a) Indíce de condición y prueba de FG, presente sus resultados de manera tabular en ambos casos y para la prueba de FG presente también sus resultados de forma gráfica usando la librería fastGraph.

Indíce de Condición.

El número de condición mide la sensibilidad de las estimaciones mínimo cuadráticas ante pequeños cambios en los datos.

El número de condición $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(x)$, es igual a la raíz cuadrada de la razón entre la raíz característica más grande (${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{max}$), y la raíz característica más pequeña (${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{min}$), de la matríz $X^{t}X$, normalizada; es decir: $$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\left(x\right)=\sqrt{\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{max}}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{min}}}$$

Interpretación

• Sí $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(x)$, es inferior o igual a 20, la multicolinealidad es leve, ya que no se considera un problema.

• Para 20 < $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(x)$ < 30, la multicolinealidad se considera moderada.

• En el caso de que $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(x)$ ≥ 30, la multicolinealidad es severa.

Cálculo “Manual”:

Se basa la matríz $X^{t}X$ :

library(stargazer)
X_mat<-model.matrix(modelo_estimado)
stargazer(head(X_mat,n=6),type = "html")

XX_matrix<-t(X_mat)%*%X_mat
stargazer(XX_matrix,type = "html")

La matriz $X^{t}X$ debe ser normalizada, para evitar sesgo de la escala de las variables.

Cálculo de la matriz de normalización: $$S_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{{X^{t}X}_{ij}}}& ;i=j\\ 0& ;i\ne <!--\; \ne \; -->j\end{array}\right\}$$

library(stargazer)
options(scipen = 999)
Sn<- solve(diag(sqrt(diag(XX_matrix))))
stargazer(Sn,type = "html")

$X^{t}X$ normalizada:

library(stargazer)
XX_norm<-(Sn%*%XX_matrix)%*%Sn
stargazer(XX_norm,type = "html",digits = 4)

Autovalores de $X^{t}X$ normalizada:

library(stargazer)
#autovalores
lambdas<-eigen(XX_norm,symmetric = TRUE)
stargazer(lambdas$values,type = "html")

Cálculo de $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\left(x\right)=\sqrt{\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{max}}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{min}}}$ :

K<-sqrt(max(lambdas$values)/min(lambdas$values))
print(K)

## [1] 11.86778

Debido a la interpretación antes vista, cocluimos de que la multicolinealidad no se considera un problema, por lo siguiente: $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(x)$ < 20.

Cálculo del Indíce de Condición usando librería “mctest”.

library(mctest)
X_mat<-model.matrix(modelo_estimado)
mctest(mod = modelo_estimado)

## 
## Call:
## omcdiag(mod = mod, Inter = TRUE, detr = detr, red = red, conf = conf, 
##     theil = theil, cn = cn)
## 
## 
## Overall Multicollinearity Diagnostics
## 
##                        MC Results detection
## Determinant |X'X|:         0.6918         0
## Farrar Chi-Square:        31.3812         1
## Red Indicator:             0.3341         0
## Sum of Lambda Inverse:     3.8525         0
## Theil's Method:           -0.7297         0
## Condition Number:         11.8678         0
## 
## 1 --> COLLINEARITY is detected by the test 
## 0 --> COLLINEARITY is not detected by the test

library(olsrr)
ols_eigen_cindex(model = modelo_estimado)

##   Eigenvalue Condition Index   intercept      lotsize       sqrft       bdrms
## 1 3.48158596        1.000000 0.003663034 0.0277802824 0.004156293 0.002939554
## 2 0.45518380        2.765637 0.006800735 0.9670803174 0.006067321 0.005096396
## 3 0.03851083        9.508174 0.472581427 0.0051085488 0.816079307 0.016938178
## 4 0.02471941       11.867781 0.516954804 0.0000308514 0.173697079 0.975025872

Prueba de Farrar - Glaubar.

(Implementación de la prueba de Bartlett) Está prueba identifica si a nivel poblacional, los regresores del modelo presentan independencia estadística (son ortogonales), a través de la matriz de correlación muestral R y se verifica si a nivel poblacional dicha matriz identidad, la hipótesis de la prueba son las siguientes: $$\{\begin{array}{cc}{H}_0:& R\sim <!--\; \sim \; -->I\\ H_1:& R\nsim <!--\; \nsim \; -->I\end{array}$$

• Si no se rechaza $H_0$, no hay evidencia de multicolinealidad, caso contrario;
• Si se rechaza $H_0$ hay evidencia de multicolinealidad.

El contraste se realiza a través de: ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{FG}^2=-<!--\; -\; -->\left(n-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\frac{2m+5}{6}\right)\ln <!--\; \; -->\left(\left|R\right|\right)$

con $gl=m(m-1)/2$

Rechazar; ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{FG}^2$ ≥ V.C., ó si $p\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

Cálculo “Manual”.

Cálculo de $|R|$

library(stargazer)
Zn<-scale(X_mat[,-1])
stargazer(head(Zn,n=6),type = "html")

Calcular la matriz R.

library(stargazer)
n<-nrow(Zn)
R<-(t(Zn)%*%Zn)*(1/(n-1))
stargazer(R,type = "html",digits = 4)

Calcular $$

| R |

determinante_R<-det(R)
print(determinante_R)

## [1] 0.6917931

Aplicando la prueba de Farrer Glaubar (Bartlett).

Estadístico ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{FG}^2$

m<-ncol(X_mat[,-1])
n<-nrow(X_mat[,-1])
chi_FG<--(n-1-(2*m+5)/6)*log(determinante_R)
print(chi_FG)

## [1] 31.38122

Valor Crítico.

gl<-m*(m-1)/2
VC<-qchisq(p=0.95,df = gl)
print(VC)

## [1] 7.814728

Regla de desición.

En base a la Regla de decisión concluimos con lo siguiente: ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{FG}^2\ge <!--\; \ge \; -->V.C.$ se rechaza $H_0$, por lo tanto hay evidencia de colinealidad en los regresores.

Cálculo de FG usando “mctest.”

library(mctest)
mctest::omcdiag(mod = modelo_estimado)

## 
## Call:
## mctest::omcdiag(mod = modelo_estimado)
## 
## 
## Overall Multicollinearity Diagnostics
## 
##                        MC Results detection
## Determinant |X'X|:         0.6918         0
## Farrar Chi-Square:        31.3812         1
## Red Indicator:             0.3341         0
## Sum of Lambda Inverse:     3.8525         0
## Theil's Method:           -0.7297         0
## Condition Number:         11.8678         0
## 
## 1 --> COLLINEARITY is detected by the test 
## 0 --> COLLINEARITY is not detected by the test

Gráfica.

library(fastGraph)
alpha_sig<-0.05
chi_FG<--(n-1-(2*m+5)/6)*log(determinante_R)
GL<-gl
vc<-qchisq(1-alpha_sig,gl,lower.tail=TRUE)
shadeDist(chi_FG,ddist = "dchisq",
          parm1 = gl,
          lower.tail = FALSE, xmin = 0,
          sub=paste("VC:",round(VC,2),"","chi_FG:",round(chi_FG,2)))

Cálculo de FG usando la “psych.”

library(psych)
FG_test<-cortest.bartlett(X_mat[,-1])
print(FG_test)

## $chisq
## [1] 31.38122
## 
## $p.value
## [1] 0.0000007065806
## 
## $df
## [1] 3

Gráfica.

chi_FG<--(n-1-(2*m+5)/6)*log(determinante_R)
gl<-m*(m-1)/2
vc<-qchisq(p = 0.95,df = gl)
alpha_sig <- 0.05

library(fastGraph)

shadeDist(chi_FG, ddist = "dchisq", parm1 = gl, lower.tail = FALSE, xmin = 0, xlab = "Valor de chi-cuadrado",
          main = "Prueba de Bartlett")

abline(v = vc, col = "red", lty = 2)
axis(1, at = vc, labels = paste("vc:", round(vc, 2)), col.axis = "black", las = 1)

if (chi_FG > vc) {
  text(x = vc + 0, y = 0.22, labels = "Rechazar H0", col = "blue", cex = 0.8)
} else {
  text(x = vc + 0, y = 0.22, labels = "No rechazar H0", col = "blue", cex = 0.8)
}

text(vc, 0, expression(alpha == 0.05), pos = 4, col = "black", cex = 0.8)

b) Factores inflacionarios de la varianza, presente sus resultados de forma tabular y de forma gráfica.

Factores Inflacionarios de la Varianza (FIV).

Los denominados, variantes inflation factor (VIF), por sus siglas en inglés, determinante el tamaño relativo de la varianza del j-ésimo parámetro estimado, respecto a la varianza esperada del estimador en ausencia de colinealidad.

• Estimador de la varianza para el j-ésimo parámetro: $$Var({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j)=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}{(n-<!--\; -\; -->1).Var(X_j)}.\frac{1}{1-<!--\; -\; -->R_j^2}$$

• Estimador mínimo de la varianza para el j-ésimo parámetro (en ausencia de colinealidad $R_j^2=0$): $$Var({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j{)}_{mín}=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}{(n-<!--\; -\; -->1).Var(X_j)}$$

Fórmula para el cálculo de los VIF.

$$VI{F}_j=\frac{Var({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j)}{Var({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j{)}_{mín}}=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->R_j^2}$$

• Donde $R_j^2$, es el coeficiente de determinación de la regresión de $X_j$ contra el resto de regresores.

• Marticialmente los VIF, se obtienen de la diagonal principal de la inversa de la matriz de Correlación: $$VI{F}_{j=1,2,...,k-<!--\; -\; -->1}=diag(R^{-<!--\; -\; -->1})$$

Referencia entre.

$R_j^2$

library(dplyr)
R.cuadrado.regresores<-c(0,0.5,.8,.9)
as.data.frame(R.cuadrado.regresores) %>% mutate(VIF=1/(1-R.cuadrado.regresores))

##   R.cuadrado.regresores VIF
## 1                   0.0   1
## 2                   0.5   2
## 3                   0.8   5
## 4                   0.9  10

Cálculo manual:

Matriz de Correlación de los regresores del modelo (Como se obtuvo con anterioridad):

print(R)

##           lotsize     sqrft     bdrms
## lotsize 1.0000000 0.1838422 0.1363256
## sqrft   0.1838422 1.0000000 0.5314736
## bdrms   0.1363256 0.5314736 1.0000000

Inversa de la matriz de correlación $R^{-<!--\; -\; -->1}$:

inversa_R<-solve(R)
print(inversa_R)

##             lotsize      sqrft       bdrms
## lotsize  1.03721145 -0.1610145 -0.05582352
## sqrft   -0.16101454  1.4186543 -0.73202696
## bdrms   -0.05582352 -0.7320270  1.39666321

VIF’s para el modelo estimado:

VIFs<-diag(inversa_R)
print(VIFs)

##  lotsize    sqrft    bdrms 
## 1.037211 1.418654 1.396663

Cálculo de los VIF’s usando “performance”.

library(performance)
VIFs<-multicollinearity(x = modelo_estimado,verbose = FALSE)
print(VIFs)

## # Check for Multicollinearity
## 
## Low Correlation
## 
##     Term  VIF    VIF 95% CI Increased SE Tolerance Tolerance 95% CI
##  lotsize 1.04 [1.00, 11.02]         1.02      0.96     [0.09, 1.00]
##    sqrft 1.42 [1.18,  1.98]         1.19      0.70     [0.51, 0.85]
##    bdrms 1.40 [1.17,  1.95]         1.18      0.72     [0.51, 0.86]

plot(VIFs)

Cálculo de los VIF´s usando “car”.

library(car)
VIFs_car<-vif(modelo_estimado)
print(VIFs_car)

##  lotsize    sqrft    bdrms 
## 1.037211 1.418654 1.396663

Cálculo de los VIF’s usando “mctest”.

library(mctest)
mc.plot(mod = modelo_estimado,vif = 2)