1 Probabilidad

Sean dos sucesos de un espacio muestral tales que la probabilidad de aprobar estadistica es \(P(B)=0.2\), la probabilidad de aprobar estadistica o ser hombre es \(P(A \cup B)=0.4\) y la probabilidad de ser aprobar estadistica y ser hombre es \(P(A \cap B)=0.7\).

  1. Calcula la probabilidad de ser mujer

Sabiendo que SOLO hay DOS generos, la probabilidad de ser mujer es \(P(A^c)=1-P(A)\)

Por lo que primero deberemos saber la probabilidad de ser hombre, la cual obtenemos:

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\) al despejar conseguimos \(P(A)=P(A \cup B)-P(B)+P(A \cap B)\), sustituyendo sacamos: \(P(A)=0.4 -0.2 + 0.7 = 0.9\)

Con esto ya podemos calcular:

\(P(A^c)= 1-P(A) = 1-0.9 = 0.1\)

  1. Calcula la probabilidad de ser mujer y aprobar estadistica \(P(A^c \cap B)\), sabiendo que la probabilidad de ser hombre y suspender es de \(P(A \cap B^c) = 0.8\).

Para calcularlo:

\(P(A^c \cup B)=P(A^c)+P(B)-P(A^c \cap B)\), que despejando nos quedaria \(P(A^c \cap B)=P(A^c)+P(B)-P(A^c \cup B)\), pero antes tenemos que obtener \(P(A^c \cup B)\)

Sabiendo que:

\(P(A^c \cup B) = 1-P(A \cap B^c)\)

Sabiendo la probabilidad de ser hombre y suspender, al sustituir obtenemos:

\(P(A^c \cup B) = 1-0.8 = 0.2\)

Con esto, podemos sustituir en lo anteriormente despejado, obteniendo:

\(P(A^c \cap B)=P(A^c)+P(B)-P(A^c \cup B)=0.1 + 0.2 - 0.2 = 0.1\)

  1. Calcula \(P(A^c/B)\).

Para calcularlo: \(P(A^c / B)=\frac{P(A^c \cap B)}{P(B)}\) Tenemos todos los datos, por lo que podemos sacarlo. \(P(A^c / B)=\frac{P(A^c \cap B)}{P(B)}=0.1/0.2=0.5\)

  1. ¿Son independientes los sucesos A y B?.

No son independientes, ya que deberia cumplirse que \(P(A \cap B)=0.7\) sea igual a \(P(A)P(B)=0.1*0.2=0.02\). Al no cumplirse, se comprueba que no son independientes.

2 Variable aleatoria binomial

En una unidad de desactivación de bombas del ejercito tienen un proveedor el cual modifica las bombas para que no puedan explotar, pero en este caso el ejercito ha decidido prescindir del proveedor y modificarlas ellos mismos, los cuales al no tanta experiencia han inutilizado el 0,4 de las bombas.

En este caso es una binomial ya que o es defectuosa o esta desarmada

1.Calcula la probabilidad que de 10 bombas, 8 esten activas aún.

\(P(X = 8) =\)

dbinom(8,10,0.4)
## [1] 0.01061683

2.Calcular la probabilidad que de 10 bombas haya entre 4 y 8 bombas activas(4 y 8 incluido)

\(P(4\leq X\leq 8) =\)

pbinom(8,10,0.4) - pbinom(4,10,0.4)
## [1] 0.365219

3.La probabilidad de que solo haya una bomba defectuosa de entre una muestra de 10, sabiendo que hay menos de 4

\(P(X = 1|X\leq 4)=\)

dbinom(1,10,0.4)/pbinom(4,10,0.4)
## [1] 0.06367174

4.Calcular la media de bombas defectuosas en una muestra de 14 Sacamos una muestra de 1000 numeros aleatorios

mean(rbinom(1000,14,0.4))
## [1] 5.593

3 Estadística descriptiva

La base de datos BODYFAT del paquete PASWR2 la cantidad de grasa en el cuerpo de las personas en relacion a la edad de estas personas, en una encuesta de 14 mujeres y 4 hombres

  1. Proporciona con R resumen de los datos.
library(PASWR2)
## Warning: package 'PASWR2' was built under R version 4.3.3
## Loading required package: lattice
## Warning: package 'lattice' was built under R version 4.3.3
## Loading required package: ggplot2
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3
summary(BODYFAT) 
##       age             fat        sex   
##  Min.   :23.00   Min.   : 7.80   F:14  
##  1st Qu.:39.50   1st Qu.:26.27   M: 4  
##  Median :51.50   Median :30.70         
##  Mean   :46.33   Mean   :28.61         
##  3rd Qu.:56.75   3rd Qu.:33.60         
##  Max.   :61.00   Max.   :42.00
  1. Utiliza la función eda del paquete PASWR2 para realizar un análisis exploratorio de la variable age

Ahora vamos a utilizar la función eda del paquete PASWR2 para realizar un análisis exploratorio de la variable age

eda(BODYFAT$age)

## Size (n)  Missing  Minimum   1st Qu     Mean   Median   TrMean   3rd Qu 
##   18.000    0.000   23.000   39.500   46.333   51.500   46.333   56.750 
##      Max    Stdev      Var  SE Mean   I.Q.R.    Range Kurtosis Skewness 
##   61.000   13.218  174.706    3.116   17.250   38.000   -1.137   -0.681 
## SW p-val 
##    0.011

Cuantiles

  1. Calcula el cuantil del 75 de la variable ‘age’
quantile(BODYFAT$age)
##    0%   25%   50%   75%  100% 
## 23.00 39.50 51.50 56.75 61.00

Como se puede ver, el tercer cuantil esta en aproximadamente 57 años de edad Diagrama de cajas

boxplot(BODYFAT$age)

3.1 Variable aleatoria continua

A Fernando le chiflan las rubias, por ello ha hecho un estudio para intentar saber cuantas rubias hay en Noruega para irse a vivir alli. De media, de cada 1000 mujeres en Noruega, 650 son rubias, con una desviacion tipica de 350.5, como no quiere arriesgarse manda a su amigo Mario que le debe bastante dinero a que haga reconocimiento de la zona, avisandole cuando encuentre un pueblo con 1000 rubias

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1000 rubias en el pueblo?

X~N(650,350.5)

 pnorm(1000,650,350.5) = 0.1590007

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya mas de 900 rubias?

    pnorm(900,650,350.5) = 0.2378404

  2. Fernando se ha dado cuenta de que es una locura irse a Noruega y abandonar a toda su familia, asi que ha decidido que el estudio lo hara en España. En Albacete solo un 20% son rubias, sabiendo que tiene __10 amiga__s en Albacete, ¿cual es la probabilidad de que 1 sea rubia?

Y~Bi(10,0.2), P(Y=1)

 dbinom(1,10,0.2) = 0.2684355
  1. Viendo la tan baja probabilidad en Albacete, decide despedirse de todos sus seres queridos y volver a Noruega, conformandose con que haya entre 600 y 800 rubias en el pueblo donde se aloje ¿Cuál es la probabilidad?

X~N(650,350.5) P(600<X<800)

 pnorm(800,650,350.5)-pnorm(600,650,350.5) = 0.2223779

4 Contraste de hipótesis

La famosa redaccion sobre deportes MARCA a publicado un estudio.En el cual estipulan que para que un delantero promedio de la liga española pueda llegar a los 80 goles actualmente en 105 partidos.

Para realizar dicha comprobación, toma una muestra de 70 futbolistas y anota en un Excel los partidos y aprovecha para calcular la media muestral que es de 90 días. El diario marca sabe que la desviación de la población es de 15 partidos y el nivel de confianza es del 90% y se pregunta si pueden publicar que los goles son marcados en una de media 100 partidos.

PASOS A SEGUIR EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS

PASO 1: Enunciado y determinación de la hipótesis nula y la alternativa, H0 y H1

PASO 2: Elegimos el nivel de significación

PASO 3: Especificamos el tamaño muestral

PASO 4: Seleccionamos el estadístico

PASO 5: Determinación de la región crítica

Zalphamedios = qnorm(1-(0.1/2))
Zalphamedios
## [1] 1.644854

PASO 6: Calculamos el valor del estadístico para la muestra extraída por el diario para el estudio .

Zs = (90-100)/ 15/sqrt(70)
Zs
## [1] -0.07968191

5 Contraste de hipótesis no paramétrico

Mario siempre se queja de que no le dan el MVP al jugar en Valorant, por ello ha pedido a su amigo JJ haga un estudio de los para que encuentre el porque de esta injusticia.

Y nos a proporcionado los siguientes datos referidos a el daño por ronda, que Mario hace:

JJ quiere, usando la prueba de los signos y con un nivel de significacion de 0.05, confirmar que la mediana de daño por ronda de Mario es superior a 60

Prueba de los signos. Pasos

Probamos la hipotesis nula H0 : µ=µ0 frente a otra alternativa

1. Se pone un signo positivo si el valor excede a la mediana y un signo negativo si es inferior.

datos <- c(54,57,64,50,70,80,110,92,96,60,83,60,77,42)
signos <- c("-","-","+","-","+","+","+","+","+","","+","","+","-")
tabla <- data.frame(cbind(datos,signos))
tabla
##    datos signos
## 1     54      -
## 2     57      -
## 3     64      +
## 4     50      -
## 5     70      +
## 6     80      +
## 7    110      +
## 8     92      +
## 9     96      +
## 10    60       
## 11    83      +
## 12    60       
## 13    77      +
## 14    42      -

2. Se calcula el número de signos positivos N+ y negativos N-

3. Calculamos el estadístico Bs = max{N+,N-}

Nmas = 8
Nmenos = 4
Bs = max(Nmas,Nmenos)
Bs
## [1] 8

Al ser unilateral del tipo “>” solamente +.

4. Calculamos Balpha/2,n

alpha = 0.05
n = 12
Balphamedios= qbinom(1-(alpha/2),n,0.5)
Balphamedios
## [1] 9

5. Conclusiones

Puesto que Balphamedios es mayor que Bs, no existe suficiente estadística para decir que el daño por ronda que hace Mario sea menor al 60. Y por tanto aceptamos la H0 y podemos afirmar que la mediana de daño por ronda es 60.

Además, podemos calcular el P-valor exacto, y suponiendo que no hay diferencias, el número de positivos sigue una Bi(12,0.5). En este caso será:

1-pbinom(6,12,0.5)
## [1] 0.387207

Por tanto, al ser el P-valor superior a el nivel de significación dado por JJ, aceptamos la H0.

6 Contraste de hipótesis

6.1 Contraste de hipótesis paramétrico

Una persona cuyo nombre no hace falta mencionar, cuando va a un partido del Albacete siempre se termina yendo a su casa en el descanso, excusandose porque “hace mucho calor”.

Tomando una muestra de 20 partidos a los que a ido, con una _media muestral de minutos que dura viendo el partido de 50, un __nivel de confianza del 95%_ y una _desviacion tipica de 5 minutos, seria posible que este individuo consiga una __media de 90 minutos_ sin abandonar el estadio cada partido. PASOS A SEGUIR EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS
PASO 1: Enunciado y determinación de la hipótesis nula y la alternativa, H0 y H1

  • H0 : µ = 90
  • H1 : µ ≠ 90

PASO 2: Elegimos el nivel de significación

  1. ¿Como sabemos el nivel de significación?
  • Puesto que el enunciado del ejercicio, nos dan el nivel de confianza, el nivel de significación se saca:

{r class.source=“bg-success”, class.output=“bg-info”} alpha = 1 - 0.95 alpha

PASO 3: Especificamos el tamaño muestral

  • n = 20 partidos

PASO 4: Seleccionamos el estadístico

  1. ¿Como sabemos que estadístico utilizar?

  • Utilizamos la siguiente fórmula puesto que la Desviación es conocida:

  • Zs = (X̅ - µ) / (σ / √n)

PASO 5: Determinación de la región crítica

{r class.source=“bg-success”, class.output=“bg-info”} Zalphamedios = qnorm(1-(0.05/2)) Zalphamedios

{r class.source=“bg-info”} normal_area <- function(mean = 0, sd = 1, lb, ub, acolor = “lightgray”, …) { x <- seq(mean - 3 * sd, mean + 3 * sd, length = 100) if (missing(lb)) { lb <- min(x) } if (missing(ub)) { ub <- max(x) } x2 <- seq(lb, ub, length = 100) x3 <- seq(-3,-1.96,length=100) x4 <- seq(1.96,3,length=100)

plot(x, dnorm(x, mean, sd), type = "n",xaxt="n", ylab = "")
axis(1,at=c(-3,-1.96,1.96,3),labels=c("-Infinito","-1.96","1.96","Infinito"))

y <- dnorm(x2, mean, sd)
z <- dnorm(x3,mean,sd)
w <- dnorm(x4,mean,sd)

polygon(c(lb, x2, ub), c(0, y, 0), col = acolor)
polygon(c(-3,x3,-1.96),c(0,z,0),col ="red")
polygon(c(1.96,x4,3),c(0,w,0),col="red")
lines(x, dnorm(x, mean, sd), type = "l")

text(x=-0.02,y= 0.15,label= "Región de aceptación",col= "springgreen4",font=2,cex=1.3)
text(x=2.5,y= 0.08,label= "Región de\n rechazo",col= "red2",font=2,cex=1)
text(x=-2.5,y= 0.08,label= "Región de\n rechazo",col= "red2",font=2,cex=1)
legend("topright",col=c("black"),legend =c("Z ~ N(0,1)"),lwd=1,bty = "n")
title(main="Región crítica")

} normal_area(mean = 0, sd = 1, lb = -1.96, ub = 1.96, acolor = rgb(0, 1, 0, alpha = 0.5))

  1. ¿Entre que rango se encuentra la región de aceptación?
  • La región de aceptación se encuentra entre (-1.96, + 1.96).
  1. ¿Y las regiones de rechazo?
  • Las regiones de rechazo se encuentran entre (-∞,-1.96) U (+1.96,∞)

PASO 6: Calculamos el valor del estadístico para la muestra extraída.

{r class.source=“bg-success”, class.output=“bg-info”} Zs = (50-90)/ (5/sqrt(20)) Zs

PASO 7: Conclusiones

Visto lo visto, esta personita no se quedara a ver un partido completo, sera por el calor, porque tiene prisa o porque tenga que estudiar. Esto se debe a que (Zs < -Zalphamedios) por lo que _se encuentra en la region de rechazo, habiendo asi evidencia estaidstica __en contra de la hipotesis nula, H0_

6.2 Contraste de hipótesis no paramétrico

Fernando lleva varios años yendo al _gimnasio, esto ha logrado que tenga una fuerza __superior a la media, un gran logro para el y del cual se siente muy __orgulloso. Pero Fernando es muy __poco humilde_ por lo que siempre que va con un amigo al gimnasio, le pone mas peso a las maquinas que el que pone su amigo para asi sentirse mejor consigo mismo.

Dependiendo de que maquinas sean, Fernando le sube mas o menos _placas, estos son los datos del __numero de placas_ que le sube en diferentes maquinas:

  • 1, 5, 3, 7, 4, 10, 7, 20, 2, 9, 5, 5

Fernando, para chulear un poco, quiere usando la prueba de los signos y con un _nivel de significacion de 0.1, si la mediana de placas que le sube es __mayor de 5_

6.2.1 Prueba de los signos. Pasos

Probamos la hipotesis nula H0 : µ=µ0 frente a otra alternativa

6.2.2 1. Se pone un signo positivo si el valor excede a la mediana y un signo negativo si es inferior.

Pregunta 1: Haz una tabla que represente los datos con su signo correspondiente si excede a la mediana o si es inferior.

{r class.source=“bg-info”, class.output=“bg-success”} datos <- c(1, 5 , 3 , 7 , 4 , 10 , 7 , 20, 2, 9 ,5 , 5 ) signos <- c(“-”,“=”,“-”,“+”,“-”,“+”,“+”,“+”,“-”,“+”,“=”, “=”) tabla <- data.frame(cbind(datos,signos)) tabla

Pregunta 2: ¿Cuál es el tamaño muestral? * Gracias a la tabla, podemos decir que el tamaño muestral (n) es 9 dado que hay 3 empates con la mediana.

6.2.3 2. Se calcula el número de signos positivos N+ y negativos N-

  • N+ = 5
  • N- = 4

6.2.4 3. Calculamos el estadístico Bs = max{N+,N-}

{r class.source=“bg-info”, class.output=“bg-success”} Nmas = 5 Nmenos = 4 Bs = max(Nmas,Nmenos) Bs

Pregunta 3. ¿De qué tipo es el estadístico?

  • Al ser unilateral del tipo “>” solamente +.

  • Balpha,n = 5

6.2.5 4. Calculamos Balpha/2,n

{r class.source=“bg-info”, class.output=“bg-success”} alpha = 0.1 n = 9 Balphamedios= qbinom(1-(alpha/2),n,0.5) Balphamedios

6.2.6 5. Conclusiones

Como Balphamedios es mayor que Bs no existe suficiente estadística para decir que la mediana de placas que le sube es mayor a 5. Y por tanto aceptamos la hipotesis nula, H0 y podemos afirmar que la mediana de placas que le sube a las maquinas es mayor a 5.

7 Analisis varianza

Fernando un dia cualquiera jugando al valorant al estresarse golpear la mesa,por lo tanto hizo la accion en 3 mesas distintas de su casa(rompia la mesa y cogia una del punto limpio) .Para ello hemos calculado que las poblaciones siguen unas distribuciones normale, a continuacion vamos a mostrar las velocidades en metros/segundo:

El profesor de estadística observa la mano de Fernando(Esta vendada con los dedos rotos) al llegar a clase el martes y le pregunta:

a) ¿Cuál es el valor del estadístico del contraste?

b) ¿Cuál es el P-valor?¿Influye la mesa que golpea Fernando?

c) ¿Cuál es el valor de la suma de cuadrados entre los grupos? ¿ Y dentro de los grupos?

d) ¿Cuál es el valor de la media de cuadrados entre los grupos? ¿ Y dentro de los grupos?

Para responder a cada una de las preguntas que el profesor le decía, Fernando tenía apuntado en el movil los comandos utilizados:

datos=c(10.8,11.2,10.45,10.32,10.2,11,9.90,10.5,10.2)
grupos=factor(rep(c("X","Y","Z"),3))
summary(aov(datos~grupos))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## grupos       2 0.1371 0.06854   0.325  0.735
## Residuals    6 1.2673 0.21121

Fernando se ha roto las 8 dedos,tiene un esguince de muñeca en la mano izquierda y una rotura del cubito y el radio en la derecha.

8 . Regresión lineal

Mario este año se ha propuesto el objetivo de encontrar a la mujer con la que pueda vivir el resto de su vida(Esta muy deseperado ,le vale cualquiera).Por lo tanto se ha propuesto hablar con cada mujer que vea ,pero extrañamente no le hacen caso (No les habla ,las persigue hasta su casa),desde que ha empezado ,las esperanzas de Mario por conseguir una pareja siguen esta representacion:

Numerodias=c(1,2,3,12,14,15,18,23,26,29,31,40,43,47,57);
Esperanzas=c(100,84,88,63,61,66,69,45,49,47,30,25,23,14,0);
plot(Numerodias,Esperanzas)
abline(lm(Esperanzas~Numerodias))

Pregunta 1: ¿Cual es la constante y la pendiente de la recta?

lm(Esperanzas~Numerodias)
## 
## Call:
## lm(formula = Esperanzas ~ Numerodias)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)   Numerodias  
##      90.359       -1.638

Pregunta 2: ¿Cual sería el porcentaje de esperanza de Mario para el dio número 20 de constante rechazo ?

 predict(lm(Esperanzas~Numerodias),new=data.frame(Numerodias=20))
##        1 
## 57.59526

Pregunta 3: ¿Cuál es el P-valor de la constante y de la pendiente?

summary(lm(Esperanzas~Numerodias))
## 
## Call:
## lm(formula = Esperanzas ~ Numerodias)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9.5753 -4.7534  0.6356  3.0501 11.2793 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 90.35885    2.81673   32.08 9.19e-14 ***
## Numerodias  -1.63818    0.09636  -17.00 2.92e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.192 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.957,  Adjusted R-squared:  0.9536 
## F-statistic:   289 on 1 and 13 DF,  p-value: 2.919e-10

Pregunta 4: ¿Cuál es la ordenada en el origen en la recta de regresión?

Ayudémonos de la siguiente fórmula para razonar este apartado: y = ax+b.

En este caso, como la ordenada en el origen se consigue en el punto (0,y), es decir, x = 0, podemos decir directamente que la ordenada en el origen es la constante, que en este caso es 90.359, porque al ser 0 la x no influye el valor de la constante para hallar el valor del eje y donde interseca la recta de regresión.

Pregunta 5: ¿Cuál es coeficiente de correlación?

cor(Esperanzas,Numerodias)
## [1] -0.9782416

El coeficiente de correlación es -0.9782416. Al ser menor a cero indica una correlación negativa, es decir, que los valores de una variable, en este caso el número de dias, tienden a incrementarse mientras que los valores de la otra variable, la esperanza de Mario, descienden. Además al estar bastante próximo a -1, podemos decir que la covariación es extrema.

Al final del experimento,Mario aprendió que primero debe quererse a si mismo y luego ya buscar pareja(Tiene 7 ordenes de alejamiento y 3 denuncias por acoso).Mario en estos proximos meses se mudara a Noruega con su amigo Fernando ya que este a tenido muy buenos resultados(Es mentira,el tambien esta muy solo y quiere compañia).