1 Probabilidad

1.Sabiendo que el niño esta lesionado, ¿cuál es la probabilidad de que practique fútbol?

$P(JugarF_lesion)$=$P(Futbol)$*$P(F_lesioando)$=0.036%

$P(JugarB_lesion)$=$P(Baloncesto)$*$P(B_lesioando)$=0.016%

$P(Lesionado)$=$P(JugarF_lesion)$+$P(JugarB_lesion)$=0.052%

$P(Futbol|Lesionado)$=$P(Futbol\cup F_Lesionado)$/$P(Lesionado)$=0.6923%

2.Sabiendo que el niño no practica fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que esté lesionado?

$P(!futbol\cap Lesionado)$=$P(Baloncesto \cap B_lesionado)$=0.016% $P(!futbol)$=1-$P(Futbol)$=0.40%

$P(Lesionado|!futbol)$=$P(!futbol\cap Lesionado)$/$P(!futbol)$=0.04%

3.calcula la probabilidad de que juegue a futbol y este lesionado

$P(Futbol \cap F_lesionado)$=$P(Futbol)$*$P(F_lesionado)$=0.036%

4.calcula la probabilidad de que juegue a futbol y este lesionado o que juegue a baloncesto y no este lesionado

$P(Futbol \cap F_lesionado)$=0.036% $P(Baloncesto\cap !B_lesionado)$=0.384%

$P(Futbol\cap F_lesioando | Baloncesto\cap !B_lesionado)$=$P(Futbol \cap F_lesionado)$+$P(Baloncesto\cap !B_lesionado)$=0.42%

2 Variable aleatoria exponencial

Un fabricante de coches eléctricos produce baterías para un nuevo modelo de coches. La duración de las baterías sigue una distribución exponencial con una vida media de 4 horas. El fabricante produce 1500 baterías para la primera versión del coche que tiene una demanda esperada de 1400 unidades. La probabilidad de que una batería falle es del 5%, y se asume que el comportamiento de las baterías es independiente

¿Cuál es la distribución de probabilidad para la duración de las baterías?

La función de densidad de probabilidad para esta distribución es:

\[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \] Sabemos que la vida media es de 4 horas, el parámetro $\lambda$ es $\frac{1}{4}$.

Entonces la distribucion de probabilidad es \[ f(x) = \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{4} x} \]

Calcula la media de la variable aleatoria que representa la duración de las baterías

Como la media ($\mu$) de la distribución es igual a la inversa de $\lambda$.

\[ \mu = \frac{1}{\lambda} = 4 \]

Calcula la mediana de la distribución de duraciones de las baterías.

vamos a calcular la mediana de la distribución asi $\mu \ln(2)$, que en este caso es $4 \ln(2) \approx 2.773$ horas.

Supongamos que se seleccionan al azar dos baterías independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas duren más de 30 horas?

\[ P(X > 30) = \int_{30}^{\infty} \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{4} x} \,dx \]

lo que es aproximadamente 0.0183.

Vamos a calcular la probabilidad del conjunto multiplicando las probabilidades individuales

\[ P(X_1 > 30 \cap X_2 > 30) = P(X_1 > 30) \times P(X_2 > 30) \]

\[ P(X_1 > 30 \cap X_2 > 30) = 0.0183 \times 0.0183 \approx 0.000335 \]

***

3 Distribuciones de probabilidad

La empresa APPLE ofrece garantía contra que se caiga el móvil al suelo y se rompa. Según las estadísticas, la probabilidad de que a una persona se le caiga el móvil por este tipo de garantía es de una cada dos mil personas. La compañía estima que puede vender en promedio cinco mil garantías al año. Calcula:

1- Que el número de caídas cubiertos por la garantía no pase de cuatro por año?

Primero tenemos que calcular la tasa media de eventos por año:

r lambda <- 5000 * (1/2000)

Ahora ya podemos calcular el número de caídas:

$P(X\leq 4)$=

{r} ppois(4,lambda)

También se puede poner así:

$P(X\leq 4)$=ppois(2,1/3)=r x <-ppois(4,lambda)

2- Número de caídas esperados por año?

Ya lo hemos calculado anteriormente:

r lambda <- 5000 * (1/2000)

3- Que el número de caídas sea superior a tres por año?

$1 - P(X\leq 3)$=r x <- 1 - ppois(3, lambda)

4- Que ocurran nueve caídas por año?

$P(X = 9)$=r x <- dpois(9, lambda)

4 Probabilidad

La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar:

La probabilidad de que pesen entre 60 kg y 75 kg.

$P(60\leq X \leq75)$={r} pnorm(75,70,3)-pnorm(60,70,3)

[1] 0.9517806

La probabilidad de que pesen más de 90 kg.

$P(X> 90)=P(Z>(90-70)/3)=P(Z>6.66)=1-P(Z\leq6.66)$={r} 1-pnorm(6.66)

[1] 1.369138e-11

La probabilidad de que pesen menos de 64 kg.

$P(X < 64)$={r} pnorm(64,70,3)

[1] 0.02275013

La probabilidad de que pesen 64 kg.

$P(X = 64)$=0 , ya que cuando la distribución es continua, la probabilidad de que la variable tenga un valor exacto es siempre es nula.

5 Contraste de hipótesis - paramétrico

Una empresa de neumáticos afirma que una nueva gama en promedio dura al menos 28.000 km. Las pruebas con 64 neumáticos dan como resultado una duración media de 27.800 km, con una desviación estándar de 1.000 km.

¿Cuál es la hipótesis nula y cuál es la hipótesis alternativa?

Como bien sabemos la hipótesis nula (H₀) esla afirmación que quiere ser constrastada y la hipótesis alternativa (H₁) es la opuesta a la hipótesis nula. Por tanto:

H₀: La media de la duración de los neumáticos es igual o más de 28.000 km.

H₁: La media de la duración de los neumáticos es menor de 28.000 km.
Determina la región critica, con un nivel de significación del 5%.

$Z_{\alpha/2}$={r} qnorm(1-0.05/2) , es el valor que deja en las colas el % de la distribución normal N(0,1).

[1] 1.959964

Comprobar si hay evidencia suficiente para rechazar la afirmación de la empresa.

$Z_{s}=(27800-28000)/(1000/sqrt{64})$=1.6

Como $Z_{s}>-Z_{\alpha/2}$ , entonces no se rechaza la hipótesis nula. Por tanto, la empresa puede afirmar que una nueva gama en promedio dura al menos 28.000 km.

 ```{r}  n=64
         s=1000
         z=(abs(27800-28000))/(s/sqrt(n))
         z 
 ```

¿Cuál es el valor de p-valor?

El valor p-valor es el menor nivel de significación para el que se rechaza la hipótesis nula:

``{r}   pvalor=2*pnorm(z) 
        pvalor
`` [1] 1.890401

6 Contraste no paramétrico

Se han recopilado datos sobre el tiempo (en segundos) que tarda cada empresa en atender una llamada durante un período de un mes. Los datos son los siguientes:

Empresa A: 20, 25, 30, 22, 28, 35, 27, 26, 32, 29 Empresa B: 18, 21, 28, 20, 24, 29, 23, 22, 27, 26

Haz uso de la prueba de los signos con nivel de satisfaccion al 0.07 para probar que la hipotesis nula de que la empresa A no es mas rapida que la B

``{r}
  # Datos de tiempos de espera de las dos empresas
tiempo_empresa_A <- c(20, 25, 30, 22, 28, 35, 27, 26, 32, 29)
tiempo_empresa_B <- c(18, 21, 28, 20, 24, 29, 23, 22, 27, 26)

# Calcular la diferencia entre los tiempos de espera de las dos empresas
diferencia <- tiempo_empresa_A - tiempo_empresa_B

# Contar el número de veces que la empresa A es más rápida que la empresa B
num_positivos <- sum(diferencia > 0)

# Nivel de significación
nivel_significacion <- 0.07

# Realizar la prueba de los signos
p_valor <- binom.test(num_positivos, num_positivos + sum(diferencia < 0), p = 0.5, alternative = "greater")$p.value

# Comprobar si el p-valor es menor que el nivel de significación
if (p_valor < nivel_significacion) {
  mensaje <- "Se rechaza la hipótesis nula. La empresa A es más rápida que la empresa B en atender llamadas."
} else {
  mensaje <- "No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para afirmar que la empresa A es más rápida que la empresa B en atender llamadas."
}

¿y si queremos comprobar que son iguales?

``{r}
 # Calcular la diferencia entre los tiempos de respuesta de las dos empresas
diferencia <- tiempo_empresa_A - tiempo_empresa_B

# Contar el número de veces que la diferencia es igual a cero
num_ceros <- sum(diferencia == 0)

# Nivel de significación
nivel_significacion <- 0.07

# Realizar la prueba de los signos
p_valor <- binom.test(num_ceros, length(diferencia), p = 0.5, alternative = "two.sided")$p.value

# Comprobar si el p-valor es menor que el nivel de significación
if (p_valor < nivel_significacion) {
  mensaje <- "Se rechaza la hipótesis nula. Los tiempos de respuesta de las empresas A y B son diferentes."
} else {
  mensaje <- "No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para afirmar que los tiempos de respuesta de las empresas A y B son diferentes."
}

Comprueba la hipotesis principal con el test de Wilcoxon y los siguientes valores con una confianza al 91%

``{r}
# Datos de tiempos de espera de las dos empresas
tiempo_empresa_A <- c(20, 25, 30, 22, 28, 35, 27, 26, 32, 29)
tiempo_empresa_B <- c(18, 21, 28, 20, 24, 29, 23, 22, 27, 26)

# Realizar el test de Wilcoxon
resultado_wilcoxon <- wilcox.test(tiempo_empresa_A, tiempo_empresa_B, alternative = "two.sided", conf.level = 0.91)

# Imprimir resultados
print(resultado_wilcoxon)

7 Contraste de hipótesis

Un grupo de automóviles asegura que la velocidad de sus vehículos es en promedio unos 120 km/h. Las purebas con 50 coches dan como resultado una media de 115 km/h, con una desviación estándar de 5 km/h.

Calcula el valor del estadístico de contraste.

#Valor del estadístico de contraste
n=50
s=2*sqrt(50/5)
z=(abs(115-120)) / (s/sqrt(n))
z

## [1] 5.59017

¿Cuál es el valor del p-valor?

El valor p-valor es el menor nivel de significación para el que se rechaza la hipótesis nula:

#P-valor
pvalor=2*pnorm(z) 
pvalor

## [1] 2

Supongamos que queremos saber si hay una diferencia significativa en la velocidad promedio entre este grupo de automóviles anterior y otro grupo. Tenemos muestras independientes de la velocidad promedio de cada grupo:

Grupo 1: [100, 110, 120, 105, 115] (km/h)
Grupo 2: [95, 105, 115, 100, 110] (km/h)

¿Hay evidencia para decir que hay una diferencia significativa en la velocidad promedio entre los dos grupos de automóviles?

grupo1 <- c(100, 110, 120, 105, 115) # Velocidades del grupo 1 (km/h)
grupo2 <- c(95, 105, 115, 100, 110) # Velocidades del grupo 2 (km/h)

resultado_prueba <- t.test(grupo1, grupo2)

4.¿Cuál es la diferencia promedio de velocidad entre los dos grupos de automóviles y su intervalo de confianza al 95%?

diferencia_promedio <- mean(grupo1) - mean(grupo2)
intervalo_confianza <- resultado_prueba$conf.int

diferencia_promedio 5 km/h
intervalo_confianza -6.530021 16.53002

8 Anova

La uclm ha realizado distintas mediciones a varias marcas de automóviles, sobre la potencia del motor(CV) de sus modelos, que se expresan en la siguiente tabla:

Audi: 150, 226, 333, 180, 272, 450, 140

BMW: 500, 186, 235, 290, 380, 155, 420

Mercedes: 233, 160, 265, 475, 141, 320, 190

Volkswagen: 116, 202, 400, 321, 150, 256, 175

Calcular el valor estadístico:
Calcula el p-valor:

``{r}
Audi = c(150, 226, 333, 180, 272, 450, 140)
BMW = c(500, 186, 235, 290, 380, 155, 420)
Mercedes = c(233, 160, 265, 475, 141, 320, 190)
Volkswagen = c(116, 202, 400, 321, 150, 256, 175)
datos = c(Audi, BMW, Mercedes, Volkswagen)

marcas = factor(rep(c("Audi", "BMW", "Mercedes", "Volkswagen"), c(7,7,7,7)))
summary(aov(datos~marcas))

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## marcas       3  23622    7874   0.602   0.62
## Residuals   24 313975   13082

Como podemos observar, tras compilar el fragmento de arriba obtenemos las soluciones de los enunciados. Con el summary obtenemos un conjunto de datos, entre los cuales se encuentran el valor estadístico, que en este caso es 0.602, y el p-valor: 0.62.

Calcula el límite superior de confianza de la potencia de los automóviles de BMW:

mediaBMW <- mean(BMW)
valor_t <- pt(0.05/2, 28 - 1)
sp <-sqrt(13082)
errorEstimacion <- valor_t * (sp/ sqrt(7))
mediaBMW + errorEstimacion

## [1] 331.4709

Crea un diagrama de cajas con los valores dados:

boxplot(datos~marcas, col=c("yellow","blue","red","green"), ylab="Potencia de los automóviles")

9 Regresión lineal

Se piensa que el numero de litros de agua utilizados por mes por una finca, esta relacionado con la temperatura promedio o de ese mes.

Mes Temp. Uso/1000 Mes Temp. Uso/100 Enero 26 180.54 Julio 68 621.55 Febrero 28 217.57 Agosto 74 675.06 Marzo 35 298.13 Septiembre 62 562.03 Abril 49 427.94 Octubre 50 452.93 Mayo 53 464.68 Noviembre 41 369.96 Junio 57 549.13 Diciembre 30 273.98

Supongamos que resulta apropiado emplear un modelo de regresion lineal simple. Ajustar el modelo de regresion que relaciona el uso de agua (y) con la temperatura promedio (x).

temperatura <- c(26, 28, 35, 49, 53, 57, 68, 74, 62, 50, 41, 30)
uso_agua <- c(180.54, 217.57, 298.13, 427.94, 464.68, 549.13, 621.55, 675.06, 562.03, 452.93, 369.96, 273.98)

modelo <- lm(uso_agua ~ temperatura)

¿Cual es la estimacionnoindent del uso de agua esperado cuando la temperatura promedio es 58 ?

temperatura_nueva <- 58
uso_agua_esperado <- predict(modelo, newdata = data.frame(temperatura = temperatura_nueva))

usa_agua_esperado= 526.6696

¿Cual es el cambio esperado en el uso de agua promedio cuando la temperatura mensual promedio cambia en 2 ?

cambio_esperado <- coef(modelo)[2] * 2

cambio_esperado 19.94366

Supongamos que la temperatura mensual promedio es 49 . Calcular el valor ajustado de y y el residuo correspondiente.

temperatura_dada <- 49
valor_ajustado <- predict(modelo, newdata = data.frame(temperatura = temperatura_dada))
residuo <- resid(modelo)

valor_ajustado= 436.9231
residuo= -8.983122

10 Banco de datos

En este trabajo hemos tomado los datos del dataset “smoking”, dentro del paquete de “Openintro”, el el cual se muestran los datos de personas sobre la edad y la cantidad de cigarros que se fuman entre semana.

Utilizaremos dos variables:

smoking$age

smoking$atm_weekdays

x = smoking$age
y = smoking$amt_weekdays

hist(smoking$age)
hist(smoking$amt_weekdays)

plot(x,y)

El gráfico muestra una tendencia lineal positiva. Esto significa que a medida que el numero de cigarros aumenta, la edad también aumenta. Lo que indica que las dos variables estan relacionadas

No hay valores atípicos en el gráfico. Todos los puntos están agrupados alrededor de la línea de tendencia.

x <- smoking$age
y <- smoking$amt_weekdays

vector_clean <- na.omit(x)
vector_clean2 <- na.omit(y)

z <-c (vector_clean[1:421])
length(z)
length(vector_clean2)
plot(z,vector_clean2)
abline(lm(vector_clean2 ~ z), col = "red")
cor(z,vector_clean2)
(cor(x,y))^2

Calculamos el coeficiente de correlación (R), usando el comando en R:

$ cor(truncado,vector_clean2)= 0.05829402 $

Como R es muy bajo, podemos decir que estas dos variables, edad y numero de cigarillos, tienen poca relacion

Tambien, calculamos el coeficiente de determinación (R2 ) para, usando el comando en R:

$ (cor(x,y))^2= 0.003398193 $

El R2 tambien es pequeño por lo que esta poco ajustado y es poco fiable

Las hipótesis que queremos comprobar son:

H₀: No existe ninguna relación entre la edad y la cantidad de cigarros fumados los días de entre semana

H₁: Existe relación entre la edad y la cantidad de cigarros fumados los días de entre semana

Para comprobarlo:

regresion=lm(vector_clean2 ~ z)
summary(regresion)

Call:
lm(formula = vector_clean2 ~ z)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-14.583  -6.423  -2.286   5.803  40.566 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 12.29339    1.30209   9.441   <2e-16 ***
z            0.02974    0.02488   1.195    0.233    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 9.384 on 419 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.003398,  Adjusted R-squared:  0.00102 
F-statistic: 1.429 on 1 and 419 DF,  p-value: 0.2327

Como podemos ver, el p-valor es menor que $\alpha$, por lo que rechazaríamos la hipótesis nula, ya que exite evidencia de que hay alguna relación entre la edad y la cantidad de cigarros fumados entre semana.

regresion

Call:
lm(formula = vector_clean2 ~ z)

Coefficients:
(Intercept)            z  
   12.29339      0.02974

Aunque existe relación, vemos que es muy floja ya que se trata casi horizontal ya que tiene una constante $\alpha$ = 12.29339 y una pendiente $\beta$ = 0.02974

plot(z,vector_clean2)
abline(lm(vector_clean2 ~ z), col = "red")

Enlaces videos:

Primeros dos ejercicios: https://files.fm/u/d86b3nm7v4?share_email_id=13f184d&share_show_reg_form=true

Tercer Ejercicio: https://files.fm/u/u2ev4b8yns

Video Trabajo 2: https://www.flexclip.com/es/share/5650952c118ebffb4afb53384b64392a9041440.html

Video Trabajo 3: https://www.flexclip.com/es/share/5894667a73d2104c2745d030bb72c5f46db4a4d.html

Video Banco de Datos:

Trabajo Banco de Datos

Ivan Nieto, Daniel Balan Hangan

14/05/2024