EJERCICIOS DE LA PAGINA 136

Solución del ejercicio PAG 136 #3

## Función de distribución
#Dado que se lanzan tres veces la moneda, podemos usar una distribución binomial para modelar el experimento. La función de masa de probabilidad para una distribución binomial es:
 # \[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k},\]
#donde \(n = 3\) (número de lanzamientos), \(p = 3/7\) (probabilidad de obtener cara), y \(k\) es el número de éxitos (caras).

#El cálculo de las probabilidades para cada valor de \(X = 0, 1, 2, 3\) se realiza de la siguiente manera en R:
  
  # Parámetros
  n <- 3
p <- 3/7


# Función de distribución para X
prob_0 <- dbinom(0, n, p)  # P(X = 0)
prob_1 <- dbinom(1, n, p)  # P(X = 1)
prob_2 <- dbinom(2, n, p)  # P(X = 2)
prob_3 <- dbinom(3, n, p)  # P(X = 3)

# Imprimir resultados
cat("P(X = 0) =", prob_0, "\n")
## P(X = 0) = 0.1865889
cat("P(X = 1) =", prob_1, "\n")
## P(X = 1) = 0.4198251
cat("P(X = 2) =", prob_2, "\n")
## P(X = 2) = 0.3148688
cat("P(X = 3) =", prob_3, "\n")
## P(X = 3) = 0.0787172

Solución del ejercicio PAG 136 #4

# Cálculo de probabilidades para una variable aleatoria X


# Definición del espacio muestral
w <- c("a", "b", "c", "d", "e", "f")

# Definición de valores de la variable aleatoria X
X <- c(0, 0, 1.5, 1.5, 2, 3)

# Calcular la probabilidad de que X sea igual a 1.5
P_X_1_5 <- sum(X == 1.5) / length(w)  # Frecuencia relativa de X = 1.5

# Calcular la probabilidad de que el valor absoluto de (X - 1) sea menor o igual a 1.5
# Esto equivale a P(X >= -0.5 y X <= 2.5)
P_X_within_1_5 <- sum(X >= -0.5 & X <= 2.5) / length(w)

# Calcular la probabilidad de que X esté entre 0 y 2 (inclusive)
P_X_0_to_2 <- sum(X >= 0 & X <= 2) / length(w)

# Imprimir las probabilidades calculadas
cat("a) P(X = 1.5) =", P_X_1_5, "\n")
## a) P(X = 1.5) = 0.3333333
cat("b) P(|X - 1| <= 1.5) =", P_X_within_1_5, "\n")
## b) P(|X - 1| <= 1.5) = 0.8333333
cat("c) P(0 <= X <= 2) =", P_X_0_to_2, "\n")
## c) P(0 <= X <= 2) = 0.8333333

Solución del ejercicio PAG 136 #6

# Cargar ggplot2
library(ggplot2)

# Parámetros de la distribución binomial
n <- 4  # número de lanzamientos
p <- 0.5  # probabilidad de obtener cara

# Valores posibles para X
x_values <- 0:n

# Cálculo de la función de distribución para X
prob_X <- dbinom(x_values, n, p)

# Mostrar la función de distribución para X
cat("Distribución de X:\n")
## Distribución de X:
for (i in seq_along(x_values)) {
  cat("P(X =", x_values[i], ") =", prob_X[i], "\n")
}
## P(X = 0 ) = 0.0625 
## P(X = 1 ) = 0.25 
## P(X = 2 ) = 0.375 
## P(X = 3 ) = 0.25 
## P(X = 4 ) = 0.0625
# Calcular la variable aleatoria Y = X - 2
y_values <- x_values - 2

# Calcular la función de distribución para Y (mismas probabilidades que X)
prob_Y <- prob_X  # Mismo valor de probabilidad

# Mostrar la función de distribución para Y
cat("\nDistribución de Y:\n")
## 
## Distribución de Y:
for (i in seq_along(y_values)) {
  cat("P(Y =", y_values[i], ") =", prob_Y[i], "\n")
}
## P(Y = -2 ) = 0.0625 
## P(Y = -1 ) = 0.25 
## P(Y = 0 ) = 0.375 
## P(Y = 1 ) = 0.25 
## P(Y = 2 ) = 0.0625
# Graficar la función de distribución para Y
df <- data.frame(Y = y_values, Probabilidad = prob_Y)

ggplot(df, aes(x = Y, y = Probabilidad)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "steelblue") +
  labs(title = "Función de distribución para Y = X - 2",
       x = "Valores de Y",
       y = "Probabilidad") +
  theme_minimal()

# Solución del ejercicio PAG 136 #13

# Función de probabilidad para la variable aleatoria X

# Definición de n (número de discos concéntricos)
n <- 5  # puedes cambiar este valor según el problema

# Calcular las áreas para cada anillo
areas <- numeric(n)  # Vector para almacenar áreas de cada anillo
for (i in 0:(n-1)) {
  r1 <- i / n  # Radio del círculo interno del anillo
  r2 <- (i + 1) / n  # Radio del círculo externo del anillo
  areas[i + 1] <- pi * (r2^2 - r1^2)  # Área del anillo
}

# Calcular las probabilidades para cada anillo
total_area <- pi  # Área total del círculo
probs <- areas / total_area  # Proporción del área total

# Valores monetarios asociados a cada anillo
monetary_values <- n - (0:(n - 1))  # Ganancia monetaria para cada anillo

# Función de probabilidad para X
cat("Función de probabilidad para X (ganancia monetaria):\n")
## Función de probabilidad para X (ganancia monetaria):
for (i in seq_along(probs)) {
  cat("P(X =", monetary_values[i], ") =", probs[i], "\n")
}
## P(X = 5 ) = 0.04 
## P(X = 4 ) = 0.12 
## P(X = 3 ) = 0.2 
## P(X = 2 ) = 0.28 
## P(X = 1 ) = 0.36

EJERCICIOS DE LA PAGINA 191

Solución del ejercicio PAG 191 #4:

# Probabilidad de que un computador esté ocupado en horas pico
prob_ocupado <- 0.9

# Número de computadores en la sala
num_computadores <- 20

# Probabilidad de que todos los computadores estén ocupados
prob_todos_ocupados <- prob_ocupado ^ num_computadores

# Probabilidad de que al menos un computador esté desocupado
prob_al_menos_uno_desocupado <- 1 - prob_todos_ocupados

# Mostrar los resultados
cat("Probabilidad de que todos los computadores estén ocupados:", prob_todos_ocupados, "\n")
## Probabilidad de que todos los computadores estén ocupados: 0.1215767
cat("Probabilidad de que al menos un computador esté desocupado:", prob_al_menos_uno_desocupado, "\n")
## Probabilidad de que al menos un computador esté desocupado: 0.8784233

Solución del ejercicio PAG 191 #5:

# Probabilidad P(X = 0)
prob_X_0 <- 0.02

# Calcular lambda
lambda <- -log(prob_X_0)

# Calcular la media (mu)
media <- lambda

# Calcular la varianza (sigma^2)
varianza <- lambda

# Mostrar los resultados
cat("Media de X:", media, "\n")
## Media de X: 3.912023
cat("Varianza de X:", varianza, "\n")
## Varianza de X: 3.912023

Solución del ejercicio PAG 191 #6:

# Probabilidad P(X = 0)
prob_X_0 <- 0.4

# Calcular lambda
lambda <- -log(prob_X_0)

# Calcular P(X <= 3)
prob_X_3 <- ppois(3, lambda)

# Mostrar el resultado
cat("P(X <= 3):", prob_X_3, "\n")
## P(X <= 3): 0.9857212

Solución del ejercicio PAG 191 #7:

# Definir una función para calcular P(X = k) en una distribución de Poisson
poisson_prob <- function(k, lambda) {
  return(exp(-lambda) * lambda^k / factorial(k))
}

# Dado P(X = 1) = 1/5 * P(X = 2)
# Encontrar el valor de lambda
lambda <- 1  # Empezamos con un valor de lambda
while (TRUE) {
  p_x_1 <- poisson_prob(1, lambda)
  p_x_2 <- poisson_prob(2, lambda)
  if (p_x_1 == (1/5) * p_x_2) {
    break  # Salir del bucle cuando se cumpla la condición
  }
  lambda <- lambda + 0.01  # Incrementar lambda si la condición no se cumple
}

cat("El valor de lambda es:", lambda, "\n")
## El valor de lambda es: 745.14
# Calcular P(X = 0) con lambda encontrado
p_x_0 <- poisson_prob(0, lambda)

# Calcular P(X >= 4) con lambda encontrado
p_x_geq_4 <- 1 - sum(poisson_prob(0:3, lambda))

# Imprimir los resultados
cat("P(X = 0) =", p_x_0, "\n")
## P(X = 0) = 0
cat("P(X >= 4) =", p_x_geq_4, "\n")
## P(X >= 4) = 1

Solución del ejercicio PAG 191 #8:

# Definir función de probabilidad para X = 1
prob_X_1 <- function(lambda) {
  return ((lambda^2 / 10) * exp(-lambda))
}

# Resolver para lambda (asumiendo que lambda = 1)
lambda <- 1

# Calcular P(X = 1)
p_x_1 <- prob_X_1(lambda)

# Calcular P(X = 2)
p_x_2 <- p_x_1 * 5

# Calcular P(X = 0)
p_x_0 <- 1 - p_x_1 - p_x_2

# Calcular P(X >= 4)
p_x_4 <- 1 - (p_x_0 + p_x_1 + p_x_2 + dpois(3, lambda))

# Mostrar los resultados
cat("P(X = 0):", p_x_0, "\n")
## P(X = 0): 0.7792723
cat("P(X >= 4):", p_x_4, "\n")
## P(X >= 4): -0.06131324

Solución del ejercicio PAG 191 #9:

# Definir la probabilidad de éxito
p_rojo <- 18 / 38

# Definir la función de probabilidad de X
probabilidad_X <- function(k, p) {
  return ((1 - p)^(k - 1) * p)
}

# Calcular la función de probabilidad para k desde 1 hasta 20
k_values <- 1:20
prob_X <- sapply(k_values, probabilidad_X, p = p_rojo)

# Mostrar la función de probabilidad
cat("Función de probabilidad de X:\n")
## Función de probabilidad de X:
for (i in 1:length(k_values)) {
  cat("P(X =", k_values[i], ") =", prob_X[i], "\n")
}
## P(X = 1 ) = 0.4736842 
## P(X = 2 ) = 0.2493075 
## P(X = 3 ) = 0.1312145 
## P(X = 4 ) = 0.06906024 
## P(X = 5 ) = 0.0363475 
## P(X = 6 ) = 0.01913026 
## P(X = 7 ) = 0.01006856 
## P(X = 8 ) = 0.005299241 
## P(X = 9 ) = 0.002789074 
## P(X = 10 ) = 0.001467934 
## P(X = 11 ) = 0.0007725968 
## P(X = 12 ) = 0.0004066299 
## P(X = 13 ) = 0.0002140157 
## P(X = 14 ) = 0.0001126399 
## P(X = 15 ) = 5.928414e-05 
## P(X = 16 ) = 3.120218e-05 
## P(X = 17 ) = 1.64222e-05 
## P(X = 18 ) = 8.643262e-06 
## P(X = 19 ) = 4.549085e-06 
## P(X = 20 ) = 2.394255e-06

Solución del ejercicio PAG 191 #10:

# Definir parámetros
n <- 30  # Número total de preguntas
p <- 1/5  # Probabilidad de obtener una respuesta correcta al adivinar
q <- 1 - p  # Probabilidad de obtener una respuesta incorrecta al adivinar

# a) Probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta más de 20 preguntas
prob_a <- 1 - pbinom(20, n, p)

# b) Probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta menos de 3 preguntas
prob_b <- pbinom(2, n, p)

# c) Probabilidad de que el estudiante conteste todas las preguntas de manera incorrecta
prob_c <- q^n

# Imprimir resultados

cat("a) Probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta más de 20 preguntas:", prob_a, "\n")
## a) Probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta más de 20 preguntas: 4.477558e-09
cat("b) Probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta menos de 3 preguntas:", prob_b, "\n")
## b) Probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta menos de 3 preguntas: 0.04417899
cat("c) Probabilidad de que el estudiante conteste todas las preguntas de manera incorrecta:", prob_c, "\n")
## c) Probabilidad de que el estudiante conteste todas las preguntas de manera incorrecta: 0.00123794

Solución del ejercicio PAG 191 #11:

# Definir los parámetros
n <- 100000  # Número de personas
p <- 0.00002  # Probabilidad de morir a causa de la vacuna

# Calcular lambda
lambda <- n * p

# Calcular la probabilidad de que mueran 0, 1 o 2 personas
p_0 <- dpois(0, lambda)
p_1 <- dpois(1, lambda)
p_2 <- dpois(2, lambda)

# Sumar las probabilidades
p_at_most_2 <- p_0 + p_1 + p_2

# Imprimir el resultado
cat("La probabilidad de que mueran a lo más dos personas es:", p_at_most_2, "\n")
## La probabilidad de que mueran a lo más dos personas es: 0.6766764

Solución del ejercicio PAG 191 #12:

# Definir los parámetros
n <- 15  # Número de preguntas
prob_aprobar <- 0.001  # Probabilidad de aprobar por azar

# Inicializar k
k <- 1

# Calcular la probabilidad de aprobar por azar con diferentes valores de k
while (TRUE) {
  p <- 1 / k  # Probabilidad de obtener una respuesta correcta (k opciones, solo una correcta)
  
  # Calcular la probabilidad acumulada de obtener al menos 10 respuestas correctas
  prob_aprobar_azar <- pbinom(9, size = n, prob = p, lower.tail = FALSE)
  
  # Verificar si la probabilidad es menor o igual a la deseada
  if (prob_aprobar_azar <= prob_aprobar) {
    break  # Salir del bucle si encontramos el valor de k adecuado
  }
  
  k <- k + 1  # Probar el siguiente valor de k si la probabilidad es demasiado alta
}

# Imprimir el valor de k
print(k)
## [1] 4

Solución del ejercicio PAG 191 #13:

# Definir la probabilidad de éxito en un solo ensayo (probabilidad de encontrar una persona daltónica)
p <- 0.001

# Definir el número de éxitos deseado (número de personas daltónicas requeridas)
r <- 15

# Calcular el número esperado de entrevistas utilizando la distribución binomial negativa
num_entrevistas <- r/p

# Imprimir el resultado
print(num_entrevistas)
## [1] 15000

Solución del ejercicio PAG 191 #17:

# Definir los parámetros
p <- 0.05  # Probabilidad de que un artículo sea defectuoso
n <- 15    # Número total de artículos inspeccionados
k <- 3     # Número máximo de artículos defectuosos permitidos

# Calcular la probabilidad acumulativa de encontrar a lo sumo k artículos defectuosos
prob <- pbinom(k, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)

# Imprimir el resultado
print(prob)
## [1] 0.9945327

Solución del ejercicio PAG 191 #18

# Parámetros Función de Probabilidad para X^2
p <- 0.3  # El valor de p cambia segun queramos, pues no esta definido en el ejercicio

# Función de probabilidad para X^2
x_squared <- function(x) {
  p * (1 - p)^(x^2 - 1)
}

# Ejemplo: P(X^2 = 4)
x_squared(2)
## [1] 0.1029
# Función de probabilidad para X + 3
x_plus_3 <- function(y) {
  p * (1 - p)^(y - 4)
}

# Ejemplo: P(X + 3 = 6)
x_plus_3(6)
## [1] 0.147

Solución del ejercicio PAG 191 #19

# Parámetro de la distribución de Poisson
lambda <- 5

# Valores de x para graficar
x <- 0:20

# Función de probabilidad de Poisson
prob_poisson <- dpois(x, lambda)

# Gráfica
plot(x, prob_poisson, type = "h", lwd = 2, col = "blue",
     xlab = "Número de solicitudes diarias", ylab = "Probabilidad",
     main = "Distribución de Poisson (λ = 5)")

  1. La proporción de días en los que la demanda por un ejemplar del libro es cero
# Parámetro de la distribución de Poisson Proporción de días con demanda cero
lambda <- 5

# Probabilidad de demanda cero
prob_cero <- exp(-lambda) * (lambda^0) / factorial(0)
prob_cero
## [1] 0.006737947
  1. La proporción de días en los que la demanda por un ejemplar del libro supera la oferta.
# Probabilidad de demanda menor o igual a tres
prob_tres_o_menos <- sum(dpois(0:3, lambda))

# Probabilidad de demanda mayor a tres
prob_mayor_a_tres <- 1 - prob_tres_o_menos
prob_mayor_a_tres
## [1] 0.7349741

Solución del ejercicio PAG 191 #20

# Probabilidad de que un componente funcione sin problemas
p <- 0.85

# Probabilidad de que al menos uno de los cuatro componentes funcione
prob_sistema_funciona <- 1 - p^4
prob_sistema_funciona
## [1] 0.4779938
# Tasa de éxito de un solo componente
tasa_exito_componente <- 1 - p
tasa_exito_componente
## [1] 0.15

Solución del ejercicio PAG 191 #21

# Parámetros
n <- 10000
p <- 0.001
mu <- n * p

# Probabilidad usando la distribución de Poisson
prob_poisson <- sum(dpois(0:5, mu))
prob_poisson
## [1] 0.06708596

Solución del ejercicio PAG 191 #22

  1. Probabilidad de que a lo más dos osos capturados estén marcados:
# Número total de osos en el bosque (\(N\)): 20
# Número de osos marcados (\(K\)): 5
# Tamaño de la muestra (número de osos capturados): 4
# Cálculo de probabilidades
p_X0 <- choose(5, 0) * choose(15, 4) / choose(20, 4)
p_X1 <- choose(5, 1) * choose(15, 3) / choose(20, 4)
p_X2 <- choose(5, 2) * choose(15, 2) / choose(20, 4)

# Probabilidad total
p_at_most_2 <- p_X0 + p_X1 + p_X2
p_at_most_2
## [1] 0.9680083

Solución del ejercicio PAG 191 #23

  1. Tamaño de muestra para probabilidad de al menos un artículo defectuoso
# Parámetros
alpha <- 0.10  # Nivel de confianza (90%)
Z_alpha_2 <- qnorm(1 - alpha/2)
p <- 0.03  # Probabilidad de artículo defectuoso
e <- 1 - 0.90  # Margen de error deseado (probabilidad real - probabilidad deseada)

# Tamaño de muestra
n <- (Z_alpha_2^2 * p * (1 - p)) / e^2
n
## [1] 7.873131

Solución del ejercicio PAG 191 #24

Función de distribución

Dado que el número de errores tipográficos en una página de un libro puede ser modelado por una distribución de Poisson, donde el parámetro lambda (\(\lambda\)) es la tasa media de errores por página. La función de masa de probabilidad para una distribución de Poisson es: \[ P(X = k) = \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}}{{k!}}, \] donde \(k\) es el número de errores tipográficos en una página.

El cálculo de las probabilidades para cada valor de \(X = 0, 1, 2, \ldots\) se realiza de la siguiente manera en R:

# Parámetros
paginas <- 300
errores_totales <- 253
caracteres_por_pagina <- 5000
lambda <- (errores_totales / paginas) * (1 / caracteres_por_pagina)  # Tasa media de errores por página

# Función de distribución para X
prob_cero_errores <- dpois(0, lambda)  # P(X = 0)
prob_al_menos_un_error <- 1 - ppois(0, lambda)  # P(X >= 1)

# Imprimir resultados
cat("La probabilidad de que en la primera página no haya errores tipográficos es:", round(prob_cero_errores, 4), "\n")
## La probabilidad de que en la primera página no haya errores tipográficos es: 0.9998
cat("La probabilidad de que en la primera página haya por lo menos un error tipográfico es:", round(prob_al_menos_un_error, 4), "\n")
## La probabilidad de que en la primera página haya por lo menos un error tipográfico es: 2e-04

Solución del ejercicio PAG 191 #25

Función de distribución

Dado que estamos seleccionando al azar 5 bultos de arroz de un camión que contiene 40 bultos, de los cuales 10 tienen cocaína, podemos modelar este problema utilizando la distribución hipergeométrica. La función de masa de probabilidad para una distribución hipergeométrica es: \[ P(X = k) = \frac{{\binom{{M}}{{k}} \cdot \binom{{N - M}}{{n - k}}}}{{\binom{{N}}{{n}}}}, \] donde \(N\) es el número total de elementos (40 bultos), \(M\) es el número de elementos de interés (10 bultos con cocaína), \(n\) es el número de elementos en la muestra (5 bultos seleccionados) y \(k\) es el número de elementos de interés en la muestra.

El cálculo de la probabilidad de que por lo menos uno de los bultos de la muestra contenga cocaína se realiza de la siguiente manera en R:

# Parámetros
N <- 40  # Número total de bultos en el camión
M <- 10  # Número de bultos con cocaína en el camión
n <- 5   # Número de bultos seleccionados para la muestra

# Función de distribución para X
prob_al_menos_uno <- 1 - phyper(0, M, N - M, n)

# Imprimir resultado
cat("La probabilidad de que por lo menos uno de los bultos de la muestra contenga cocaína es:", round(prob_al_menos_uno, 4), "\n")
## La probabilidad de que por lo menos uno de los bultos de la muestra contenga cocaína es: 0.7834

Solución del ejercicio PAG 191 #27

Función de distribución

Dado que el concursante extrae simultáneamente 3 boletas de una urna que contiene 5 boletas premiadas y 9 boletas no premiadas, podemos modelar este problema utilizando la distribución hipergeométrica. La función de masa de probabilidad para una distribución hipergeométrica es: \[ P(X = k) = \frac{{\binom{{M}}{{k}} \cdot \binom{{N - M}}{{n - k}}}}{{\binom{{N}}{{n}}}}, \] donde \(N\) es el número total de boletas en la urna (14 boletas), \(M\) es el número de boletas premiadas (5 boletas premiadas), \(n\) es el número de boletas que el concursante extrae (3 boletas seleccionadas) y \(k\) es el número de boletas premiadas en la muestra.

El cálculo de la probabilidad de que las 3 boletas extraídas estén premiadas en cada uno de los 3 ensayos adicionales se realiza de la siguiente manera en R:

# Parámetros
N <- 14  # Número total de boletas en la urna
M <- 5   # Número de boletas premiadas en la urna
n <- 3   # Número de boletas que el concursante extrae

# Función de distribución para X
prob_ganar <- dhyper(3, M, N - M, n)

# Imprimir resultado
cat("La probabilidad de que el concursante gane al optar por repetir el ensayo tres veces más y extraer 3 boletas premiadas en cada repetición es:", round(prob_ganar, 4), "\n")
## La probabilidad de que el concursante gane al optar por repetir el ensayo tres veces más y extraer 3 boletas premiadas en cada repetición es: 0.0275

Solución del ejercicio PAG 191 #28

Función de distribución

Dado que el promedio de homicidios mensuales en el país es de 1 por cada 100000 habitantes, podemos modelar este problema utilizando la distribución de Poisson. La función de masa de probabilidad para una distribución de Poisson es: \[ P(X = k) = \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}}{{k!}}, \] donde \(\lambda\) es la tasa media de homicidios por mes y \(k\) es el número de homicidios en un mes.

  1. Determinar la probabilidad de que en una ciudad de dicho país, de 300000 habitantes, haya 5 o más homicidios en un mes dado.
# Parámetros
lambda <- 300000 * (1/100000)  # Tasa media de homicidios por mes
k <- 5  # Número de homicidios

# Función de distribución para X
prob_5_o_mas <- 1 - ppois(4, lambda)

# Imprimir resultado
cat("La probabilidad de que en una ciudad de 300000 habitantes haya 5 o más homicidios en un mes dado es:", round(prob_5_o_mas, 4), "\n")
## La probabilidad de que en una ciudad de 300000 habitantes haya 5 o más homicidios en un mes dado es: 0.1847
# Parámetros
meses <- 12  # Número de meses en el año
prob_5_o_mas_mes <- 1 - ppois(4, lambda)  # Probabilidad de que ocurran 5 o más homicidios en un mes

# Probabilidad de que ocurran 5 o más homicidios en al menos dos meses durante el año
prob_dos_o_mas_meses <- 1 - pbinom(1, meses, prob_5_o_mas_mes)

# Imprimir resultado
cat("La probabilidad de que haya por lo menos dos meses durante el año en los que ocurran 5 o más homicidios es:", round(prob_dos_o_mas_meses, 4), "\n")
## La probabilidad de que haya por lo menos dos meses durante el año en los que ocurran 5 o más homicidios es: 0.6794
# Función de distribución para X
prob_primero_5_o_mas_en_cuatro <- dbinom(1, 1, prob_5_o_mas_mes)

# Imprimir resultado
cat("La probabilidad de que el primer mes en tener 5 o más homicidios sea el cuarto es:", round(prob_primero_5_o_mas_en_cuatro, 4), "\n")
## La probabilidad de que el primer mes en tener 5 o más homicidios sea el cuarto es: 0.1847

EJERCICIOS DE LA PÁGINA 243

Solución del ejercicio PAG 243 #9

# Parámetros de la distribución normal estándar
mean <- 0
sd <- 1

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(1.42, mean = mean, sd = sd) - pnorm(0, mean = mean, sd = sd)

# Gráfica de la distribución normal
library(ggplot2)
x_vals <- seq(-3, 3, length.out = 100)
y_vals <- dnorm(x_vals, mean = mean, sd = sd)
df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_area(data = subset(df, x >= 0 & x <= 1.42), aes(fill = "a."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, x >= -0.73 & x <= 0), aes(fill = "b."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, x >= -1.37 & x <= 2.01), aes(fill = "c."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, x >= 1.13), aes(fill = "d."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, -0.5 >= x ), aes(fill = "e."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, 0.5 <= x ), aes(fill = "e."), alpha = 0.5) +
  labs(title = "Distribución Normal Estándar",
       x = "Valor de X",
       y = "Densidad de Probabilidad") +
  theme_minimal()

  1. Cálculo de \(P(0 \leq X \leq 1.42)\)
# Parámetros de la distribución normal estándar
mean <- 0
sd <- 1

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(1.42, mean = mean, sd = sd) - pnorm(0, mean = mean, sd = sd)
prob
## [1] 0.4221962
  1. Cálculo de \(P(-0.73 \leq X \leq 0)\)
# Parámetros de la distribución normal estándar
mean <- 0
sd <- 1

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(0, mean = mean, sd = sd) - pnorm(-0.73, mean = mean, sd = sd)
prob
## [1] 0.2673049
  1. Cálculo de \(P(-1.37 \leq X \leq 2.01)\)
# Parámetros de la distribución normal estándar
mean <- 0
sd <- 1

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(2.01, mean = mean, sd = sd) - pnorm(-1.37, mean = mean, sd = sd)
prob
## [1] 0.892441
  1. Cálculo de \(P(X \geq 1.13)\)
# Parámetros de la distribución normal estándar
mean <- 0
sd <- 1

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(1.13, mean = mean, sd = sd, lower.tail = FALSE)
prob
## [1] 0.1292381
  1. Cálculo de \(P(|X| \leq 0.5)\)
# Parámetros de la distribución normal estándar
mean <- 0
sd <- 1

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(0.5, mean = mean, sd = sd) - pnorm(-0.5, mean = mean, sd = sd)
prob
## [1] 0.3829249

Solución del ejercicio PAG 243 #10

## Cálculo de \(x\) tal que \(P(X > x) = 0.5\)


# Parámetros de la distribución normal
mean <- 5
sd <- 4

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.5, mean = mean, sd = sd)

# Gráfica de la distribución normal
x_vals <- seq(mean - 3*sd, mean + 3*sd, length.out = 100)
y_vals <- dnorm(x_vals, mean = mean, sd = sd)
df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_vline(xintercept = x, color = "red", linetype = "dashed") +
  geom_area(data = subset(df, x >= 5), aes(fill = "a."), alpha = 0.5) +
  labs(title = "Distribución Normal",
       x = "Valor de X",
       y = "Densidad de Probabilidad") +
  theme_minimal()

  1. Cálculo de \(x\) tal que \(P(X > x) = 0.5\)
# Parámetros de la distribución normal
mean <- 5
sd <- 4

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.5, mean = mean, sd = sd)

# Imprimimos el resultado
cat("El valor de x que resuelve la ecuación es aproximadamente", round(x, 4))
## El valor de x que resuelve la ecuación es aproximadamente 5
  1. Cálculo de \(x\) tal que \(P(x < X < 9) = 0.2\)
# Parámetros de la distribución normal
mean <- 5
sd <- 4

# Calculamos la probabilidad
prob <- pnorm(9, mean = mean, sd = sd) - pnorm(5, mean = mean, sd = sd)

# Encontramos el valor de x
x <- qnorm(0.2, mean = mean, sd = sd)

# Imprimimos el resultado
cat("El valor de x que resuelve la ecuación es aproximadamente", round(x, 4))
## El valor de x que resuelve la ecuación es aproximadamente 1.6335
  1. Cálculo de \(x\) tal que \(P(X > x) = 0.01\)
# Parámetros de la distribución normal
mean <- 5
sd <- 4

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.01, mean = mean, sd = sd)

# Imprimimos el resultado
cat("El valor de x que resuelve la ecuación es aproximadamente", round(x, 4))
## El valor de x que resuelve la ecuación es aproximadamente -4.3054

Solución del ejercicio PAG 243 #12

## Cálculo de máquina de llenado automático


# Parámetros de la distribución normal
mean <- 12.4
sd <- 0.1

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.5, mean = mean, sd = sd)

# Gráfica de la distribución normal
x_vals <- seq(mean - 4*sd, mean + 4*sd, length.out = 100)
y_vals <- dnorm(x_vals, mean = mean, sd = sd)
df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_vline(xintercept = x, color = "red", linetype = "dashed") +
  geom_area(data = subset(df, 12.1 >= x), aes(fill = "a."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, x >= 12.6), aes(fill = "b."), alpha = 0.5) +
  labs(title = "Distribución Normal",
       x = "Valor de X",
       y = "Densidad de Probabilidad") +
  theme_minimal()

  1. Probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de líquido
# Parámetros de la distribución normal
mean <- 12.4
sd <- 0.1

# Calculamos la probabilidad
prob_a <- pnorm(12, mean = mean, sd = sd)

# Imprimimos el resultado
cat("La probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas es", round(prob_a, 8))
## La probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas es 3.167e-05

b)Calculamos las probabilidades

prob_b1 <- pnorm(12.1, mean = mean, sd = sd)
prob_b2 <- pnorm(12.6, mean = mean, sd = sd)

# Calculamos la proporción de latas desechadas
prop_desechadas <- prob_b1 + (1 - prob_b2)

# Imprimimos el resultado
cat("La proporción de latas desechadas es", round(prop_desechadas, 4))
## La proporción de latas desechadas es 0.0241

Solución del ejercicio PAG 243 #13

## Cálculo de Puntajes de aprobacion examen


# Parámetros de la distribución normal
mean <- 76
sd <- 15

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.5, mean = mean, sd = sd)

# Gráfica de la distribución normal
x_vals <- seq(mean - 4*sd, mean + 4*sd, length.out = 100)
y_vals <- dnorm(x_vals, mean = mean, sd = sd)
df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)
ggplot(df, aes(x, y)) +
  geom_line() +
  geom_vline(xintercept = x, color = "red", linetype = "dashed") +
  geom_area(data = subset(df, 56 >= x), aes(fill = "Pierden."), alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df, x >= 92), aes(fill = "Sacan A."), alpha = 0.5) +
  labs(title = "Distribución Normal",
       x = "Valor de X",
       y = "Densidad de Probabilidad") +
  theme_minimal()

  1. Puntaje minimo para obtener A
# Parámetros de la distribución normal
mean <- 76
sd <- 15

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.85, mean = mean, sd = sd)

# Imprimimos el resultado
cat("Puntaje minimo para obtener A", round(x, 4))
## Puntaje minimo para obtener A 91.5465
  1. Puntaje minimo para aprobar
# Parámetros de la distribución normal
mean <- 76
sd <- 15

# Calculamos la probabilidad
x <- qnorm(0.1, mean = mean, sd = sd)

# Imprimimos el resultado
cat("Puntaje minimo para aprobar", round(x, 4))
## Puntaje minimo para aprobar 56.7767