbf{P}(A_2)+ \cdots +\mathbf{P}(B\mid A_n)\cdot \mathbf{P} (A_n) \] Finalmente, \[ \mathbf{P}(B)=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{P}(B\mid A_i) \cdot \mathbf{P}(A_i)} \]

Ejemplo: Experimento, al azar un estudiante de séptimo semestre paralelo 1. Calcular la Probabilidad de que es estudiante viva en el Sur de la ciudad. Sabemos que, estudiantes hombres son 7 y mujeres 8. Además, sabemos que el númeroo de hombres que vive en el Sur es de 3 y el númeroo de muejeres que vive en el Sur es 2. Consideremos el Evento \(B=\{\textit{Estudiante que vive en el Sur de la ciudad}\}\).

\(\underline{Tenemos:}\)

\[ \mathbf{P}=\sum_{i=1}^{2}{\mathbf{P}(B \mid A_i)\cdot \mathbf{P}(A_i)} \] es decir, \[ \mathbf{P}=\mathbf{P}(B \mid H)\cdot \mathbf{P}(H)+\mathbf{P}(B \mid M)\cdot \mathbf{P}(M) \] recordemos que, \(\mathbf{P}(B \mid H)\) es la probabilidad del Evento B dado que sea hombre, sino también, la probabilidad de que exista una persona que viva en el Sur y este debe ser hombre. \[ \mathbf{P}=\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{15}+\frac{2}{8}\cdot \frac{8}{15} \]

\[ \mathbf{P}=\frac{1}{3} \] por tanto, hay \(\frac{1}{3}\) de probabilidad, que al seleccionar de forma aleatoria un estudiante este viva en el Sur y sea hombre.

1.14.1 Teorema de Bayes

Usemos la gráfica anterior.

Teorema Probabilidad Total
Teorema Probabilidad Total

Ahora, para conocer a Bayes. Se nos pide hallar \(\mathbf{P}(A_j\mid B)\) donde \(i \neq j\). Y recordemos que los Eventos son independientes.

\(\underline{\textit{Samemos que:}}\) \[ \mathbf{P}(A_j\mid B)=\frac{\mathbf{P}(A_{j}\,\cap B)}{\mathbf{P}(B)} \] y de Probabilidad Total, tenemos \[ \mathbf{P}(A_j\mid B)=\frac{\mathbf{P}(A_{j}\cap B)}{\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{P}(B \mid A_i)\cdot \mathbf{P}(A_i)}} \] finalmente, junto a \(\mathbf{P}(B\mid A_j)=\frac{\mathbf{P}(A_{j}\,\cap B)}{\mathbf{P}(A_j)}\) \[ \mathbf{P}(A_j\mid B)=\frac{\mathbf{P}(B\mid A_j)\cdot \mathbf{P}(A_j) }{\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{P}(B \mid A_i)\cdot \mathbf{P}(A_i)}} \]

Experimento: Calcular la probabilidad de que al azar se obtenga a una estudiante que viva en el Sur de la ciudad. Recordemos el ejercicio anterior, \(B=\{\textit{Estudiante que vive en el Sur de la ciudad}\}\).

\[ \mathbf{P}(M\mid B)=\frac{\mathbf{P}(M\,\cap B)}{\mathbf{P}(B)} \]

\[ \mathbf{P}(M\mid B)=\frac{\mathbf{P}(M\mid B)\cdot \mathbf{P}(M)}{\mathbf{P}(B)} \]

\[ \mathbf{P}(M\mid B)=\frac{\frac{2}{8}\cdot\frac{8}{15}}{\frac{1}{3}} \]

\[ \mathbf{P}(M\mid B)=\frac{2}{5} \]

1.15 Variables Aleatorias

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un Espacio de Probabilidad, entonces, la función definida por: \[ X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}_x \subseteq \mathbb{R} \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \omega \mapsto X(\omega) \] es una Variable Aleatoria.
Ejemplo
Experimento: lanzar dos monedas
\(\underline{Tenemos:}\)
\[ \Omega=\{(cara, cara)(sello, sello)(cara, sello)(sello, cara)\} \] \[ X: \textit{Mide el númeroo de caras} \] recordemos que \(X\), tiene una naturaleza, es lo que indica su variable: edad, peso, etc. \[ X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}_x \subseteq \mathbb{R} \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (cara, cara) \mapsto X((cara, cara)) = 2 \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (cara, sello) \mapsto X((cara, sello)) = 1 \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (sello, cara) \mapsto X((sello, cara)) = 1 \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (sello, sello) \mapsto X((sello, sello)) = 0 \]

1.16 Ley de Probabilidades de una Variable Aleatoria

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un Espacio de Probabilidad y \(X\) una Variable Aleatoria definida en este espacio, entonces, la función definida por \[ f: \mathbb{R}_x \rightarrow [0, 1] \] \[ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \mapsto f(x) \] se le conoce como la Ley de Probabilidad de la Variable Aleatoria \(X\).

1.16.1 Tipos de Variables Aleatorias

Variable Aleatoria Discreta: Si \(\mathbb{R}_x\) es un conjunto finito o infinito NUMERABLE.
Variable Aleatoria Continua: Si \(\mathbb{R}_x\) es un conjunto finito o infinito NO NUMERABLE.

1.17 Propiedades de las Variables Aleatorias

Si \(X\) es una Variable Aleatoria Discreta,

  • \(\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)=1}\)
  • \(0\leq f(x_i) \leq 1\)

Si \(X\) es una Variable Aleatoria Continua,

  • \(\int_{- \infty}^{\infty}{f(x)\, dx=1}\)
  • \(0\leq f(x) \leq 1\)

\(\underline{\textit{Caso Discreto}}\)
Ejemplo
Experimento: lanzar dos monedas
\(\underline{Tenemos:}\)
\[ \Omega=\{(cara, cara)(sello, sello)(cara, sello)(sello, cara)\} \] \[ X: \textit{Mide el número de caras} \]

\(\Omega\) \(X\) Ley de Probabilidades
\((cara, cara)\) 2 \(\mathbf{P}(X=0)=\frac{1}{4}\)
\((sello, cara)\) 1 \(\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{4}\)
\((cara, sello)\) 1 \(\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{4}\)
\((sello, sello)\) 0 \(\mathbf{P}(X=2)=\frac{1}{4}\) 
# Generando los valores
x <- c(0, 1, 2)
y <- c(1/4,1/2,1/4)

# Generando la gráfica
plot(x, y, main = " Representación Ley de Probabilidades",
     xlab = "Valores - Conjunto Fundamental de Resultados dado X",
     ylab = "Probabilidad",
     type = "b", col = "black")
abline(h = 0.5, lty = 3, col = "blue")

\(\underline{\textit{Caso Continuo}}\)
Ejemplo
Sea \(X\) una Variable Aleatoria Continua con la Ley de Probabilidad definida por, \[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a, b] \\ 0 & \text{caso contrario } \end{cases} \] Probar que \(f(x)\) es una Ley de Probabilidades. Para ello, basta con probar sus características. \(\textit{Probemos entonces}\) \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1 \] por tanto, \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^{a}f(x) dx+\int_{a}^{b}f(x) dx+\int_{b}^{\infty}f(x) dx \] conocemos, por su definición que \(\int_{-\infty}^{a}f(x) dx\) y \(\int_{b}^{\infty}f(x) dx\) son cero, entonces, \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} dx \] \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \frac{1}{b-a} \cdot x \bigg|_{a}^{b} \] \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \frac{b-a}{b-a} \] \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1 \]

1.18 Varianza de la Variable Aleatoria X

Definición Sea \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), \mathbf{P})\) un espacio de probabilidad, entonces, la varianza de una variable aleatoria \(X\), está dada por \[ V(X)=E(X-E(X))^2 \]

1.18.1 Propiedades de la Varianza Aleatoria de X

Sea \(X, Y\) variables aleatorias y \(k \in \mathbb{R}\) una constante,

  1. \(V(k\cdot X)=k^2\cdot V(X)\)
  2. \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)+cov(X,Y)\), si \(X, Y\) son dependientes \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\), si \(X, Y\) son independientes
  3. \(V(X)=E(X^2)-E^2(X)\)

\(\textit{Caso Discreto}\)
Ejemplo
Experimento: lanzar dos monedas
\(\underline{Tenemos:}\) \[ \Omega=\{(cara, cara)(sello, sello)(cara, sello)(sello, cara)\} \] \(X:\) indica el número de caras

\(\Omega\) \(X\) \(f(x)\) \(F(x)\) \(E(X)\) \(E(X^2)\)
\((sello, sello)\) 0 \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(0\) \(0^2 \cdot \frac{1}{4}\)
\((cara, sello), (sello, cara)\) 1 \(\frac{1}{4}\) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{2}{4}\) \(1^2\cdot \frac{2}{4}\)
\((cara, cara)\) 2 \(\frac{1}{4}\) \(1\) \(\frac{2}{4}\) \(2^2\cdot \frac{1}{4}\)

luego, \[ V(X)=E(X^2)-E^2(X) \] \[ V(X)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} \]

\(\textit{Caso Continuo}\)
Sea una Variable Aleatoria Continua una función densidad, \[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a, b] \\ 0 & \text{caso contrario } \end{cases} \] Calcular la \(V(X)\).
Por ejercicios anteriores, sabemos que \(E(X)=\frac{b+a}{2}\,\,\, (1)\)
luego, \[ E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2f(x)dx}=\int_{a}^{b}{x^2\cdot \left(\frac{1}{b-a}\right)dx} \] \[ E(X^2)=\frac{1}{3(b-a)}x^3 \bigg|_a^b=\frac{b^2+ab+a^2}{3} \] de lo anterior y junto con \((1)\) \[ E(X)=\frac{b^2+ab+a^2}{3}-\left(\frac{b+a}{2} \right)^2 \] finalmente, \[ E(X)=\frac{(b-a)^2}{12} \]

1.19 Principales Distribuciones de Probabilidad con Variable Aleatoria Discreta

1.19.1 Distribución de Bernoulli

\[ X \sim \textit{Bernoulli}(\mathcal{p}) \] cuando:

  • \(X:\) indica el éxito
  • \(\mathcal{p}=\mathbf{P}(éxito)\)
  • \(1-\mathcal{p}= \mathbf{P}(fracaso)=\mathcal{q}\)
\(\Omega\) \(X\) \(f(x)\) \(F(x)\) \(E(X)\) \(E(X^2)\)
Fracaso 0 \(\mathbf{P}(X=0)=\mathcal{q}\) \(\mathcal{q}\) \(0 \cdot \mathcal{q}\) \(0^2 \cdot \mathcal{q}\)
Éxito 1 \(\mathbf{P}(X=1)=\mathcal{p}\) \(\mathcal{p}+ \mathcal{q}\) \(1 \cdot \mathcal{p}\) \(1^2 \cdot \mathcal{p}\)

\(E(X)=\mathcal{p}\)
\(V(X)=\mathcal{p}\cdot \mathcal{q}\)

Ejemplo
Experimento: calcular la probabilidad de que al seleccionar a un estudiante, este estudiante sea mujer.
\(\underline{\textit{Sabemos}}\) la probabilidad de las mujeres es \(\frac{10}{15}\). Para obtener tal proporción, se pidió a un grupo de personas \((total=15)\) se enumeren y posteriormente, se clasificó en mujeres \((10)\) y hombres \((5)\).

\(X\) \(\mathbf{P}(X=x) = f(x)\)
Mujeres 1 \(p=\frac{10}{15}\)
Hombres 0 \(q=\frac{5}{15}\)

1.19.2 Distribución Binomial

\[X \sim \mathbf{B}(n, p) \] Donde:

  • \(X:\) indica el número de éxitos al realizar n-veces el experimento.
  • \(p:\) probabilidad de éxito (debe determinarse).

\(\textit{Demostración:}\) partamos, que Binomial se deduce de Bernoulli, entonces realizaremos n-veces el experimento con sus respectivos éxitos \(E\) y fracasos \(F\), \[\mathbf{P}(E\cdot E\cdot F \ldots F\cdot F\cdot E) = \mathbf{P}(E) \cdot \mathbf{P}(E) \ldots \mathbf{P}(F) \cdot \mathbf{P}(E)\] \[\mathbf{P}(X=k) = p\cdot p \ldots q \cdot q = p^k \cdot q^{n-k} \] finalmente, \[\mathbf{P}(X=k)= \binom{n}{k}\, p^k \cdot q^{n-k} = f(k)\]

Siguiendo el cálculo de la Esperanza Matemérica y Varianza, obtenemos:
\(E(X)= n \cdot p\)
\(V(X)=n\cdot p \cdot q\)

Ejercicio
Considere lo siguiente:
la proporción de mujeres en una aula de clases es \(\frac{10}{15}\) y la variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad \(X \sim \mathbf{B}(n,p)\). En base a los datos proporcionados. ¿Cuál es la probabilidad de tener en los cinco estudiantes seleccionados dos de los seleecionados sean mujeres?.
Recordemos, que la variable aleatoria \(X \sim \mathbf{B}(n,p)\), entonces

\(\mathbf{P}(X=x)= \binom{n}{x} \, p^{x} \cdot q^{n-k}\)
\(\mathbf{P}(X=2)= \binom{5}{2} \, \left( \frac{10}{15} \rigth)^{x} \cdot \left( 1- \frac{10}{15} \right)^{n-k}\)
\(\mathbf{P}(X=2)= \left(0,16 \right)\)
Calculemos el valor más probable de obtener (Esperanza Matemática),
\(\mathbf{B}(X)= n \cdot p = 5 \cdot \frac{10}{15} = 3,33\)

# Cálculo de probabilidad, con función de R
  # Datos
    n <- 5
    p <- 10/15
    x <- 2
    
cat( "El valor de la probabilidad es: ",dbinom(x, n, p))
## El valor de la probabilidad es:  0.1646091
cat("La Esperanza Matemática es:", n*p)
## La Esperanza Matemática es: 3.333333
# Gráfica de Distribución Binomial Densidad
plot(1:n, dbinom(x, 1:n, p), main = "Distribución Binomial Densidad",
     xlab = "Valores de x", ylab = "Valores de f(x)",
     type = "b", col = "red")
abline(v = n*p, lty = 3, col = "blue")

# Gráfica de Distribución Binomial Acumulada
plot(1:n, pbinom(x, 1:n, p), main = "Distribución Binomial Acumulada",
     xlab = "Valores de x", ylab = "Valores de F(x)",
     type = "b", col = "red")
abline(h = 1, lty = 3, col = "blue")

1.19.3 Distribución Geométrica

\[X \sim \mathbf{G}(p) \] Donde:

  • \(X:\) indica el número de veces que hay que realizar el experiemnto, hasta obtener el primer éxito.
  • \(p:\) probabilidad de éxito.

La expresión matemática de la Distribución Geométrica,

\[\mathbf{P}(X=x)= q^{x-1} p\]

La Esperanza Matemática y su Varianza, son:
\(E(X)= \frac{1}{p}\)
\(V(X)= \frac{1-p}{p^2}\)

Ejercicio
Considere lo siguiente:
la proporción de mujeres en una aula de clases es \(\frac{10}{17}\) y la variable aleatoria sigue una distribución de probabilidad \(X \sim \mathbf{G}(p)\). En base a los datos proporcionados. ¿Cuál es la probabilidad de que al tercer intento de escoger un estudiante, sea mujer?.

\(\underline{Tenemos:}\)

# Probabilidad de mujeres 10/17
  # Usaremos la función por defecto en R
dgeom(x = 3-1, prob = 10/17)
## [1] 0.0997354
# Al usar la función en R para este distribución. Tener en cuenta su ecuación,
# ya que la función considere 'x' y no 'x-1' como mencionan los textos.

# Grafiquemos
# Función Densidad
x = seq(1,3)
plot(x, y = dgeom(x-1, prob = 10/17),
     main = "Distribución Función Densidad - Geométrica",
     xlab = "Eje x",
     ylab = " ",
     type = "b")
abline(v = 1/(10/17), col = "red")

# Función Acumulada
plot(x, pgeom(x-1, prob = 10/17),
     main = "Distribución Función Acumulada - Geométrica",
     xlab = "Eje x",
     ylab = " ",
     type = "b")
abline(h = 1, col = "red")

Dada una proporción del \(58,82 \%\), se espera que al tercer intento de seleccionar a un alumno y que esta sea mujer es del \(0,0997\) o \(9,97 \%\).

1.19.4 Distribución Poisson

\[X \sim \mathbf{P}(\lambda) \] Donde:

  • \(X:\) indica el número de éxitos al realizar un número indeterminado de veces el experimento de Bernoulli.
  • \(\lambda :\) indica el número de eventos que se dan en una unidad de tiempo geográfica.

La expresión matemática de la Distribución Geométrica,

\[\mathbf{P}(X=x)= \frac{\lambda^x}{x!} \cdot e^{-\lambda} \]

La Esperanza Matemática y su Varianza, son:
\(E(X)= \lambda\)
\(V(X)= \lambda\)

Ejercicio
Se determina que el número de clientes que pueden ser atendidos por una ventanilla de una banco, es de \(3 \frac{clientes}{minutos}\). Calcular, la probabilidad de que la ventanilla, según lo determinado atienda a \(2 \frac{clientes}{minutos}\).

dpois(x = 2, lambda = 3)
## [1] 0.2240418
# Grafiquemos
# Función Densidad
x <- 0:10  # Valores de x para los que se calculará la densidad de Poisson
lambda <- 3  # Parámetro lambda de la distribución de Poisson
# Calcula la densidad de Poisson para cada valor de x
densidad <- dpois(x, lambda)
# Grafica la función de densidad de Poisson
plot(x, densidad, type = "b", main = "Función de Densidad de Poisson", xlab = "x", ylab = "Densidad")
abline(v = lambda, col = "red")

# Función Acumulada
# Calcula la función de distribución acumulada de Poisson para cada valor de x
acumulada <- ppois(x, lambda)
# Grafica la función de distribución acumulada de Poisson
plot(x, acumulada, type = "b", main = "Función de Distribución Acumulada de Poisson", xlab = "x", ylab = "Probabilidad Acumulada")
abline(h=1, col = "red")

Del resultado, tenemos que el \(22,40 \%\) la ventanilla a evaluar esté atendiendo a \(2 \frac{clientes}{minutos}\).

1.19.5 Distribución Hipergeométrica

\[X \sim \mathbf{HG}(N,K,n) \] Donde:

  • \(X:\) indica el número de elementos de la categoría o grupo de interés (a) seleccionados de entre los (n) escogidos.
  • \(N: N = a + b\)

La expresión matemática de la Distribución Hipergeométrica,

\[\mathbf{P}(X=x)= \frac{\binom{a}{x} \binom{n}{n-x}}{\binom{N}{n}}\]

La Esperanza Matemática y su Varianza, son:
\(E(X)= \frac{n \cdot a}{N}\)
\(V(X)= \frac{n \cdot a}{N} \cdot \frac{N-a}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}\)

Ejercicio
Calcular la probabilidad de tener 2 hombres de entre los 5 seleccionados. Teniendo en cuenta que \(n=5\), el total de hombres es \(7\) y de mujeres \(10\).

# Parámetros
n_hombres <- 7
n_mujeres <- 10
total_personas <- n_hombres + n_mujeres
n_seleccionados <- 5
x <- 2  # Número de hombres que queremos en la muestra

# Cálculo de la probabilidad hipergeométrica
probabilidad <- dhyper(x, n_hombres, n_mujeres, n_seleccionados)
probabilidad
## [1] 0.4072398
# Gráficas para Dist. Hipergeométrica
# Valores posibles de x (número de hombres en la muestra)
x_vals <- 0:n_seleccionados

# Función de densidad
densidad <- dhyper(x_vals, n_hombres, n_mujeres, n_seleccionados)

# Graficar la función de densidad
plot(x_vals, densidad, type = "h", main = "Función de Densidad Hipergeométrica",
     xlab = "Número de hombres en la muestra", ylab = "Densidad",
     lwd = 2, col = "blue")
points(x_vals, densidad, pch = 16, col = "blue")

# Función de distribución acumulada
acumulada <- phyper(x_vals, n_hombres, n_mujeres, n_seleccionados)

# Graficar la función de distribución acumulada
plot(x_vals, acumulada, type = "s", main = "Función de Distribución Acumulada Hipergeométrica",
     xlab = "Número de hombres en la muestra", ylab = "Probabilidad Acumulada",
     lwd = 2, col = "blue")
points(x_vals, acumulada, pch = 16, col = "blue")

1.20 Principales Distribuciones de Probabilidad con Variable Aleatoria Continua