GRUPO AA

1 Probabilidad

Sabiendo que la prob de que apruebes la asignatura de Estadística es de 0.5 y de que apruebes Estadistica y Redes es de 0.3. Además la probabilidad de que apruebes Estadistica sabiendo que has aprobado Redes es 0.4.

Definiremos aprobar Estadística como \(P(A)\) y aprobar Redes como \(P(B)\)

\(P(A)=0.5\), \(P(A \cap B)=0.3\) y \(P(A/B)\)=0.4.

1.Calcula la probabilidad de que no apruebes Estadistica

\(P(A^c)= 1 -P(A) =\) 1 - 0.5 = 0.5

2.Calcula la probabilidad de que apruebe Redes.

\(P(A/B)=P(A\cap B)/P(B)\), despejando tenemos \(P(B)=P(A\cap B) /P(A/B)\), por lo que \(P(B)\)= 0.3 / 0.4 = 0.75

3.Calcula la probabilidad de que apruebes Estadistica o Redes

\(P(A\cup B)\) = \(P(A) + P(B) - P(A\cap B)\) = 0.5 + 0.75 - 0.3 = 0.95

4-Calcula la probabilidad de que no apruebes Redes sabiendo que si has aprobado Estadistica. Son suceos independientes.

\(P(B^c / A)\) = \(P(A\cap B^c) / P(A)\)
\(P(B^c)=1 -P(B) =\) 0.25

\(P(A\cap B^c) = P(A) * P(B^c) / P(A)\) \(P(B^c / A) = (0.5 * 0.25) / 0.5=\) 0.25

5.Sabiendo que no has aprobado Estadistica, calcula la probabilidad de que apruebes Redes

\(P(B / A^c)\) = \(P(A^c\cap B) / P(A^c)\) = (0.5 * 0.75) / 0.5 = 0.75

2 Variable aleatoria binomial

Un equipo de futbol se ha matriculado en la liga del trofeo rector de la UCLM. Sabemos que la probabilidad de que gane un partido es de 0.7 y que la liga esta compuesta de 8 jornadas.
\(X-Bi(8,0.7)\)

  1. Calcula la probabilidad de que gane 2 o más partidos

\(P(X\geq 2)\)= \(1- P(X\leq 2)\)

1 - pbinom(2,8,0.7)
## [1] 0.9887078
  1. Calcula la probabilidad de que no gane ningún partido

\(P(X=0)\)

dbinom(0,8,0.7)
## [1] 6.561e-05

  1. Calcula la probabilidad de que gane 4 o menos partidos
    \(P(X\leq 4)\)
pbinom(4,8,0.7)
## [1] 0.1941044

  1. Calcula la probabilidad de ganar 7 o más partidos, habiendo ganado al menos 3 partidos

\(P((X\geq 7)/(X\geq 3)) = P(X\geq 7)/ P(X\geq 3) = 1-P(X\leq 7)/ 1-P(X\leq 3)\)

(1-pbinom(7,8,0.7))/(1-pbinom(3,8,0.7))
## [1] 0.06119536

***

3 Distribuciones de probabilidad

En un comedor social están repartiendo distintos tipos de platos para niños y adultos, uno de ellos consta de un cuenco de sopa. Esta repartición de sopa sigue una distribución normal de media 33cl. y desviación típica 2.

  1. Los cocineros administran aquellos cuencos que contienen 32 cl. a los niños menores, dejando así los que tienen más sopa para los adultos. Calcula la proporción de cuencos que van para estos niños.

\(X-N(33,2)\)
\(P(X< 32)=P(\frac{X-33}{2}<\frac{32-33}{2})=P(Z<- 0.5)=P(Z> 0.5)= 1-P(Z< 0.5)\)= 1-pnorm(0.5) = 0.3085375

  1. Si tomamos 8 cuencos de sopa aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de esos cuencos vaya para los niños?

\(X-Bi(8,0.3085375)\)

\(P(X=0)\)=dbinom(0,8,0.3085375)=0.0522576

  1. Ahora tomamos 600 cuencos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 150 cuencos sean para niños?

\(X-Bi(600,0.3085375)\)
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE PUEDE APROXIMAR POR UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE MEDIA: μ=n·p=600·0.3085375=185.1225
Y DESVIACIÓN TÍPICA \(σ= \sqrt (n*p*q)\)=\(\sqrt(600*0.3085375*0.6914625)\)=11.31394125

\(X-N(185.1225,11.31394125)\)= \(P(X\geq150)=P(\frac{X-185.1225}{11.31394125}\geq\frac{150-185.1225}{11.31394125})=P(Z\geq- 3.104355876)=P(Z\leq 3.104355876)\)=pnorm(3.104355876)=0.9990465

  1. Si quisieramos que solo un 5% de los cuencos de sopa tuvieran 32cl. ¿Cuál sería el volumen medio al que habría que ajustar la repartición?

Tenemos que calcular la media μ, hay que tipificar. \(X-N(μ,2)\)
\(P(X< 32)=P(\frac{X-μ}{2}<\frac{32-μ}{2})=P(Z<\frac{32-μ}{2})=0.05)\)
\(\frac{32-μ}{2}\)=qnorm(0.05,0,1)=-1.6448536
\(μ\) = -(qnorm(0.05,0,1) * 2 -32) = 35.2897073

4 Variable aleatoria exponencial

Supongamos que estamos creando un algoritmo basado en Inteligencia Artficial en textos para la detección de plagio en la UCLM. Contamos con una serie de pruebas que nos hacen ver que nuestro algoritmo sigue una distribución exponencial con una media de 130 microsegundos.

\(X-Exp(1/130)\)

\(\mu = 130\)

\(\lambda = (1/130)\)

\(\sigma = 130\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que nuestro algoritmo tarde menos de 200 microsegundos?

\(P(X\leq 200)\)

pexp(200, (1/130))
## [1] 0.7852888
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que nuestro algoritmo tarde exactamente 140 microsegundos?

\(P(X=140) = 0\)

  1. Si sabemos que nuestro algoritmo ha tardado al menos 150 microsegundos, ¿ cuál es la probabilidad de que tarde menos de 180 microsegundos?

\(P((X\leq 180)/(X\leq 150)) = P(X\leq 180) - P(X\leq 150) / P(X\geq 150) = P(X\leq 180) - P(X\leq 150) / (1 - P(X\leq 150))\)

( (pexp(180, (1/130))) -    pexp(150, (1/130)) ) /   ( 1 - pexp(150, (1/130)) )
## [1] 0.2060773
  1. Si sabemos que nuestro algoritmo ha tardado más de 190 microsegundos, ¿ cuál es la probabilidad de que tarde más de 210 microsegundos?

\(P((X\geq 210)/(X\geq 190)) = P(X\geq 210) / P(X\geq 190) = (1 - P(X\leq 210)) / 1 - P(X\leq 190)\)

( 1 - pexp(210, (1/130)) ) /   ( 1 - pexp(190, (1/130)))
## [1] 0.8574039
  1. Si sabemos que nuestro algoritmo ha tardado menos de 170 microsegundos, ¿ cuál es la probabilidad de que tarde más de 150 microsegundos?

\(P((X\geq 150)/(X\leq 170)) = P(X\leq 170) - P(X\leq 150)/ P(X\leq 170)\)

( ( pexp(170, (1/130)) ) - ( pexp(150, (1/130)) ) )/   ( pexp(170, (1/130)))
## [1] 0.06165093

5 Contraste de hipótesis 1

Un grupo de amigos nos hemos juntado y hemos ido de excursión a Biopark en Valencia. Allí, a Pedro, se le ocurrió tomar apuntes sobre los tamaños de los animales encontrados. En mi caso, me tocó ir a la zona de los pájaros. Tomé apuntes de las envergaduras de los pájaros que iba encontrando ( Contando como envergadura la distancia de un extremo a otro de las alas cuando están abiertas). De todas las aves obtuve una muestra con media de 75cm y desviación típica muestral de 8cm. Se considera ave de gran tamaño a partir de una envergadura de 1,2 metros. Mi muestra es de 40 aves. Suponemos alpha= 0.05 y queremos considerar si mi muestra se podría decir que está compuesta por aves de gran tamaño o de menor tamaño.

  1. ¿Qué tipo de prueba estadística utilizarías para el estudio anterior?

Como mi muestra es muy grande y conocemos la desviación típica, podríamos determinar que el test z es el más adecuado para nuestra muestra.

  1. ¿Cuál consideras que es la hipótesis nula y cuál la alternativa?

La hipótesis nula (H₀) esla afirmación que quiere ser constrastada y la hipótesis alternativa (H₁) es su opuesta. Por lo que:

H₀: La media de las envergaduras de las aves es igual a 1,2 metros.
H₁: La media de las envergaduras de las aves no es igual a 1,2 metros.

\(H_0:\mu1= 1,2\)
\(H_1: \mu1\neq1,2\)

  1. ¿ Cuál es el valor del p-valor?

x=rnorm(40,0.75,0.08)
t.test(x,mu=1.2)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = -39.173, df = 39, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 1.2
## 95 percent confidence interval:
##  0.738060 0.783422
## sample estimates:
## mean of x 
##  0.760741
  1. ¿ Qué conclusión puedes sacar con estos datos?

Podemos observar que el p-valor obtenido es mucho menor que alpha, por lo que podemos decir que hay evidencia estadística en contra de H0, es decir, de que la media de la envergadura de las aves es igual a 1.2.

6 Contraste de hipótesis 2

Una marca de deporte ha lanzado a las tiendas unas nuevas zapatillas, que han tenido mucho éxito y se han vuelto muy populares. En las últimas horas, se han vendido un gran número de estas zapatillas. Hemos recogido los datos de diez tiendas de deporte y estos son los números de zapatillas vendidas hasta el momento: 125,131,128,120,122,130,134,126,136,128. Estos números de ventas siguen una distribución normal con desviación típica 5. Contrastamos, con un nivel de significación de 0.05, si la media de ventas de zapatillas es igual a 126.

  1. Plantea este contraste, la hipótesis nula y alternativa.

La hipótesis nula es H₀ y la hipótesis alternativa es H₁.

H₀: La media de ventas es igual a 126.
H₁: La media de ventas no es igual a 126.

\(H_0:\mu=126\)
\(H_1: \mu\neq126\)

  1. Calcula la región crítica.

Se trata de un contraste bilateral para la media.

\(\alpha =0.05\)

\(1-\alpha =0.95\)

\(z_\alpha/_2 =1.96\)

Por lo tanto, la región crítica es \((-∞,-1.96)\cup(1.96,+∞)\)

  1. ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación dado?

\(\mu_0 =126\)

\(s =5\)

\(n=10\)

Primero calculamos la media muestral:

\(x̄=\frac{125+131+128+120+122+130+134+126+136+128}{10}=\frac{1280}{10}=128\)

Ahora calculamos el estadístico test:

\(z_s=\frac{x̄-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt n}}=\frac{128-126}{\frac{5}{\sqrt10}}=1.2\)

Como \(1.2 \in (-1.96,1.96)\) el estadístico test no está en la región crítica, por lo que las diferencias se deben al azar.

Por lo tanto, aceptamos que el número medio de ventas sea 126.

7 Contraste de hipótesis paramétrico y no paramétrico

Últimamente los accidentes automovilísticos desgraciadamente son muy frecuentes y está comprobado que los motoristas son unos de los usuarios que más peligro corren en la carretera. Un elemento fundamental para la seguridad de los motoristas es el casco. Una empresa destinada a la producción de cascos de moto ha hecho un estudio para saber cuántos usuarios llevan sus cascos. Para ello, han tomado datos en seis carreteras del número de motoristas que utilizaban su producto. Los datos recogidos en las distintas carreteras son los siguientes: 12,20,17,22,15,16. Estos datos siguen una distribución normal con desviación típica 2. Contrastamos si la media de motoristas con cascos de esta empresa es 16, sabiendo que el nivel de significación es 0.05.

  1. Plantea este contraste, la hipótesis nula y alternativa.

La hipótesis nula es H₀ y la hipótesis alternativa es H₁.

H₀: La media de motoristas con casco de la empresa es igual a 16.
H₁: La media de motoristas con casco de la empresa no es igual a 16.

\(H_0:\mu=16\)
\(H_1: \mu\neq16\)

  1. ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación dado?

\(\mu_0 =16\)

\(s =2\)

\(n=6\)

Primero calculamos la media muestral:

\(x̄=\frac{12+20+17+22+15+16}{6}=\frac{102}{6}=17\)

Ahora calculamos el p-valor:

x=rnorm(6,17,2)
t.test(x,mu=16)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 0.12648, df = 5, p-value = 0.9043
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 16
## 95 percent confidence interval:
##  14.62228 17.52031
## sample estimates:
## mean of x 
##  16.07129

Como el p-valor es menor que \(\alpha\), podemos decir que las diferencias NO se deben al azar.

Por lo tanto, RECHAZAMOS que el número medio de motoristas que utilizan casco de la empresa es 16.

  1. La empresa de cascos quiere aumentar sus ventas y ofrecer al motorista mayor seguridad y protección. Para ello, está probando nuevos materiales para la fabricación de sus cascos. Han fabricado 8 cascos de prueba con un material distinto al que utilizan habitualmente. Una de las características a tener en cuenta en los casos es su peso. Por lo tanto, se ha hecho un estudio comparando el peso de estos 8 cascos hechos con el nuevo material y el peso de 8 cascos hechos con el material habitual. Utiliza el test de Mann-Whitney para contrastar si el nuevo casco pesa menos que el habitual con \(\alpha\)=0.05.

Pesos con el material nuevo: 1.26,1.0,1.22,1.18,1.08,1.15,1.28,1.30

Pesos con el material habitual: 1.23,1.40,1.36,1.15,1.32,1.29,1.33,1.25

Usaremos \(\alpha\) = 0.05 para resolver el siguiente contraste unilateral:

H₀: Ambos cascos pesan lo mismo.

H₁: El casco del material nuevo pesa menos que el habitual.

Para el test de Mann-Whitney, el primer paso es ordenar las muestras y calcular los rangos:

Llamamos “Muestra1” a los cascos hechos con el material nuevo y “Muestra2” a los cascos hechos con el material habitual.

Muestra1 <- c(1.26,1.0,1.22,1.18,1.08,1.15,1.28,1.30)
Muestra2 <- c(1.23,1.40,1.36,1.15,1.32,1.29,1.33,1.25)

Realizamos la tabla, en cada posición se cuentan el número de observaciones que existe por debajo de ella de la otra muestra. Si hay dos observaciones que valen los mismo cuentan 0.5 cada una.

| M1         | M2         | k1           | k2           |
|------------|------------|--------------|--------------|
| 1.00       |            | 0            |              |
| 1.08       |            | 0            |              |
| 1.15       | 1.15       | 0.5          | 2.5          |
| 1.18       |            | 1            |              |
| 1.22       |            | 1            |              |
|            | 1.23       |              | 5            |
|            | 1.25       |              | 5            |
| 1.26       |            | 3            |              |
| 1.28       |            | 3            |              |
|            | 1.29       |              | 7            |
| 1.30       |            | 4            |              |
|            | 1.32       |              | 8            |
|            | 1.33       |              | 8            |
|            | 1.36       |              | 8            |
|            | 1.40       |              | 8            |

Después calculamos la suma de rangos de cada muestra, k1 y k2, y comprobamos que se cumple la condición necesaria, k1+k2=n1*n2:

k1 <- sum(0,0,0.5,1,1,3,3,4)
k2 <- sum(2.5,5,5,7,8,8,8,8)
n1 <- length(Muestra1)
n2 <- length(Muestra2)
k1
## [1] 12.5
k2
## [1] 51.5
n1
## [1] 8
n2
## [1] 8

Comprobamos que \(12.5+51.5=8*8=64\)

Después calculamos \(U_s\):

Us <- max(k1, k2)
Us
## [1] 51.5

A continuación, calculamos \(U_\alpha/_2\), valor en las tablas dependiendo del nivel de significación, el tamaño muestral y si es unilateral o bilateral o con la función del cuantil de R.

qwilcox(0.95,8,8)
## [1] 48

Como \(U_s>U_\alpha/_2\), rechazamos la hipótesis nula, por tanto podemos decir que los cascos no pesan lo mismo.

Como es un test unilateral, debemos comprobar la direccionalidad, para este caso se debe cumplir que \(k1 < k2\).

k1
## [1] 12.5
k2
## [1] 51.5

Como se cumple, rechazamos H₀ y por tanto decidimos que los cascos fabricados con el nuevo material pesan menos.

  1. Calcula el p-valor.

Para ello realizamos el test:

wilcox.test(x=Muestra1, y=Muestra2)
## Warning in wilcox.test.default(x = Muestra1, y = Muestra2): cannot compute
## exact p-value with ties
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  Muestra1 and Muestra2
## W = 12.5, p-value = 0.04584
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Podemos ver que el p-valor es 0.04584.

8 Anova

El equipo de atletismo de Albacete ha medido los tiempos de sus mejores atletas alevines en salto de longitud, los datos se han recogido en la siguiente tabla:

Juanjo: 1.46 ,1.49 ,1.42 ,1.43 ,1.48 ,1.48 ,1.49 ,1.39 ,1.49 ,1.50
Pedro: 1.51 ,1.52 ,1.54 ,1.49 ,1.45 ,1.47 ,1.50 ,1.53 ,1.51 ,1.49
Dani: 1.60 ,1.59 ,1.58 ,1.55 ,1.51 ,1.55 ,1.57 ,1.59 ,1.52 ,1.49
Álvaro: 1.53 ,1.48 ,1.49 ,1.54 ,1.48 ,1.50 ,1.51 ,1.56 ,1.55 ,1.52
Rosa: 1.53 ,1.54 ,1.55 ,1.47 ,1.44 ,1.49 ,1.52 ,1.51 ,1.51 ,1.49

Primero ordenaremos los datos para poder tratarlos.

  Juanjo=   c (1.46 ,1.49 ,1.42 ,1.43 ,1.48 ,1.48 ,1.49 ,1.39 ,1.49 ,1.50)
  Pedro=    c (1.51 ,1.52 ,1.54 ,1.49 ,1.45 ,1.47 ,1.50 ,1.53 ,1.51 ,1.49)
  Dani=     c (1.60 ,1.59 ,1.58 ,1.55 ,1.51 ,1.55 ,1.57 ,1.59 ,1.52 ,1.49)
  Alvaro=   c (1.53 ,1.48 ,1.49 ,1.54 ,1.48 ,1.50 ,1.51 ,1.56 ,1.55 ,1.52)
  Rosa=     c (1.53 ,1.54 ,1.55 ,1.47 ,1.44 ,1.49 ,1.52 ,1.51 ,1.51 ,1.49)
  datos=    c (Juanjo,Pedro,Dani,Alvaro,Rosa)
  
  Tiempos = factor(rep(c("Juanjo", "Pedro", "Dani","Alvaro","Rosa"),c(10,10,10,10,10)))
  1. Crea un diagrama de cajas con los valores dados.
boxplot(datos~Tiempos, col=c("red","yellow","green","blue","orange"), ylab="Tiempos atletas alevines")

  1. Calcula el p-valor y el valor del estadístico.
summary(aov(datos~Tiempos))
##             Df  Sum Sq  Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Tiempos      4 0.04356 0.010890   9.912 7.73e-06 ***
## Residuals   45 0.04944 0.001099                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Como podemos observar, el p-valor es \(7.73e-06\), prácticamente \(0\).
Asimismo, el valor del estadístico es \(9.912\).

  1. Demuestra si la media de las muestras de nuestros atletas no son iguales. Se presupone \(Alpha = 0.05\)

\(H_0:\mu1=\mu2=\mu3=\mu4=\mu5\)
\(H_1:\) NO TODAS LAS MEDIAS SON IGUALES

summary(aov(datos~Tiempos))
##             Df  Sum Sq  Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Tiempos      4 0.04356 0.010890   9.912 7.73e-06 ***
## Residuals   45 0.04944 0.001099                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Como nuestro p-valor = \(7.73e-06 < 0.05\) rechazamos \(H_0\). Existe evidencia estadistica de que las medias de los atletas no son iguales.

  1. Calcula la suma de los cuadrados de cada uno.

Podemos hacerlo de dos formas:

Primera forma:

   x_doble_barra = mean(datos)
   x_barraA=mean(datos[Tiempos=="Juanjo"])
   x_barraB=mean(datos[Tiempos=="Pedro"])
   x_barraC=mean(datos[Tiempos=="Dani"])
   x_barraD=mean(datos[Tiempos=="Alvaro"])
   x_barraE=mean(datos[Tiempos=="Rosa"])

   10 * (x_barraA-x_doble_barra)^2 + 10 * (x_barraB-x_doble_barra)^2 + 10* (x_barraC-x_doble_barra)^2 + 10 * (x_barraD-x_doble_barra)^2 + 10 * (x_barraE-x_doble_barra)^2
## [1] 0.04356

Segunda forma:

summary(aov(datos~Tiempos))
##             Df  Sum Sq  Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Tiempos      4 0.04356 0.010890   9.912 7.73e-06 ***
## Residuals   45 0.04944 0.001099                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

En ambos casos, obtenemos \(0.04356\) como valor de la suma de los cuadrados.

  1. Calcula los cuadrados medios.
    Podemos hacerlo de dos formas:

Primera forma:

   x_doble_barra = mean(datos)
   x_barraA=mean(datos[Tiempos=="Juanjo"])
   x_barraB=mean(datos[Tiempos=="Pedro"])
   x_barraC=mean(datos[Tiempos=="Dani"])
   x_barraD=mean(datos[Tiempos=="Alvaro"])
   x_barraE=mean(datos[Tiempos=="Rosa"])


   (10 * (x_barraA-x_doble_barra)^2 + 10 * (x_barraB-x_doble_barra)^2 + 10* (x_barraC-x_doble_barra)^2 + 10 * (x_barraD-x_doble_barra)^2 + 10 * (x_barraE-x_doble_barra)^2 )/4
## [1] 0.01089

Segunda forma:

summary(aov(datos~Tiempos))
##             Df  Sum Sq  Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Tiempos      4 0.04356 0.010890   9.912 7.73e-06 ***
## Residuals   45 0.04944 0.001099                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

En ambos casos, obtenemos \(0.010890\) como valor de los cuadrados medios.

9 Regresion Lineal

El otro día, quedé con mi amigo Julio, psiquiatra del Hospital Perpetuo Socorro de Albacete. Me pidió ayuda para un estudio que quería hacer, pero no sabía como afrontar los datos que iba a conseguir.

El estudio se basa en el análisis de la relación entre la cantidad de horas de práctica de meditación a la semana y los niveles de ansiedad valorados del 0 al 10 en individuos diagnosticados con trastornos de ansiedad. Se sabe por un estudio previo que los valores obtenidos siguen una distribución normal y cumplen las hipótesis del modelo lineal.

Horas de práctica de meditación: [4,7,5.5,10,8,3,2.5,6,9,0,2]
Niveles de ansiedad: [6,3,4,2,3,6,7,5,3,8,8]

Primero ordenaremos los datos para poder tratarlos.
Tomaremos las Horas de meditación \(HorasMeditacion\) como nuestra Variable \(X\).
Tomaremos los niveles de ansiedad \(Ansiedad\) como nuestra variable \(Y\).

HorasMeditacion = c(4,7,5.5,10,8,3,2.5,6,9,0,2)
Ansiedad = c(6,3,4,2,3,6,7,5,3,8,8)
  1. Sabiendo que las horas de Meditación siguen una distribución normal. Queremos saber si existe evidencia estadística de que la media es mayor de 5.5. ¿Cuál sería el P-valor?
t.test(HorasMeditacion, mu = 5.5, alternative = "greater")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  HorasMeditacion
## t = -0.33348, df = 10, p-value = 0.6272
## alternative hypothesis: true mean is greater than 5.5
## 95 percent confidence interval:
##  3.452526      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  5.181818

Nuestro p-valor es \(0.6272\).

  1. Habiendo hecho esta prueba, ¿qué conclusión puedes sacar? Argumentala.

Nuestro p-valor es \(0.6272 > 0.05\). Al ser mayor que Alpha,no tenemos suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula \(H0\) de que la media de horas de meditación es mayor o igual a 5.5. Por lo tanto, no podemos concluir que la media de horas de meditación sea mayor de 5.5 basándonos en los datos proporcionados en esta prueba.

  1. ¿Cuál sería el coeficiente de correlación entre nuestras variables?
cor(HorasMeditacion,Ansiedad)
## [1] -0.965087
  1. ¿Cómo es la pendiente entre las variables? ¿Qué te dice esta pendiente?
plot(HorasMeditacion,Ansiedad)
abline(lm(Ansiedad~HorasMeditacion))


Podríamos concluir que la pendiente es negativa, lo que podría significar a priori, que cuantas más horas de meditación se practique a la semana, los niveles de ansiedad disminuirán.

10 Banco de datos.

Hemos visitado la web https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/datasets.html donde hemos encontrado un DataSet bastante interesante. El Dataset, trata sobre la influencia que pueden tener las armas y su legislación respecto a los delitos con violencia recogidos en algunos estados de Estados Unidos.
En concreto, hemos elegido el caso de Arizona, puesto que es muy particular y podríamos intentar investigar un poco al respecto.
Hemos seleccionado los años 1990 - 1999 dado que en esos 10 años, 5 no había Ley respecto al uso y tenencia de armas, y en los otros 5, sí, concretamente desde 1990 a 1995 no había ley y de 1995 a 1999 sí que la hubo.
Este caso nos pareció bastante curioso ya que el uso de armas en EE.UU siempre ha sido un tema que ha generado mucha polémica y controversia al respecto, por lo que hemos decidido con este estudio, comparar si hay alguna diferencia significativa entre las cantidades de robos y asesinatos por cada 100.000 habitantes en ambas muestras (Años sin ley y Años con ley).
Hay que tener en cuenta que la cantidad de robos y asesinatos no siguen una distribucion normal. Las muestras son de 10 años. Debido a estas condiciones, y que son dos muestras independientes, utilizaremos un test NO parametrico.

datos <- data.frame(
Año = c(1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999),
Robos = c(160.9,165.7,153.1,162.9,162.0,173.8,167.8,165.7,165.2,152.5),
Asesinatos = c (7.7,7.8,8.1,8.6,10.5,10.4,8.5,8.2,8.1,8.0),
Ley= c("no","no","no","no","no","si","si","si","si","si")
)

library(knitr)
tabla<-kable(datos, caption = "Sucesos armados Arizona 1990-1999 por cada 100.000 habitantes") 

tabla
Sucesos armados Arizona 1990-1999 por cada 100.000 habitantes
Año Robos Asesinatos Ley
1990 160.9 7.7 no
1991 165.7 7.8 no
1992 153.1 8.1 no
1993 162.9 8.6 no
1994 162.0 10.5 no
1995 173.8 10.4 si
1996 167.8 8.5 si
1997 165.7 8.2 si
1998 165.2 8.1 si
1999 152.5 8.0 si

ROBOS.
Hipótesis nula \(H0\): No hay diferencia significativa en la cantidad de robos entre los años en que había ley de armas y los años en que no la había en Arizona.

Hipótesis alternativa \(H1\): Existe una diferencia significativa en la cantidad de robos entre los años en que había ley de armas y los años en que no la había en Arizona.

#Separamos los datos en dos grupos: años sin ley y años con ley
datos_sin_ley <- datos$Robos[datos$Ley == "no"]
datos_con_ley <- datos$Robos[datos$Ley == "si"]

#Test de Mann-Whitney U
resultado <- wilcox.test(datos_sin_ley, datos_con_ley, alternative = "two.sided")
## Warning in wilcox.test.default(datos_sin_ley, datos_con_ley, alternative =
## "two.sided"): cannot compute exact p-value with ties
print(resultado)
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  datos_sin_ley and datos_con_ley
## W = 6.5, p-value = 0.2492
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Con un p-valor de 0.2492, al estar utilizando Alpha = 0.05, no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula \(H0\). Esto significa que, según este análisis, no hay diferencia significativa en la cantidad de robos entre los años en que había ley de armas y los años en que no la había en Arizona.

ASESINATOS.
Hipótesis nula \(H0\): No hay diferencia significativa en la cantidad de asesinatos entre los años en que había ley de armas y los años en que no la había en Arizona.

Hipótesis alternativa \(H1\): Existe una diferencia significativa en la cantidad de asesinatos entre los años en que había ley de armas y los años en que no la había en Arizona.

#Separamos los datos en dos grupos: años sin ley y años con ley
datos_sin_ley <- datos$Asesinatos[datos$Ley == "no"]
datos_con_ley <- datos$Asesinatos[datos$Ley == "si"]

#Test de Mann-Whitney U
resultado <- wilcox.test(datos_sin_ley, datos_con_ley, alternative = "two.sided")
## Warning in wilcox.test.default(datos_sin_ley, datos_con_ley, alternative =
## "two.sided"): cannot compute exact p-value with ties
print(resultado)
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  datos_sin_ley and datos_con_ley
## W = 10.5, p-value = 0.7533
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Con un p-valor de 0.7533, al estar utilizando Alpha = 0.05 no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula \(H0\). Esto indica que no hay una diferencia significativa en la cantidad de asesinatos entre los años en que había ley de armas y los años en que no la había en Arizona.

Los resultados nos sugieren que la introducción de la ley de armas en Arizona durante los años 1990-1999 no impactó significativamente en la cantidad de robos ni asesinatos en comparación con años sin dicha ley.

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# Enlaces al video 4 - Banco de Datos Youtube Drive