1 Probabilidad

Un creador de contenido tiene una torre con dos PCs, una de streaming y otra de gaming, el funcionamiento de la torre depende de que ambas PCs funcionen correctamente y la probabilidad de que falle el PC de streaming es de 0.6.

Para responder a las preguntas vamos a usar la siguiente notación:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que falle el PC de gaming dada la probabilidad de que lo haga el de streaming y sabiendo que la probabilidad de que ambos fallen es de 0.2?

    Solución:

    Sabemos que la probabilidad de que falle el PC de gaming utilizando el concepto de probabilidad condicionada y nos quedaría:

    \(P(gaming / streaming)= \frac{P(gaming \hspace{0.05in} \cap \hspace{0.05in} streaming))}{P(straming)}=\frac{0.2}{0.6}=0.33\)

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la torre funcione correctamente?

    Solución:

    Para saber la probabilidad de que la torre funcione podemos partir de la probabilidad de que falle, en este caso basta con que uno de los PCs no funcione o lo que es lo mismo \(P(gaming \cup streaming)\), y nos queda:

    \(P(torre) = P(streaming) + P(gaming) - P(streaming \cap gaming)=0.6 + 0.33 - 0.2 = 0.73\)

    \(P(torre funcione) = 1 - P(torre) = 1 - 0.73 = 0.27\)

  3. Si suponemos que los PCs funcionan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fallen?

    Solución:

    Cuando hablamos de sucesos independientes, sabemos que la probabilidad viene dada por \(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\), entoces:

    \(P(streaming\hspace{0.05in}\cap\hspace{0.05in}gaming)=P(streaming)*P(gaming)=0.6*0.33=0.198\)

  4. Ahora vamos a suponer que la torre sólo necesita el correcto funcionamiento de uno de los dos PCs para funcionar y que la probabilidad de que falle el PC gaming sabiendo la del PC de streaming es 0.44 . ¿Cuál es la probabilidad de que la torre no funcione?.

    Solución:

    La probabilidad de que no funcione la torre nos quedaría así:

    \(P(streaming\hspace{0.05in}\cap\hspace{0.05in}gaming)=P(gaming/streaming) * P(streaming)\)

    \(P(streaming\hspace{0.05in}\cap\hspace{0.05in}gaming)=0.44 * 0.6 = 0.264\)

2 Variable aleatoria discreta

Supongamos que estamos estudiando el número de hijos que tiene una familia en Japón, donde X es el número de hijos de una familia con posibles valores de 1 a 6. La probabilidad de tener 1 hijo es de \(\frac{4}{15}\), 2 de \(\frac{4}{15}\), 3 de \(\frac{3}{15}\), 4 de \(\frac{2}{15}\), 5 de \(\frac{1}{15}\) y 6 de \(\frac{1}{15}\).

  1. Calcula la probabilidad de no ser una familia numerosa.

En este caso debemos calcular la probabilidad de tener menos de 3 hijos. Para ello calculamos:

\(P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\) 0.5333333

  1. Calcula la probabilidad de tener una familia numerosa.

Calculamos para ello la probabilidad de que X sea mayor o igual que 3.

\(P(X\geq 3)=1-P(X<3)=1-\frac{8}{15}=\) 0.4666667

  1. ¿Qué número de hijos se espera tener en una familia?

Calculamos para ello el valor esperado de X.

\(\mu_{x}=1*\frac{4}{15}+2*\frac{4}{15}+3*\frac{3}{15}+4*\frac{2}{15}+5*\frac{1}{15}+6*\frac{1}{15}=\) 2.6666667

  1. ¿Cuánto puede variar la media del número de hijos de una familia?

Vamos a calcular la varianza.

\(\sigma_{x}^2=1^2*\frac{4}{15}+2^2*\frac{4}{15}+3^2*\frac{3}{15}+4^2*\frac{2}{15}+5^2*\frac{1}{15}+6^2*\frac{1}{15}-\) 2.6666667\(^2=\) 2.2222222

***

3 Distribucion de probabilidad

En un casino hay una ruleta donde se realizan apuestas, esta tiene los números del 0 al 36. A su vez, la tabla de apuestas tiene diferentes apartados para apostar como la mitad de los numeros, a la docena, pares e impares, etc…

Todos los calculos los haremos aplicando esta binomial: \(X\sim Bi(n,\frac{i}{37})\)

  1. Calcula la probabilidad de que caiga dos veces el cero en 100 tiradas.

\(X\sim Bi(100,\frac{1}{37})\) Para un número

\(P(X=2)=\binom{100}{2}*(\frac{1}{37})^{2}*(\frac{36}{37})^{98}\)
\(dbinom(2,100,(1/37))=0.2466482\)

2.Probabilidad de que salga tres veces seguidas el número 7

\(X\sim Bi(3,\frac{1}{37})\) Para un número


\(P(X = 3)=\binom{3}{3}*(\frac{1}{37})^{3}*(\frac{36}{37})^{0}\)
\(dbinom(3,3,(1/37))=0.00001974217\)

  1. Probabilidad de que salga dos veces o menos un número que NO esté en la primera mitad, en la tercera docena o el cero en 25 tiradas.

\(X\sim Bi(25,\frac{18}{37})\) Para la mitad
\(X\sim Bi(25,\frac{12}{37})\) Para una docena
\(X\sim Bi(25,\frac{31}{37})\)
\(P(X\geq 23)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\)

\(1-P(X\leq 23)=1-(P(X=0)+P(X=1)+ ... +P(X=23))\)
\(P(X=0)=\binom{25}{0}*(\frac{31}{37})^{0}*(\frac{6}{37})^{25}\)
\(P(X=1)=\binom{25}{1}*(\frac{31}{37})^{1}*(\frac{6}{37})^{24}\)
\(P(X=23)=\binom{25}{23}*(\frac{31}{37})^{23}*(\frac{6}{37})^{2}\)
\(1-pbinom(23,25,(31/37))=0.07003516\)

  1. Probabilidad de que salga treinta veces un número que se situe en la primera docena o sea par en 50 tiradas.

\(X\sim Bi(25,\frac{12}{37})\) Para una docena
\(X\sim Bi(25,\frac{24}{37})\) Union entre pares y la docena

\(P(X = 30)=\binom{50}{30}*(\frac{24}{37})^{30}*(\frac{13}{37})^{20}\)
\(dbinom(30,50,(24/37))=0.08879904\)

4 Probabilidad

Un equipo de baloncesto nos ha pedido que les saquemos una serie de estadisticas sobre su juego. Para ello hemos tomado la cantidad de canastas que hacen por partido. Después de tomar las suficientes muestras, ha salido una media de 97 puntos por partido. Y una desviación típica de 16.

  1. El equipo rival suele anotar unos 104 puntos por partida, Calcular la probabilidad de que anoten más que ellos

En este caso debemos calcular la probabilidad de anotar más de 104 puntos. Para ello calculamos:

\(P(X>104)=1-P(x<104)=1-dnorm(104,97,16)= 0.9773417\)

  1. Calcular la probabilidad de que anoten entre 80 y menos de 110 puntos.

Calculamos para ello la probabilidad de que X sea menor que 110 y mayor o igual que 80.

\(P(80\leq X<110)=P(X\leq 110)-P(X\leq 80)=pnorm(110,97,16)-pnorm(80,97,16)=0.6477432\)

  1. Calcular la probabilidad de que hagan mas de 93 puntos sabiendo que x es menor que 85.

Para ello calculamos.

\(P(x \leq 93 / x \geq 85 ) = \frac{P(85 \leq x \leq 93)}{P(x \geq 85)}=\frac{P(x \leq 93)-P(x \leq 85)}{1-P(x \leq 85)}\) \((pnorm(93,97,16)-pnorm(85,97,16))/(1-pnorm(85,97,16)) = 0.2258501\)

  1. Calcula la normal tipificada en un intervalo centrado a 97 que contenga un 80% de probabilidad.

\(P(97-k \leq x \leq 97+k) = 0.8 \hspace{9cm}\) \(P(x \leq 97+k) - P(x \leq 97-k)= 0.8 \hspace{8cm}\) \(P(x \leq 97+k) - (1- P(x \leq 97+k)= 0.8 \hspace{8cm}\) \(2(P(x \leq 97+k)) - 1 = 0.8 \hspace{9cm}\) \(P(x \leq 97+k)=\frac{1.8}{2} \hspace{9cm}\) \(qnorm(0.9,97,16)=117.5048 \hspace{9cm}\) \(97+k=117.5048 \hspace{10cm}\) \(k=20.50483 \hspace{12cm}\) \((117.5,76.4) \hspace{11cm}\)

5 Contraste de hipótesis

En los últimos meses hemos podido observar diversas huelgas de agricultores por nuestras calles. Queremos comprobar, si su sueldo es igual al del resto de la población española. Para ello, se ha obtenido de una muestra de 100 agricultores la media del salario durante el año pasado, siendo esta de 24.086 euros, con una desviación de 6000 euros. También se ha obtenido otra muestra de 100 trabajadores de diferentes oficios en España, y se ha obtenido una media de 25.540 euros, con una desviación de 8000 euros.

  1. ¿Qué tipo de prueba estadística es correcta para el estudio anterior?

Se trata de un estudio con dos muestras independientes, ya que las variables no están relacionadas con un mismo sujeto. En este caso tenemos una muestra mayor a 30, por lo que se puede suponer normal y estudiarse con \(z_s\).

  1. Plantea el contraste del estudio.

La hipótesis nula(\(H_0\)) es la afirmación que quiere ser comprobada, mientras que la hipótesis alternativa(\(H_1\)) es la opuesta a la hipótesis nula.

Nuestra \(H_0\) sería que el sueldo medio de la población(\(\mu_1\)) fuese igual al sueldo medio anual de los agricultores(\(\mu_2\)). La \(H_1\) sería que el sueldo anual de la población fuese diferente al de los agricultores.

\(H_0:\mu_1-\mu_2=0 \\ H_1:\mu_1-\mu_2\neq0\)

  1. Calcula el valor del estadístico test y del p-valor.

Vamos a calcular el valor de estadístico test con \(z_s\).

\(z_s=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{(\sigma_1^2/n_1)+(\sigma_2^2/n_2)}}=\frac{25540-24086}{\sqrt{(8000^2/100)+(6000^2/100)}}=\) 1.454

Ahora calcularemos el p-valor. En este caso es un test bilateral (debido al contraste del estudio), por lo que usaremos la fórmula:

2(1-pnorm(abs(\(z_s\)))) = 2(1-pnorm(abs(1.454))) = 0.1459463

  1. ¿Podemos concluir que los agricultores ganan menos que la media española?

Como el p-valor>\(\alpha\) (por defecto se toma \(\alpha\)=0,05) podemos concluir que las diferencias son debidas al azar. No podemos rechazar \(H_0\), por lo que concluimos que un agricultor de media gana lo mismo que la media de la población española.

5.1 Poblaciones Emparejadas

Tenemos a un desarrollador de software intentando decidir qué lenguaje de programación utilizar en su proyecto,se plantea elegir entre Java o Python, elegirá el que tenga menos tiempo de ejecución y para ello va probar una función en ambos lenguajes. Considerando que las poblaciones tienen distribución normal y sabiendo que son emparejadas, los están datos en milisegundos:

1.Tomando muestras n=40 en cada población, hay alguna forma de probar la hipótesis de que ambos tienen el mismo tiempo medio de ejecución sabiendo que \(S_{d}\) es 0.0268, \(\overline{d}\) vale 0.1956?.

La hipótesis a probar es \(H_{0}:\mu_{d}=0\) frente a \(H_{1}:\mu_{d}\neq 0\)

El valor del estadístico de contraste es:

\(z_{s} = \frac{\overline{d}-d_{0}}{S_{d}/\sqrt{n}}\)

\(z_{s} = \frac{0.1956 - 0}{0.0268 * \sqrt(40)}\)

\(z\_{s} = 1.1539\)

\(z_{\alpha/2} = 1.96\)

\(P-Valor = 2*(1-pnorm(1-0.05/2)) = 0.3297\)

Como \(z_{s} < z_{\alpha/2}\) entonces con un nivel de confianza del 95% aceptamos \(H_{0}\), por lo tanto no tenemos evidencia de que un lenguaje sea mejor que el otro pues las diferencias que puedan haber entre sus medias serían debidas al azar.

2. Si tenemos en cuenta un nivel de confianza del 99%,y esta vez tomamos mustras n=20, la media de éstas poblaciones podría ser mayor a 0.15?

La hipótesis a probar es \(H_{0}:\mu \leq 0.15\) frente a \(H_{1}:\mu > 0.15\)

El estadístico de contraste es:

\(t_{s} = \frac{\overline{d}-d_{0}}{S_{d}/\sqrt{n}}\)

\(t_{s} = \frac{0.1956 - 0.15}{0.0268 *\sqrt(20)}\)

\(t_{s} = 0.3805\)

\(P-Valor = 1-pt(0.3805,19) = 0.3539\)

Como \(P-Valor > \alpha\) entonces no rechazamos \(H_{0}\) y concluimos que no hay evidencia estadística en contra de \(H_{0}\), la media de éstas poblaciones puede ser mayor que 0.15 y las diferencias entre ellas serían debidas al azar.

6 Contraste de hipótesis no paramétrico

En un zoológico se quieren probar dos tipos de alimentos para 20 cervatillos. Se separan en dos grupos de 10, dándole al primer grupo hojas de plantas, árboles y arbustos, y frutos y bayas al segundo grupo. Al cabo de un mes con esta dieta, se obtienen los siguientes pesos:

En el grupo 1 -> 13.1, 13.3, 12.8, 13.5, 12.9, 12.6, 13.2, 12.7, 13.4, 13.0

En el grupo 2 -> 11.2, 11.4, 10.8, 11.1, 11.3, 10.9, 11.0, 11.5, 11.2, 11.3

No consideramos que siguen una distribución normal.

  1. Plantea el tipo de prueba estadística para estudiar si los pesos de ambos grupos son iguales.

Se trata de un estudio con dos muestras independientes, ya que las variables no están relacionadas con un mismo sujeto. Como su n es menor a 30 y no se considera normal, es un test no paramétrico, por lo que usaremos el test de Wilcoxon.

  1. Plantea el contraste del estudio.

La hipótesis nula(\(H_0\)) es la afirmación que quiere ser comprobada, mientras que la hipótesis alternativa(\(H_1\)) es la opuesta a la hipótesis nula.

Nuestra \(H_0\) sería que el peso medio del grupo 1(\(\mu_1\)) fuese igual al peso medio del grupo 2(\(\mu_2\)). La \(H_1\) sería que el peso medio del grupo 1 fuese diferente al peso medio del grupo 2.

\(H_0:\mu_1-\mu_2=0 \\ H_1:\mu_1-\mu_2\neq0\)

  1. Calcula el p-valor y el intervalo de confianza con un nivel de confianza del 93%.

Usando el test de Wilcoxon guardando los pesos correspondientes en dos vectores.

grupo_1<-c(13.1, 13.3, 12.8, 13.5, 12.9, 12.6, 13.2, 12.7, 13.4, 13.0)
grupo_2<-c(11.2, 11.4, 10.8, 11.1, 11.3, 10.9, 11.0, 11.5, 11.2, 11.3)
wilcox.test(grupo_1, grupo_2, conf.level =0.93, conf.int = TRUE)
## Warning in wilcox.test.default(grupo_1, grupo_2, conf.level = 0.93, conf.int =
## TRUE): cannot compute exact p-value with ties
## Warning in wilcox.test.default(grupo_1, grupo_2, conf.level = 0.93, conf.int =
## TRUE): cannot compute exact confidence intervals with ties
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  grupo_1 and grupo_2
## W = 100, p-value = 0.0001806
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
## 93 percent confidence interval:
##  1.600003 2.100030
## sample estimates:
## difference in location 
##                    1.9

  1. Extrae las conclusiones oportunas del estudio.

Necesitamos comparar el p-valor con alpha para ver si podemos rechazar o no la hipótesis nula. En este caso el \(p-valor=0.0001806\) y \(\alpha=1-0.93=0.07\).

Como p-valor<\(\alpha\) rechazamos \(H_0\), por lo que concluimos que el peso de los cervatillos no es el mismo si a estos los sometemos a dietas diferentes.

7 ANOVA

El departamento de sistemas informáticos de la ESII ha recibido el mandato de renovar los equipos en los laboratorios de prácticas de la escuela y se encuentran con el problema de decidir entre tres marcas para los ordenadores de mesa, HP,DELL,LENOVO; querremos saber si la marca influye en la calidad de los dispositivos para poder decantarse.Sabemos que las puntuaciones de calidad(0-100) siguen una distribución normal, se han tomado las puntuaciones de calidad de las marcas en cinco universidades y se han obtenido los siguientes resultados:

Marcas Puntos
HP 58.87905 59.53965 63.11742 60.14102 60.25858
DELL 64.43013 61.92183 58.46988 59.62629 60.10868
LENOVO 64.44816 62.71963 62.80154 62.22137 60.88832

Datos:

\(H_0=\mu_1=\mu_2=\mu_3=...=\mu_n\):

\(H_1=\) no \(H_0\)

\(b=15\)

\(n=3\)

hp = c(58.87905,59.53965,63.11742,60.14102,60.25858)
dell = c(64.43013,61.92183,58.46988,59.62629,60.10868)
lenovo = c(64.44816,62.71963,62.80154,62.22137,60.88832)
datos_calidad = c(hp,dell,lenovo)
puntuacion=factor(c(rep("HP",5),rep("DELL",5),rep("LENOVO",5)))
summary(aov(datos_calidad~puntuacion))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## puntuacion   2  13.58   6.789   2.104  0.165
## Residuals   12  38.73   3.227
library(knitr)
kable(
  data.frame(
    Variacion = c("  Entre grupos  ", "  Dentro de grupos  ", "Total"),
    "DF" = c("  b-1=2  ", "  N-b=12  ", "  N-1=14  "),
    "SS" = c("  SSE=13.58  ", "  SSD=38.73  ", "  SST=52.31  "),
    "MS" = c("  MSE=6.789  ", "  MSD=3.227  ", "  Fs=2.104  ")
  ),
  digits = 10,
  booktabs = TRUE
)
Variacion DF SS MS
Entre grupos b-1=2 SSE=13.58 MSE=6.789
Dentro de grupos N-b=12 SSD=38.73 MSD=3.227
Total N-1=14 SST=52.31 Fs=2.104

Al ser el P-Valor = 0.165 mayor al nivel de significación 0.05 aceptamos la hipótesis nula por lo tanto no podemos concluir que la la marca influye en la calidad de los equipos

Ahora nos encontramos en la siguiente situación, el departamento de sistemas informáticos recibe nuevos fondos y se incluyen entre las marcas APPLE y sus famosos iMAC pero uno de los expertos en sistemas considera que el SO también influye en la calidad del producto, en este caso los sistemas operativos son Windows, Linux y MACOS, queremos averiguar si el SO y la marca influyen de manera significativa.

Datos:

\(H_0\):Los resultados medios de calidad obtenidos no dependen de la marca

\(H_1\): no \(H_0\)

\(H'_0\):Los resultados medios de calidad obtenido no dependen del SO

\(H'_1\): no \(H'_0\)

\(P=3\)

\(B=5\)

hp = c(89.31857,68.30947,50.67612)
dell = c(85.21153,75.38786,40.14519)
lenovo = c(80.38275,65.20482,36.93944)
apple = c(33.66301,88.67225,96.07944)
datos_calidad = c(hp,dell,lenovo,apple)
datos_so = factor(rep(c("Windows","Linux","MacOS"),4))
datos_marca=factor(c(rep("HP",3),rep("DELL",3),rep("LENOVO",3),rep("APPLE",3)))
summary(aov(datos_calidad~datos_so+datos_marca))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## datos_so     2    809   404.5   0.557  0.600
## datos_marca  3    230    76.6   0.105  0.954
## Residuals    6   4360   726.7
library(knitr)
kable(
  data.frame(
    Variacion = c("Entre grupos","Dentro bloques","Azar","Total"),
    DF = c("P-1=2", "B-1=3", "(P-1)*(B-1) = 6","P*B-1=11"),
    SS = c("SSE=809","SSB=230","SSD=4360","SST=5399"),
    MS = c("MSE=404.5","MSB=76.6","MSD=726.7",""),
    "F" = c("F1=0.557","","F2=0.105",""),
    PValor = c("P-Valor=0.600","","P-Valor=0.954","")
  ),
  digits = 10,
  booktabs = TRUE
)
Variacion DF SS MS F PValor
Entre grupos P-1=2 SSE=809 MSE=404.5 F1=0.557 P-Valor=0.600
Dentro bloques B-1=3 SSB=230 MSB=76.6
Azar (P-1)*(B-1) = 6 SSD=4360 MSD=726.7 F2=0.105 P-Valor=0.954
Total P*B-1=11 SST=5399

Ya que el P-Valor tanto de las marcas como el de los sistemas operativos son mayores al nivel de significacion 0.05, entonces aceptamos la dos hipótesis nulas, concluyendo que ni la marca ni el sistema operativo influye en lo suficiente en la calidad para decantarse por uno u otro.

Si el P-Valor 2 fuese menor que el nivel de significación 0.05, esto nos estaría diciendo que el SO sí influye en la calidad, por lo tanto para los equipos de los laboratorios elegiríamos el SO con mayor puntuación indpendientemente de la marca.

8 Regresión lineal

Un entrenador de un club de atletismo ha tomado datos sobre sus alumnos de temprana edad, para ver como van mejorando con el tiempo. Para ello nos ha pedido que veamos la forma en la que el rendimiento depende del tiempo de entrenamiento semanal.

Rendimiento = 90, 85, 95, 88, 92, 87, 89, 86, 84, 91, 83, 88, 85, 90, 87, 88, 82, 91, 87, 84, 90, 86, 81, 89, 88, 83, 88, 85, 91, 87, 89, 85, 90, 86. Horas/Semanales = 10, 8, 12, 6, 15, 9, 11, 10, 8, 14, 7, 13, 9, 12, 8, 11, 7, 14, 10, 8, 12, 9, 6, 13, 10, 7, 11, 8, 14, 9, 12, 10, 13, 8.

  1. ¿Cuál es el coeficiente de correlación lineal?

Para resolver el siguiente apartado utilizaremos el comando cor().

\(rendimiento <- c(90, 85, 95, 88, 92, 87, 89, 86, 84, 91, 83, 88, 85, 90, 87, 88, 82, 91, 87, 84, 90, 86, 81, 89, 88, 83, 88, 85, 91, 87, 89, 85, 90, 86)\) \(tEntrenamiento <- c(10, 8, 12, 6, 15, 9, 11, 10, 8, 14, 7, 13, 9, 12, 8, 11, 7, 14, 10, 8, 12, 9, 6, 13, 10, 7, 11, 8, 14, 9, 12, 10, 13, 8)\) \(cor(rendimiento,tEntrenamiento)=0.8227125\)

  1. Comprueba si los residuos siguen una distribución normal.

Para comprobar esto utilizaremos lillie.test(). Y nuestras hipotesis serían las siguiente: \(H_0 = sí \hspace{0,1cm} sigue \hspace{0,1cm} una \hspace{0,1cm} distribución \hspace{0,1cm} normal.\\ H_1 = no \hspace{0,1cm} sigue \hspace{0,1cm} un \hspace{0,1cm} distribución \hspace{0,1cm} normal.\hspace{8cm}\) \(library(nortest)\hspace{11cm}\) \(lillie.test(summary(lm(rendimiento \sim tEntrenamiento))\$residuals)\hspace{2cm}\) \(p-valor=0.0002208 < 0.05\hspace{20cm}\) \(Rechazamos \hspace{0,1cm}H_0\).

  1. Calcula el intervalo de confianza para una estimación de 8 horas de entrenamiento semanal, con un intervalo de confianza del 80%.

Para poder realizar primero tenemos que crear un nuevo vector de tipo data.frame y le concatenamos el valor que queramos predecir.

\(xEntrenamiento=data.frame(tEntrenamiento=c(8))\) \(predict(lm(rendimiento\sim tEntrenamiento),xEntrenamiento, interval='prediction', level=0.80)\) \((82.79767,87.58928)\)

  1. Calcula el intervalo de confianza para la pendiente

Utilizaremos el comando confint() para calcular el intervalo de la pendiente.

\(confint(lm(rendimiento\sim tEntrenamiento))\) \((74.393793, 79.677186)\)

9 Banco de Datos

plot(airquality$Ozone~airquality$Temp)
abline(lm(airquality$Ozone~airquality$Temp))

boxplot(airquality$Solar.R~airquality$Month)

En las siguiente gráfica no hemos encontrado relación aparente entre las variables “Wind” y “Day”

plot(airquality$Wind,airquality$Day)

OzonoMayo <- na.omit(airquality$Ozone[airquality$Month=="5"])
OzonoJunio <- na.omit(airquality$Ozone[airquality$Month=="6"])
dmu <- abs(mean(OzonoMayo) - mean(OzonoJunio));
t.test(OzonoMayo,OzonoJunio, mu=dmu)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  OzonoMayo and OzonoJunio
## t = -1.5602, df = 16.938, p-value = 0.1372
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 5.82906
## 95 percent confidence interval:
##  -21.598419   9.940299
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  23.61538  29.44444

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