Estadística y Probabilidad

Clase 2.9
Distribuciones continuas

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Variables aleatorias continuas
    • Algunos ejemplos donde se usa la distribución de Poisson
    • Función de probabilidad de v.a continuas
      • Propiedades de la función de probabilidad de una v.a continua
    • Función de distribución de una v.a continua
      • Propiedades de la dist. de una v.a continua
    • Cálculo de las probabilidades entre dos valores \(a\) y \(b\).
    • Valor esperado y varianza de una v.a continua
    • Ejemplos
    • Ejercicios

Variables aleatorias continuas

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores (enteros o continuos). Es decir

\[\begin{align*} X : & S \rightarrow \mathbb{R}\\ & s \rightarrow X(s)=x \end{align*}\]

Ejemplo 1

La variable aleatoria, \(X\):= “Estatura (en metros) de los expresidentes de varias naciones”,

\[\begin{align*} X:S= \{ Mahamoud, Angela, \dots, David,& Barack\} \rightarrow \{ 1.57, 1.65,\dots, 1.85, 1.85 \} \subseteq R\\ & s \overrightarrow{\hspace{9cm}} X(s)=x \end{align*}\]

Función de probabilidad de variables aleatorias continuas

Dada una v.a. continua \(X : E \rightarrow R\), su función de probabilidad \(f(\cdot)\), se define como:

\[\begin{array}{@{} r @{} c @{} l @{} } f \colon & X & {} \longrightarrow [0,1]\\[1ex] &[a, b] & {} \longrightarrow f([a, b])= \begin{cases} \begin{array}{@{} l @{} l @{} } & p(a \leqslant X \leqslant b)\\ & \text{Área bajo la curva } f \text{ entre a y b} \end{array} \end{cases} \end{array}\]

Propiedades de la función de probabilidad de una variable aleatoria continua

Una función \(f(x)\) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua \(X\), definida sobre el conjunto de los números reales, sí satisface las siguientes condiciones:

  1. \(f(x) \geqslant 0, \text{ si $x \in \mathbb{R}$}\)
  2. Área de \(f((-\infty, \infty)) = 1\)
  3. \(\begin{aligned}[t] p(a \leqslant X \leqslant b)= & p(a < X \leqslant b)\\ = & p(a \leqslant X < b)\\ = & p(a < X < b)\\ = & \text{Área bajo la curva } f \text{ entre a y b} \end{aligned}\)
  4. \(p(X = c) = 0, \text{ para cualquier $c \in \mathbb{R}$}\)

Función de distribución de una variable aleatoria continua

La distribución acumulada \(F(x)\) de una variable aleatoria continua \(X\), con una función de densidad \(f(x)\), viene dada por:

\[F(x) = p(X \leqslant x)= \text{Área bajo la curva } f, \text{ desde $-\infty$ hasta $x$}\]

Propiedades de la dist. de una v.a continua

De la definición de función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua se deducen las propiedades siguientes:

  1. \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x)= 0\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} F(x)= 1\)
  3. Si \(k_1 \leqslant k_2\), entonces, \(F(k_1) \leqslant F(k_2)\)
  4. \(p(a \leqslant X \leqslant b) = F(b) - F(a)\), para \(a,b \in \mathbb{R}\)
  5. \(p(X \geqslant a) = 1- F(a)\), para \(a \in \mathbb{R}\)

Cálculo de las probabilidades entre dos valores \(a\) y \(b\)

Se ilustra el cálculo de probabilidades entre \(a\) y \(b\) como una diferencia entre las probabilidades acumuladas en la fda (“áreas”).

\(\qquad \qquad \qquad \quad p(a \leqslant X \leqslant b) \qquad = \quad p(X \leqslant b) \qquad - \qquad p(X \leqslant a)\)

Observación

En particular, podemos notar que la probabilidad \(p(x =a) = 0\), ya que por definición del cálculo de las probabilidades de una distribución continua, se tiene que:

\[ \begin{align*} p(X = a) = &p(a \leqslant X \leqslant a) \\ = &p(X \leqslant a) - p(X \leqslant a)\\ =& 0 \end{align*} \]

Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua

Valor esperado

El valor esperado \(\mu = E(X)\), de una variable aleatoria continua \(X\), viene dado por:

\[\mu =E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx\] #### Propiedad del valor esperado

Sea \(Y = aX+ b\), donde \(a,b \in \mathbb{R}\) constantes y \(X\) una variable aleatoria, entonces, se tiene la siguiente propiedad:

\[ \begin{align*} E[Y]= & E[aX+b] \\ = & E[aX]+E[b]\\ = &aE[X] + b \end{align*} \]

Varianza

La varianza \(Var(X)\), de una variable aleatoria continua \(X\), viene dada por:

\[\sigma^2 = Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx\]

o su fórmula alternativa, que es mucho más fácil de calcular:

\[\sigma^2 = Var(X) = \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx \right] -\mu^2 \]

Ejemplo 2

Un profesor de la UTB nunca termina su clase antes de la 2 hora, y nunca se pasa un segundo de ésta. Sea \(X\): “Tiempo(horas) que transcurre entre el inicio de la clase y el término efectivo de la clase”. Suponga que la fdp (función de densidad de probabilidad) de la variable \(X\) viene dada por:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{si $0\leqslant x \leqslant 1$} \\ 2-x, & \text{si $1 < x \leqslant 2$} \\ 0, & \text{Cualquier otro caso} \end{cases} \]

  1. Grafique la función de probabilidad \(f(x)\).
  2. Muestre que en efecto, \(f(x)\) es una fdp.
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de un segundo del término de la hora?
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 minutos después del término de la hora?
  5. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 90 minutos después del término de la hora?
  6. Calcule el valor esperado y la desviación estandar de \(X\).

Ejemplo 3

La longitud de ciertos tornillos (en centímetros) es una variable aleatoria \(X\), tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{3}{4}(-x^2+4x-3), & \text{si $1\leqslant x \leqslant 3$} \\ 0, & \text{Cualquier otro caso} \end{cases} \]

  1. Para hacer cierto trabajo se prefieren tornillos con longitud entre 1.7 cm y 2.4 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo tenga dicha longitud?.
  2. Si la longitud de cada tornillo es independiente de la longitud de otro tornillo. ¿Cuál es la probabilidad de que tres tornillos tengan la longitud que se prefiere?
  3. Si para construir lo que se necesita con uno de estos tornillos hay que hacer un gasto de $10 por cm de longitud que tenga el tornillo más un gasto fijo de $4. ¿Cuál es el gasto medio esperado por un tornillo?
  4. Calcule el valor esperado y la varianza de la longitud de cada tornillo.

Ejercicio 1

El tiempo de conducir a la escuela para un estudiante de un colegio comunitario es un ejemplo de una variable aleatoria continua. La función de densidad de probabilidad y las áreas de regiones creadas por los puntos 15 y 25 minutos se muestran en la gráfica.

  1. Encuentra la probabilidad de que un estudiante tarda menos de 15 minutos en conducir a la escuela.
  2. Encuentra la probabilidad de que un estudiante no tome más de 15 minutos en conducir a la escuela. Esta respuesta es la misma que la pregunta anterior, porque los puntos no tienen probabilidad con variables aleatorias continuas.
  3. Encuentra la probabilidad de que un estudiante tome más de 15 minutos en conducir a la escuela.
  4. Encuentra la probabilidad de que un estudiante tome entre 15 y 25 minutos en conducir a la escuela.

Ejercicio 2

Las marcas obtenidas por un lanzador (distancias medidas en decámetros) es una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} k\frac{x^2}{9}, & \text{ si } 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ 0, & \text{Cualquier otro caso} \end{cases} \]

  1. Encontrar el valor de \(k\).
  2. Encontrar la probabilidad de que la distancia conseguida por el lanzador sea mayor a 2 decámetros.
  3. Encontrar la probabilidad de que la marca sea superior a 2.5 decámetros si se sabe que es superior a 2 decámetros.
  4. Encontrar la distancia media esperada.

Ejercicio 3

La vida, en horas, de cierto tipo de lámparas varía aleatoriamente según la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x^2}, & \text{ si } x \geqslant 100 \ hs \\ 0, & x < 100 \ hs \end{cases} \]

  1. Encuentre el valor de \(k\) para la función de densidad dada.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara de este tipo tenga una vida útil mayor a 200 horas?
  3. Cierto artefacto tiene tres de estas lámparas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres lámparas duren más de 200 horas?