VECTORES

Un vector es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido. Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas (y una flecha hacia la derecha encima), por ejemplo:

\[ \vec{A} \vec{B} \]

que indican su origen y extremo respectivamente. Es decir, el punto A es el origen o punto de aplicación y el punto B es el extremo del vector.

VECTOR
VECTOR

COMPONENTES DE UN VECTOR

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i, j ,k, paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas.

\[ a= (a_x,\ a_y ,\ a_z )\] o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será:

\[ a= (a_x\ i,\ a_y\ j ,\ a_z\ k )\]

SUMA DE VECTORES

La suma de vectores es una operación algebraica que combina dos o más vectores para producir un nuevo vector

\[\vec{U} + \vec{V} = (u_x + v_y, u_x + v_y, \ldots, u_n + v_n)\]

EJERCICIO

  1. Obtenemos los vectores que en este caso serán los siguientes para realizar la operación:

\[\vec{U} = (1, 2, 3)\]

\[\vec{V} = (4, 5, 6)\]

  1. Realizamos la operación y calculamos la suma de los vectores

\[\vec{U} + \vec{V} = (1 + 4,\ 2 + 5,\ 3 + 6) \] 3. Obtendremos el resultado de la suma de vectores que es:

u = c(-3,6,5) ; v = c(3,-8,12)

u+v
## [1]  0 -2 17

\[\vec{U} + \vec{V} = (5, 7, 9)\]

Al completar este ejercicio, entenderemos cómo realizar operaciones básicas con vectores y cómo presentar el proceso.

RESTA DE VECTORES

En la resta de un vector o un producto escalar se usa cada vector independiente en el cual cad uno tiene u valor y se resta el resultado nos da un nuevo vector con el resultado de la operacion en este caso la resta.

\[\vec{A} - \vec{B} = (b_x - a_y, b_x - a_y, \ldots, b_n - a_n)\]

EJERCICIO

  1. Obtenemos los vectores que en este caso serán los siguientes para realizar la operación:

\[\vec{A} = (1, 2, 3)\]

\[\vec{B} = (4, 5, 6)\] 2. Realizamos la operación y calculamos la suma de los vectores

\[\vec{A} + \vec{B} = (1 - 4,\ 2 - 5,\ 3 - 6) \]

  1. Obtendremos el resultado de la suma de vectores que es:
vector_a <- c(1, 2, 3)
vector_b <- c(4, 5, 6)

vector_a-vector_b
## [1] -3 -3 -3

\[\vec{A} + \vec{B} = (-3, -3, -3)\]

Al completar este ejercicio, entenderemos cómo realizar operaciones básicas con vectores y cómo presentar el proceso.

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Para realizar la multiplicación de vectores consiste en multiplicar dos o más vectores con ellos mismos en donde encontramos los siguientes procesos:

PRODUCTO PUNTO DE UN VECTOR

El producto punto o producto escalar de dos vectores es el producto de la magnitud de cada vector que da como resultado un número real y el coseno del ángulo entre ellos:

\[\vec{A}\ ⋅ \vec{B} \ =número\ real \]

EJERCICIO

  1. Obtenemos los vectores que en este caso serán los siguientes para realizar la operación:

\[\vec{F} = -3 \vec{i}\ +6\vec{j}\ +5\vec{k}\]

\[\vec{P} = 3 \vec{i}\ -8\vec{j}\ +12\vec{k}\]

  1. Realizamos la operación que en este caso será el producto punto multiplicamos cada una de las componentes como lo vemos a continuación:

\[\vec{F}\ ⋅\vec{P}= (-3⋅\ 3 ) \ +(6⋅\ (-8)) \ +(5⋅\ 12) \]

f = c(-3,6,5) ; p = c(3,-8,12)

f*p
## [1]  -9 -48  60
sum(f*p)
## [1] 3

Entonces el resultado del vector punto es 3

  1. Obtendremos el coseno del ángulo del vector punto.

\[\vec{A}\ ⋅ \vec{B} =|\vec{A}| ⋅| \vec{B}|\ ⋅\cosθ \]

normaF = sqrt (sum(f^2))
normaF
## [1] 8.3666
normaP = sqrt (sum(p^2))
normaP
## [1] 14.73092

Sacamos la norma del vector F y del vector P

theta<- acos(sum(f*p)/(normaF*normaP))
theta*180/pi 
## [1] 88.60521

Una vez obtenido la norma del vector y el producto punto se realizara el siguiente calculo para tener el ángulo del vector.

PRODUCTO CRUZ DE UN VECTOR

Es una operación binaria de dos vectores en la que da como resultado otro vector. Consiste en el espacio tridimensional que se define como el vector perpendicular al plano determinado, cuya magnitud es el producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo.

EJERCICIO

1.- Definir los vectores.

\[\vec{j}=(10,5,-3)\] \[\vec{p}=(8,-3,16)\] \[\vec{j}\ x\ \vec{p} = (10,5,-3)\ x \ (8,-3,16) \]

PRODUCTO CRUZ
PRODUCTO CRUZ