Probabilidades Simples

Se entiende por probabilidad simple aquella que deriva de un experimento sencillo como lanzar un dado ó escoger una ficha al azar de un grupo de 10 fichas rotuladas.

Para entender la idea de evento simple y experimento sencillo se trabaja el enfoque de probabilidad clásica con experimentos de una sola clase, sin combinaciones.

Se consideran ejemplos de éstos: el lanzamiento de un dado corriente, la selección aleatoria de una ficha de una mochila que contiene fichas numeradas de 1 a 10.

Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Obtenga los siguientes eventos y sus probabilidades:

  1. A: “Obtener un puntaje impar”.

  2. B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3”.

  3. C: “Obtener un puntaje menor que 4”.

  4. D: “Obtener un puntaje divisor de 20”.

  5. E: “Obtener un puntaje de 5”.

Solución

  1. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento A es \(A=\{1, 3, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), esto origina \(P(A)=\frac{3}{6}\), la probabilidad de A es \(\frac{1}{2}\). Se espera que el 50% de las veces caiga impar.

  2. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento B es \(B=\{3, 6\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), esto origina \(P(B)=\frac{2}{6}\), la probabilidad de B es \(\frac{1}{3}\). Se espera que la tercera parte de las veces caiga múltiplo de 3.

  3. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento C es \(C=\{1, 2, 3\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), esto origina \(P(C)=\frac{3}{6}\), la probabilidad de C es \(\frac{1}{2}\). Se espera que el 50% de las veces caiga un puntaje inferior a 4.

  4. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento D es \(D=\{1, 2, 4, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), esto origina \(P(D)=\frac{4}{6}\), la probabilidad de D es \(\frac{2}{3}\). Se espera que las dos terceras partes de las veces caiga un puntaje divisor de 20.

  5. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento E es \(E=\{5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), esto origina \(P(E)=\frac{1}{6}\), la probabilidad de E es \(\frac{1}{6}\). Se espera que la sexta parte de las veces caiga 5.

Los eventos A y C son equiprobables.

Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Obtenga los siguientes eventos y sus probabilidades:

  1. A: “Obtener un puntaje impar y mayor que 2”.

  2. B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3 y menor que 5”.

  3. C: “Obtener un puntaje menor que 4 o impar”.

  4. D: “Obtener un puntaje divisor de 20 y de 25”.

  5. E: “Obtener un puntaje mayor de 4 ó impar”.

Solución

La Conjunción “y” de dos proposiciones implica las dos condiciones al tiempo o simultáneamente. La disyunción “o” de dos proposiciones se usa para la unión de los dos eventos definidos por las mismas. De este modo, se tiene:

  1. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento A es \(A=\{3, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), esto origina \(P(A)=\frac{2}{6}\), la probabilidad de A es \(\frac{1}{3}\). Se espera que el 33.33% de las veces caiga impar y mayor que 2.

  2. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento B es \(B=\{3\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), esto origina \(P(B)=\frac{1}{6}\), la probabilidad de B es \(\frac{1}{6}\). Se espera que la sexta parte de las veces caiga múltiplo de 3 y menor que 5.

  3. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento C es \(C=\{1, 2, 3, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), esto origina \(P(C)=\frac{4}{6}\), la probabilidad de C es \(\frac{2}{3}\). Se espera que el 66.66% de las veces caiga un puntaje inferior a 4 ó impar.

  4. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento D es \(D=\{1, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), esto origina \(P(D)=\frac{2}{6}\), la probabilidad de D es \(\frac{1}{3}\). Se espera que la tercera parte de las veces caiga un puntaje divisor de 20 y de 25.

  5. El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento E es \(E=\{1, 3, 5, 6\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), esto origina \(P(E)=\frac{4}{6}\), la probabilidad de E es \(\frac{2}{3}\). Se espera que las dos terceras partes de las veces caiga puntaje mayor de 4 ó impar.

Los eventos A y D son equiprobables, también C y E.

Probabilidades Compuestas

Al definir experimentos compuestos de varios subexperimentos los resultados se complejizan y se usa el principio fundamental del conteo ó de la multiplicación.

Se define el principio de la multiplicación como aquel conteo de la combinación de k experimentos simples, en los que el primero ocurre de \(n_1\) formas, el segundo de \(n_2\) formas, el tercero de \(n_3\) formas, y así sucesivamente hasta el k-ésimo que ocurre de \(n_k\) formas; entonces el experimento global compuesto de k subexperimentos puede ocurrir en \(n_1*n_2*n_3*...*n_k\) combinaciones.

Ejemplo: Considere el lanzamiento de dos dados corrientes. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

  1. A:“Sacar una suma mayor que 8”.

  2. B:“Sacar una diferencia de 3 entre el segundo resultado y el primero”

  3. C:“Sacar una suma de menos de 6”.

  4. D:“Sacar una diferencia entre el segundo y el primero entre 1 y 3, ambos inclusive”.

  5. E:“Sacar una suma de 5, 6 ó 7”.

Solución

En principio, el experimento de lanzamiento de dos dados, se trata de un experimento compuesto que ocurre de \(6*6=36\) resultados

(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)

  1. El evento A: “Sacar una suma mayor que 8” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(A=\{(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}\)

\(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), es decir, \(P(A)=\frac{10}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{18}\).

  1. El evento B: “Sacar una diferencia de 3 entre el segundo resultado y el primero” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(B=\{(1,4), (2,5), (3,6)\}\)

\(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), es decir, \(P(B)=\frac{3}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{1}{12}\).

  1. El evento C: “Sacar una suma de menos de 6” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(C=\{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}\)

\(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), es decir, \(P(C)=\frac{10}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{18}\).

  1. El evento D: “Sacar una diferencia entre el segundo resultado y el primero, entre 1 y 3, ambos inclusive” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(D=\{(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)\}\)

\(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), es decir, \(P(D)=\frac{12}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{1}{3}\).

  1. El evento E: “Sacar una suma de 5, 6 ó 7” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(E=\{(1,4),(1,5), (1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1)\}\)

\(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), es decir, \(P(E)=\frac{15}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{12}\).

Ejemplo: Considere el lanzamiento de dos dados corrientes. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:

  1. A:“Sacar un producto mayor que 4 y menor que 9”.

  2. B:“Sacar un cociente de 3 o mas entre el segundo resultado y el primero”

  3. C:“Sacar un producto de menos de 6”.

  4. D:“Sacar un cociente entre el segundo y el primero entre 1 y 3, ambos inclusive”.

  5. E:“Sacar un producto de 5, 6 ó 7”.

Solución

En principio, el experimento de lanzamiento de dos dados, se trata de un experimento compuesto que ocurre de \(6*6=36\) resultados

(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)

  1. El evento A:“Sacar un producto mayor que 4 y menor que 9”. se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(A=\{(1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,2), (4,2), (5,1), (6,1)\}\)

\(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), es decir, \(P(A)=\frac{8}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{2}{9}\).

  1. El evento B:“Sacar un cociente de 3 o mas entre el segundo resultado y el primero” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,6)\}\)

\(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), es decir, \(P(B)=\frac{5}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{36}\).

  1. El evento C:“Sacar un producto de menos de 6” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(C=\{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(2,1), (2,2), (3,1),(4,1), (5,1)\}\)

\(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), es decir, \(P(C)=\frac{10}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{18}\).

  1. El evento D:“Sacar un cociente entre el segundo y el primero entre 1 y 3, ambos inclusive” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(D=\{(1,1),(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6),(4,4),(4,5), (4,6), (5,5),(5,6), (6,6)\}\)

\(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), es decir, \(P(D)=\frac{17}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{17}{36}\).

  1. El evento E:“Sacar un producto de 5, 6 ó 8” se puede dar por extensión, en la siguiente forma

\(E=\{(1,5), (1,6),(2,3), (2,4),(3,2),(4,2),(5,1),(6,1)\}\)

\(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), es decir, \(P(E)=\frac{8}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{2}{9}\).

Probabilidades Empíricas

Las probabilidades empíricas se definen desde la frecuencia histórica, tambien conocidas como probabilidades frecuentistas. Se hace estudio del enfoque frecuentista en el caso de que se analizan las realizaciones de fenómenos históricos en eventuales repeticiones.

Ejemplo: Para los siguientes eventos históricos se encontraron las siguientes proporciones suministradas con IA.

  1. Fútbol

3 de 4 penaltis en competiciones FIFA terminan en gol. Probabilidad de marcar un penalti en competiciones FIFA. Históricamente, alrededor del 75% de los penales terminan en gol (FIFA World Cups y Eurocopas). Esto implica que de cada 1000 penales cobrados en estas competiciones 750 son goles. La probabilidad empírica de que un penal termine en gol es del 75%.

  1. Fútbol

Probabilidad de que el equipo local gane un partido de liga. En ligas como la Premier League, el equipo local gana alrededor del 45% de las veces, empata un 25%, y pierde un 30%. De 900 partidos jugados de local, un equipo de esa liga, ¿cuántos gana, cuántos empata y cuántos pierde? En ese caso se espera que gane de los 900 partidos 405 veces, empate 225 veces y pierda 270 veces (405+225+270=900).

  1. Baloncesto

Probabilidad de que un equipo que lidera al medio tiempo gane el partido (NBA). En promedio, un equipo que va ganando al medio tiempo tiene un 67.5% de probabilidad de ganar el juego completo. Si un equipo jugó x partidos y de los x iba ganado 200 partidos al acabarse el medio tiempo, entonces, de esos 200 partidos se espera que ganara 135 y no ganara 65.

  1. Baloncesto

Probabilidad de encestar un tiro libre en la NBA. Promedio histórico de efectividad: entre 75% y 78%, dependiendo de la temporada. Esta implica que al tirar a la cesta la probabilidad de encestar queda entre 0.75 y 0.78. Algo así como 3 de cada 4 tiros terminan dentro de la cesta.

  1. Fútbol Americano.

Probabilidad de anotar desde la yarda 1 (1st and Goal) Equipos de la NFL anotan un touchdown desde esa posición en aproximadamente el 70%–75% de las ocasiones. La probabilidad de anotar desde una yarda queda entre 0.70 y 0.75.

  1. Béisbol

Probabilidad de un hit en cada turno al bate (MLB). El promedio de bateo está entre 0.240 y 0.270, es decir, 24%–27% de probabilidad de lograr un hit.

  1. Beisbol

Probabilidad de que un equipo no deje que el otro equipo consiga al menos un hit en 9 entradas en MLB (no-hitters). Ha habido unos 320 no-hitters en más de 235000 juegos de MLB, lo que implica una probabilidad aproximada de 0.14% por juego. Esto indica que de cada 10000 juegos 14 terminan con no-hitters.

  1. Tenis

Probabilidad de que un sacador gane su servicio (ATP). En promedio, un jugador masculino gana su turno de saque el 75% de las veces. Los grandes sacadores (como Isner o Karlovic) superan el 85%. La diferencia de probabilidad de que Karlovic supere a un jugador masculino promedio es del 10%.

  1. Carreras de caballos

Probabilidad de que el favorito gane una carrera. En promedio, el caballo favorito gana solo en torno al 33% de las carreras. Una de cada 3 carreras serían ganadas por el caballo favorito.

  1. Hockey sobre hielo (NHL)

Probabilidad de anotar en un penalty shot Los jugadores convierten aproximadamente el 33% de los tiros penales en la NHL (mucho menos efectivo que el fútbol). En este orden de ideas aproximadamente 1 de cada 3 penales en Hockey sobre hielo terminan en anotación o gol.

Eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes, es decir, la intersección entre los dos eventos es vacía. También, se dice que los eventos son disyuntos cuando no tienen resultados comunes. En forma matemática, se tiene que A y B son mutuamente excluyentes o disyuntos si y solo si \(A\bigcap B=\phi\).

Otra definición de eventos es la independencia de eventos. Cuando un evento es aislado de otro no influye no afecta, esto obedece a que los dos eventos son independientes. La regla de independencia de eventos dice que A y B son eventos independientes si \(P(A\bigcap B)=P(A)*P(B)\).

Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos los que son disyuntos o mutuamente excluyentes y los que son independientes.

A: “Obtener un puntaje impar”, B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3”, C: “Obtener un puntaje menor que 4”, D: “Obtener un puntaje divisor de 20” y E: “Obtener un puntaje de 5”.

Solución

El evento A es \(A=\{1, 3, 5\}\), el evento B es \(B=\{3, 6\}\), el evento C es \(C=\{1, 2, 3\}\), el evento D es \(D=\{1, 2, 4, 5\}\) y el evento E es \(E=\{5\}\).

Eventos disyuntos o mutuamente excluyentes

B y D, B y E, C y E.

Eventos independientes

A y B pues \(P(A\bigcap B)=\frac{1}{6}\) y \(P(A)*P(B)=\frac{1}{6}\).

A y D pues \(P(A\bigcap D)=\frac{1}{3}\) y \(P(A)*P(D)=\frac{1}{3}\).

B y C pues \(P(B\bigcap C)=\frac{1}{6}\) y \(P(B)*P(C)=\frac{1}{6}\).

C y D pues \(P(C\bigcap D)=\frac{1}{3}\) y \(P(C)*P(D)=\frac{1}{3}\).

Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos los que son disyuntos o mutuamente excluyentes y los que son independientes.

A: “Obtener un puntaje impar y mayor que 2”, B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3 y menor que 5”, C: “Obtener un puntaje menor que 4 o impar”, D: “Obtener un puntaje divisor de 20 y de 25” y E: “Obtener un puntaje mayor de 4 ó impar”.

Solución

El evento A es \(A=\{3, 5\}\), el evento B es \(B=\{3\}\), el evento C es \(C=\{1, 2, 3, 5\}\), el evento D es \(D=\{1, 5\}\) y el evento E es \(E=\{1, 3, 5, 6\}\).

Eventos disyuntos o mutuamente excluyentes

B y D.

Eventos independientes

No existe par de eventos, que cumpla la independencia, entonces todos los pares son eventos dependientes. Esto implica que la ocurrencia primitiva de un evento afecta a la ocurrencia de otro alterando su probabilidad.

En el caso, del ejemplo de los deportes y la probabilidad empírica; los eventos en deportes aislados no se afectan unos a otros, en ese caso serían independientes. Pero, aquellos eventos dentro de un mismo deporte pueden o no tener afectación, para averigualro se necesita más información probabilística. Lo cierto es que la independencia es una propiedad que puede no presentarse en análisis de eventos dentro del mismo experimento, que guardan relación.

Distribución Estadística

Una distribución estadística es la estructura de comportamiento de una variable.

A continuación, se esboza la gráfica de una densidad gamma con parámetro de forma \(\alpha=4\) y parámetro de escala \(\beta=\frac{1}{125}\).

x=seq(from=0,to=2000,by=0.1)
y=x^3*2.7182^(-x/125)/(125^4*6)
plot(x,y,xlab="Gastos en electricidad en miles de pesos", ylab="Proporción de Familias", main="Distribución Asimétrica a la derecha")

En esta gráfica, se observa el sesgo positivo de la distribución de gastos.

A continuación, se grafica la densidad normal con media 50 y desviación estándar de 7, de las calificaciones por materia, en un Colegio.

x=seq(from=0,to=100,by=0.01)
y=1/(2*3.14159*49)*2.7182^(-(x-50)^2/98)
plot(x,y,xlab="Calificaciones Definitivas en un Curso", ylab="Proporción de Estudiantes", main="Distribución Simétrica")

En esta gráfica se visualiza un comportamiento normal, propio de la campana de Gauss, para la calificación definitiva de un grupo. El hecho de que la calificación definitiva se compone del promedio de varias notas, hace que exista un comportamiento gaussiano. Un ejemplo de esto son las pruebas estandarizadas nacionales e internacionales, como la prueba I.C.F.E.S y la prueba PISA.

Ejemplo 1: Se selecciona una muestra de 16 estudiantes y se les pregunta la edad. Los datos se muestran a continuación.

x=c(14,15,16,17)
f=c(5,3,4,4)
mu=sum(x*f)/sum(f)
varx=(sum(x^2*f)/sum(f)-mu^2)*sum(f)/(sum(f)-1)
desv=(varx)^0.5
c(mu,varx,desv)
## [1] 15.437500  1.462500  1.209339

En orden, se visualizan la edad promedio, la varianza y la desviación típica estándar.

Fuentes de Información y Variables Estadísticas

Las fuentes de información son los medios por los cuales se recogen datos o hechos.

-primarias: la encuesta, la entrevista, el experimento y el estudio de caso.

-secundarias: la radio, la televisión, el internet, la revisión de literatura y el estado del arte.

Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos:

-Cualitativas: códigos numéricos, códigos alfanuméricos y códigos alfabéticos.

-Cuantitativas: las cantidades.

Ejemplo 2: Escribe una definición de cada fuente de información y variable estadística.

-La encuesta: las encuestas estadísticas acostumbran a recolectar información cualitativa o cuantitativa sobre los elementos de una población.

Las encuestas se utilizan para obtener información sobre actividades, opiniones, comportamientos y otros aspectos.

f=c(6,5, 4,3,2)
x=c("Natacion", "Futbol", "Voleibol", "Tenis", "Baloncesto")
xf=c("Natacion", "Natacion", "Natacion","Natacion", "Natacion", "Natacion","Futbol","Futbol","Futbol","Futbol","Futbol", "Voleibol","Voleibol","Voleibol","Voleibol","Tenis","Tenis", "Tenis", "Baloncesto","Baloncesto")
xe=table(xf)
xe
## xf
## Baloncesto     Futbol   Natacion      Tenis   Voleibol 
##          2          5          6          3          4
barplot(xe, xlab="Deporte favorito", ylab="Número de Estudiantes", main="Diagrama de barras", col=c("red", "orange", "yellow", "green", "blue"))

-Entrevista: la Entrevista es un método de recopilación de datos que implica la interacción directa entre un entrevistador y un encuestado. Durante la entrevista se hacen preguntas para recopilar información detallada sobre opiniones, experiencias y comportamientos del entrevistado.

Ejemplo 3: Se recogió la edad de 36 estudiantes que pertenecen a la escuela deportiva de la Universidad. La variable x es la edad y f es la cantidad de estudiantes, p el porcentaje absoluto y P el porcentaje acumulado.

x=c(21,22,23,24,25)
f=c(2,6,17,10,1)
p=f/sum(f)*100
P=c(p[1],p[1]+p[2],p[1]+p[2]+p[3],p[1]+p[2]+p[3]+p[4],100)
cbind(x,f,p,P )
##       x  f         p          P
## [1,] 21  2  5.555556   5.555556
## [2,] 22  6 16.666667  22.222222
## [3,] 23 17 47.222222  69.444444
## [4,] 24 10 27.777778  97.222222
## [5,] 25  1  2.777778 100.000000

-El Experimento: es un método de recopilación de datos, que implica una manipulación controlada de variables independientes para observar sus efectos en una o más variables respuestas.

Ojiva de porcentajes

La ojiva es una gráfica de linea poligonal acumulada.

Partimos de la tabla de frecuencias agrupadas

x=c("De 2 a menos de 2.5", "De 2.5 a menos de 3.0", "De 3.0 a menos de 3.5", "De 3.5 a menos de 4.0", "De 4.0 a 4.5")
f=c(4,10,6,3,2)
cbind(x,f)
##      x                       f   
## [1,] "De 2 a menos de 2.5"   "4" 
## [2,] "De 2.5 a menos de 3.0" "10"
## [3,] "De 3.0 a menos de 3.5" "6" 
## [4,] "De 3.5 a menos de 4.0" "3" 
## [5,] "De 4.0 a 4.5"          "2"
xs=c(2,2.5,3,3.5,4,4.5)
P=c(0,16,56,80,92,100)
plot(xs,P,type="l",xlab="fronteras superiores", ylab="Porcentajes acumulados", main="Ojiva de porcentajes")

Para obtener la mediana, el septimo decil, el tercer decil y el 85-ésimo punto percentil; existen 3 maneras: el método gráfico, el método de interpolación y el método de medidas agrupadas.

En el método gráfico, se da un vistazo a la Ojiva y se busca el valor que corresponde al porcentaje acumulado señalado.

La mediana es \(Q_2=2.9\), el septimo decil es \(D_7=3.3\), el tercer decil es \(D_3=2.7\) y el 85-ésimo punto percentil es \(P_{85}=3.75\).

Para calcular el percentil mediante la tabla de frecuencias absolutas agrupadas, se utiliza la formulación

\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)

X_p es el p-ésimo punto percentil

L_p es el límite inferior de la clase que contiene a X_p.

p es el tanto por ciento que acumula el percentil

F es la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se ubica el percentil

f_p es la frecuencia absoluta de la clase percentil

w es la amplitud de la clase percentil

Aplicando la fórmula, se tiene \(Me=L_{50}+\frac{n/2-F}{f_{50}}\times w\)

En este caso \(n=25\) y la mitad de n es 12.5.

El valor de \(L_{50}=2.5\) y \(F=4\) y \(w=0.5\).

\(Me=2.5+\frac{12.5-4}{10}\times 0.5\)

\(Me=2.5+0.425\), esto es, \(Me=2.925\).

El 50% de los estudiantes tiene una calificación de 2.925 o menos.

\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)

Aplicando la fórmula, se tiene \(D_7=L_{70}+\frac{n\times 70\%-F}{f_{70}}\times w\)

En este caso \(n=25\) y el 70% de n es 17.5.

El valor de \(L_{70}=3.0\) y \(F=14\) y \(w=0.5\).

\(D_7=3.0+\frac{17.5-14}{6}\times 0.5\)

\(D_7=3.0+0.2916\), esto es, \(D_7=3.2916\).

El 70% de los estudiantes tiene una calificación de 3.2916 o menos.

\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)

Aplicando la fórmula, se tiene \(D_3=L_{30}+\frac{n\times 30\%-F}{f_{30}}\times w\)

En este caso \(n=25\) y el 30% de n es 7.5.

El valor de \(L_{30}=2.5\) y \(F=4\) y \(w=0.5\).

\(D_3=2.5+\frac{7.5-4}{10}\times 0.5\)

\(D_3=2.5+0.175\), esto es, \(D_3=2.675\).

El 30% de los estudiantes tiene una calificación de 2.675 o menos.

\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)

Aplicando la fórmula, se tiene \(P_{85}=L_{85}+\frac{n\times 85\%-F}{f_{85}}\times w\)

En este caso \(n=25\) y el 85% de n es 21.25.

El valor de \(L_{85}=3.5\) y \(F=20\) y \(w=0.5\).

\(P_{85}=3.5+\frac{21.25-20}{3}\times 0.5\)

\(P_{85}=3.5+0.21\), esto es, \(P_{85}=3.71\).

El 85% de los estudiantes tiene una calificación de 3.71 o menos.

Teorema de la Probabilidad Total

Definición: Los eventos \(A_1, A_2, ..., A_k\) conforman una partición del espacio muestral E, si se cumplen dos condiciones

  1. \(A_i\bigcap A_j=\phi\) para \(i\neq j\). Esto es los eventos son disyuntos.

  2. \(A_1\bigcup A_2\bigcup...\bigcup A_k=E\). Esto es, la unión de los eventos que forman la partición es igual al espacio.

La propiedad (1) indica que los eventos de la partición, cumplen que la probabilidad de la intersección de cualesquieras dos de ellos es igual a cero.

La propiedad (2) indica que la suma de las probabilidades de los eventos de la partición es igual a 1. Es decir, \(\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)=1\). Esta tambien se puede dar en porcentajes, para los cuales, la suma es el 100%.

La probabilidad total de un evento B, bajo la partición dada del espacio, es

\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)\times P(B/A_i)\).

Este teorema es fundamental para calcular probabilidades donde se tiene información de la probabilidad de las partes de E, y de las probabilidades condicionales de B dada cada parte.

El siguiente ejemplo, es un procedimiento de probabilidad total

Ejemplo: Suponga que en un lago el 50% son mojarras, el 30% son cachamas y el 20% son corvinas. De las mojarras, el 15% son de talla pequeña; de las cachamas, el 10% son de talla pequeña; y de las corvinas, el 5% son de talla pequeña. Encuentre la probabilidad de que al sacar un pez del lago, éste sea de talla pequeña.

Sean A_1: “Que se saque una mojarra”

A_2:“Que se saque una cachama”

A_3: “Que se saque una corvina”

B: “Que se saque un pez de talla pequeña”.

\(P(A_1)=0.5\), \(P(A_2)=0.3\), \(P(A_3)=0.2\),

\(P(B/A_1)=0.15\), \(P(B/A_2)=0.10\),\(P(B/A_3)=0.05\).

\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)\times P(B/A_i)\).

\(P(B)=0.50(0.15)+0.30(0.10)+0.20(0.05)\)

\(P(B)=0.075+0.03+0.01\)

\(P(B)=0.115\)

La probabilidad de que el próximo pez que se saque sea de talla pequeña es 0.115. Esto es, el 11.5% de los peces de ese lago son de talla pequeña.

Ejemplo: Suponga que en un Colegio; el 40% son licenciados, el 35% son normalistas y el resto son tecnológos. De los licenciados, el 75% ha asistido a capacitaciones sobre los lineamientos de calidad en los últimos 4 meses; de los normalistas el 70% ha asistido a capacitaciones sobre los lineamientos de calidad en los últimos 4 meses; y de los tecnológos, el 65% ha asistido a tales capacitaciones, en los últimos 4 meses. Encuentre la probabilidad de que al elegir un docente del Colegio, éste halla asistido a capacitación sobre lineamientos de calidad en los últimos 4 meses.

Sean A_1: “Que se elija un licenciado”

A_2:“Que se elija un normalista”

A_3: “Que se elija un tecnologo”

B: “Que se elija un docente que haya asistido al menos a una capacitación de calidad, en los últimos 4 meses”.

\(P(A_1)=0.4\), \(P(A_2)=0.35\), \(P(A_3)=0.25\),

\(P(B/A_1)=0.75\), \(P(B/A_2)=0.70\),\(P(B/A_3)=0.65\).

\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)\times P(B/A_i)\).

\(P(B)=0.40(0.75)+0.35(0.70)+0.25(0.65)\)

\(P(B)=0.30+0.245+0.1625\)

\(P(B)=0.7075\)

La probabilidad de que se escoja aleatoriamente un docente que haya asistido al menos a una capacitación durante los últimos cuatro meses es 0.7075. Esto es, el 70.75% de los docentes de dicho colegio ha asistido a capacitaciones sobre lineamientos de calidad en los últimos cuatro meses.