問題：標本平均と母平均

京大生から無作為抽出したサンプルから、京大生全体の平均身長が知りたい
無作為抽出した社会学の論文のサンプルから、社会学の論文全体に占める質的研究の比率を知りたい

標本から計算した平均と母集団の平均のあいだには多少のズレがあるので、そのズレの大きさを知りたい。このような場合、平均値や比率の区間推定が役に立つ。

実現値と真値

ある地域で1か月の間に起きた自殺の数（実現値）から、その地域での自殺の起きやすさ（真値）を推定したい
ある野球選手の打撃の成績（何打数何安打か、実現値）から、その人の「真の」打率（真値）を推定したい。

自殺数も安打数も偶然多くなったり少なくなったりすることがあるため、測定期間が短かったり、打席数が少なかったりすると、知りたい真の値と実現値のあいだのズレが大きくなることがある。それゆえ、このズレの大きさを知りたい。

ただし、測定期間中に真値が変化すると、話がややこしくなる（\(\rightarrow\) 打率の変化の程度を推定する必要がある）ので、変化しないものと仮定して話を進める

95%信頼区間 Confidence Interval

母平均／真値が95%の確率で含まれる範囲のこと
逆に言えば5%の確率で95%信頼区間の外の値を、母平均／真値はとる
例えば、10打数4安打のバッターの打率の実現値は、4割だが、真の打率の 95% 信頼区間は、 0.12～0.73 である。つまり本当は2割程度の打者が、運よく10打数4安打になったが、打席数が増えれば打率の実現値は 0.2 に近づく可能性もある。
99%信頼区間とか 90%信頼区間も考えられるが、95%信頼区間がよく用いられる

平均値の95%信頼区間の計算（ざっくり）

標準誤差 Standard Error を se 、サンプルサイズを \(N\) と表記すると、

\[ \begin{align} \mathrm{se} &= \frac{母集団での標準偏差}{\sqrt{N}} \tag{1}\\ 95\%信頼区間 &= 平均値 - t\times \mathrm{se} \quad ～ \quad 平均値 + t\times \mathrm{se} \tag{2} \end{align} \]

上の式 (2) 中の \(t\) は、サンプルサイズによって変わるが、\(N>20\) ならだいたい \(t=2\) ぐらいと覚えておくと便利

信頼区間計算の実際

母集団の標準偏差はわからない場合が多いのでサンプルからの推定値で代用することが多い
\(t\) は、実際には以下のようにサンプルサイズによって変わる

N	信頼区間
5	平均値 \(-\) 2.78 \(\times\) se ～平均値 \(+\) 2.78 \(\times\) se
10	平均値 \(-\) 2.26 \(\times\) se ～平均値 \(+\) 2.26 \(\times\) se
20	平均値 \(-\) 2.09 \(\times\) se ～平均値 \(+\) 2.09 \(\times\) se
50	平均値 \(-\) 2.01 \(\times\) se ～平均値 \(+\) 2.01 \(\times\) se
100	平均値 \(-\) 1.98 \(\times\) se ～平均値 \(+\) 1.98 \(\times\) se
500	平均値 \(-\) 1.96 \(\times\) se ～平均値 \(+\) 1.96 \(\times\) se

任意のサンプルサイズに関してこの値を計算したい場合、Google spreadsheet で =T.INV(\(0.975\), \(N - 1\)) とすればよい

平均値の95%信頼区間の計算例1

ある大学の学生を無作為抽出して身長を調べたところ、168, 163, 159, 177, 167 (cm) であった。平均身長は、 \[ \frac{168 + 163 + 159 + 177 + 167}{5}= 166.8 \] で、母集団での標準偏差の推定値は、 \[ \sqrt{\frac{(168 - 166.8)^2 + (163 - 166.8)^2 + (159 - 166.8)^2 + (177 - 166.8)^2 + (167 - 166.8)^2}{5-1}}= 6.7 \]

母集団の分散や標準偏差を推定する場合、分母は \(N\) ではなく、\(N-1\)であることに注意。
\(N-1\) で割った標準偏差は、Google spreadsheet では =stdev.s(データ) で計算できる

95%信頼区間の計算例2

標準誤差は、 \(6.7\div \sqrt{5} = 3.01\)
95%信頼区間の下限値は、 \(166.8 - 2.8 \times 3.01 = 158.5\)
95%信頼区間の上限値は、 \(166.8 + 2.8 \times 3.01 = 175.1\)

比率の 95% 信頼区間

二つのカテゴリのうち、一方に1、他方に 0 を割り振って平均を計算すると、1 を割り振ったカテゴリの比率と一致する（記述統計のスライド参照）
それゆえ、比率の95%信頼区間も、平均値の場合と同じ公式で計算できる。
比率 \(p\) の分散は \(p(1-p)\)、標準偏差は \(\sqrt{p(1-p)}\) でも計算できる。
ただし、標本から母集団の分散を推定する場合、分散の推定値は \(\frac{N}{N-1}p(1-p)\)、標準偏差の推定値は \(\sqrt{\frac{N}{N-1}p(1-p)}\) である

比率の 95% 信頼区間例題

ある大学の学生から200人無作為抽出して違法薬物の使用経験を尋ねたら、20人が経験があると答えたとする。この大学の学生の違法薬物経験率の 95% 信頼区間を求めよ。
標本での経験率:　 \(20/200=0.1\)
母集団での薬物経験の標準偏差の推定値:　 \(\sqrt{\frac{200}{200-1} 0.1 (1-0.1)} = 0.301\)
薬物経験率の標準誤差:　 \(\frac{0.301}{\sqrt{200}}= 0.021\)
\(N = 200\) のとき \(t = 1.97\) （パソコンに計算させた）
95%信頼区間の下限値:　 \(0.1 - 1.97 \times 0.021 = 0.058\)
95%信頼区間の上限値:　 \(0.1 + 1.97 \times 0.021 = 0.142\)

比率の区間推定