UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

CARRERA DE ESTADÍSTICA

PROGRAMACIÓN

GRUPO N° 1

Introducción

Las derivadas son operaciones matemáticas que nos permiten calcular la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado. Esto es crucial para entender cómo las funciones evolucionan en relación con sus variables independientes. Las derivadas proporcionan información sobre la pendiente de una curva en un punto específico, lo que nos ayuda a comprender mejor el comportamiento de fenómenos físicos, económicos y de ingeniería.

Derivadas

Una de las ramas de la matemática es el cálculo, donde uno de sus conceptos fundamentales es la “Derivada”, la cual podemos interpretar como la razón de cambio de una función en relación a alguna de sus variables.

Interpretación Geométrica de la Derivada
Interpretación Geométrica de la Derivada

Requisitos

  • Para poder calcular las derivadas en R es recomendable utilizar la siguiente libreria.

    • Instalar y cargar el paquete numDeriv

         install.packages("Deriv")

   library(Deriv)

    • Definir una función

         f <- function(x) x^2 + 3*x + 2

    • Calcular la derivada de la función

         Derivada<-Deriv(f, "x")

    • Imprimir la derivada

         Derivada

Desarrollo

A continuación, se presentarán las fórmulas más importantes para aprender a derivar y ejemplos que ayudaran a la comprensión de cada una de ellas, es importante recomendar a los usuarios que leen este documento que practiquen y que comprendan que es un tema necesario dominar para resolver integrales de forma sencilla y clara.

Fórmulas

  1. Adición.

\[y=u+v \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=u'+v' \] EJEMPLO:

library(Deriv)
f<-function(x) 8*x^2+2*x^2
Derivada<-Deriv(f, "x")
Derivada
## function (x) 
## 20 * x
  1. Sustracción.

\[y=u-v \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=u'-v' \]

EJEMPLO:

library(Deriv)
f<-function(x) 3*x^2-4*x^2
Derivada<-Deriv(f, "x")
Derivada
## function (x) 
## -(2 * x)
  1. Regla del Producto.

\[y={u}*{v}\ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ y'=u'*v+u*v'\] EJEMPLO:

f <- function(x) 8*x*x^2
Derivada <- Deriv(expression((8*x)*(x^2)), "x")
Derivada
## expression(24 * x^2)
  1. Regla del Cociente.

\[y=\frac{u}{v}\ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ y'=\frac{u'*v-u*v'}{v^2}\] EJEMPLO:

f <- function(x) {8*x}/{x^2}
Derivada <- Deriv(expression({8*x}/{x^2}, "x"))
Derivada
## expression(-(8/x^2))
  1. Regla de la Constante.

\[y=k \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=0 \] EJEMPLO:

f <- function(x) 8
Derivada <- Deriv(expression(8, "x"))
Derivada
## expression(0)
  1. Derivada de una identidad.

\[y=x \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=1 \] EJEMPLO:

f <- function(x) x
Derivada <- Deriv(expression(x, "x"))
Derivada
## expression(1)
  1. Derivada de una múltiplo constante.

\[y=kx \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=k \] EJEMPLO:

f <- function(x) 16*x
Derivada <- Deriv(expression(16*x, "x"))
Derivada
## expression(16)
  1. Derivada de la función recípocra.

\[y=\frac{1}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{-1}{x^2} \] EJEMPLO:

f <- function(x) {2}/{x^3}
Derivada <- Deriv(expression({2}/{x^3}, "x"))
Derivada
## expression(-(6/x^4))
  1. Derivada de una función cuadrática.

\[y={x^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=2x \] EJEMPLO:

f <- function(x) (4*x^2)
Derivada <- Deriv(expression({4*x^2}), "x")
Derivada
## expression(8 * x)
  1. Derivada de una potencia.

\[y={x^n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=n*x^{n-1} \] EJEMPLO:

f <- function(x) (2*x^4)
Derivada <- Deriv(expression({2*x^4}), "x")
Derivada
## expression(8 * x^3)
  1. Derivada de una función exponencial con base “e”.

\[y={e^x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=e^x \] EJEMPLO:

f <- function(x) (e^x)
Derivada <- Deriv(expression({e^x}), "x")
Derivada
## expression(e^x * log(e))
  1. Derivada de una función exponencial con base “a”.

\[y={a^x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=a^x*ln{a} \] EJEMPLO:

f <- function(x) (8^x)
Derivada <- Deriv(expression({8^x}), "x")
Derivada
## expression(2.07944154167984 * 8^x)
  1. Derivada de una función logarítmica natural.

\[y={lnx} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{x} \] EJEMPLO:

f <- function(x) (log(7*x^2))
Derivada <- Deriv(expression(log(7*x^2)), "x")
Derivada
## expression(2/x)
  1. Derivada de una función logarítmica en base “a”.

\[y=\log_{a}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{x*lna} \] EJEMPLO:

f <- function(x) log(x, base = 4)
Derivada <- Deriv(expression(log(x, base = 4)), "x")
Derivada
## expression(1/(1.38629436111989 * x))
  1. Derivada de una raíz cuadrada.

\[y=\sqrt{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ → \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{2*\sqrt{x}} \] EJEMPLO:

f <- function(x) sqrt(8*x)
Derivada <- Deriv(expression(sqrt(8*x), "x"))
Derivada
## expression(4/sqrt(8 * x))
  1. Derivada del seno.

\[y=sin(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=u'*cos(u)\] EJEMPLO:

f <- function(x) sin(5*x)
Derivada <- Deriv(expression(sin(5*x), "x"))
Derivada
## expression(5 * cos(5 * x))
  1. Derivada del coseno.

\[y=cos(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=-u'*sin(u)\] EJEMPLO:

f <- function(x) cos(5*x)
Derivada <- Deriv(expression(cos(5*x), "x"))
Derivada
## expression(-(5 * sin(5 * x)))
  1. Derivada de la tangente.

\[y=tan(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=u'*sec^2(u)\] EJEMPLO:

f <- function(x) tan(5*x)
Derivada <- Deriv(expression(tan(5*x), "x"))
Derivada
## expression(5/cos(5 * x)^2)
  1. Derivada del arcoseno.

\[y=arcsin(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\] EJEMPLO:

f <- function(x) asin(3*x)
Derivada <- Deriv(expression(asin(3*x)), "x")
Derivada
## expression(3/sqrt(1 - (3 * x)^2))
  1. Derivada del arcocoseno.

\[y=arccos(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{-u'}{\sqrt(1-u^2)}\] EJEMPLO:

f <- function(x) acos(3*x)
Derivada <- Deriv(expression(acos(3*x)), "x")
Derivada
## expression(-(3/sqrt(1 - (3 * x)^2)))
  1. Derivada del arcoseno.

\[y=arcsin(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\] EJEMPLO:

f <- function(x) asin(3*x)
Derivada <- Deriv(expression(asin(3*x)), "x")
Derivada
## expression(3/sqrt(1 - (3 * x)^2))
  1. Derivada del arcotangente.

\[y=arctan(u)\ \ \ \ \ \ \ →\ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{u'}{1+u^2}\] EJEMPLO:

f <- function(x) atam(3*x)
Derivada <- Deriv(expression(atan(3*x)), "x")
Derivada
## expression(3/((3 * x)^2 + 1))

References

Alex, M. P. [@MatematicasprofeAlex]. (n.d.). Derivadas (curso COMPLETO). Youtube. Retrieved May 12, 2024, from http://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dG2UQ35tPsaVMYkQhc8Vp__

VaxaSoftware. (n.d.). VaxaSoftware page. Vaxasoftware.com. Retrieved May 12, 2024, from https://www.vaxasoftware.com/doc_eduen/mat/derivada.pdf)