1 Contraste de hipótesis

Se quiere realizar un estudio para investigar el tiempo de respuesta dedos tratamientos para enfermedades cognitivas. Como investigadores,designamos dos grupos: Uno recibirá un tratamiento Y y otro eltratamiento Z, contamos con grupos de 10 pacientes.

Sabemos que:

El tratamiento Y:

- Tiempo de respuesta en segundos:25,27,29,31,30,26,24,32,33,38

El tratamiento Z:

- Tiempo de respuesta en segundos:31,33,32,35,34,29,38,35,37,30

- Con un \(\alpha\) del 0.05

Ahora queremos saber si hay una diferencia significativa en el tiempo derespuesta de los tratamientos.

Definimos nuestras hipotesis:

No hay diferencia en los tiempos de respuesta de los tratamientos:

\(H_0: \mu_Y = \mu_Z\)

Hay una diferencia significativa en los tiempos de respuesta:

\(H_1: \mu_Y \neq \mu_Z\)

Ahora realizaremos una estadística de prueba para ambas muestras:

Ordenamos nuestros datos de respuesta y calculamos la suma de los rangos

respuestaY <- c(25,27,29,31,30,26,24,32,33,38) 
respuestaY <- sort(respuestaY) 
respuestaY

##  [1] 24 25 26 27 29 30 31 32 33 38

respuestaZ<-c(31,33,32,35,34,29,38,35,37,30) 
respuestaZ<-sort(respuestaZ)
respuestaZ

##  [1] 29 30 31 32 33 34 35 35 37 38

Calculamos ahora \(k_Y\) y \(k_Z\)

\[k_Y =0.5+1+1.5+2+2.5+9.5=17\]

\[k_Z=4.5+5+5.5+6+6.5+9+9+9+9+9.5=73\]

Comprobamos que \(k_Y +k_Z=n_1*n_2\) :

\[17+73=10*10\]

Calculamos \(U_S\)

\[U_S=max\{k1, k2\}\]

\[U_S=max\{17,73\}\]

\[U_S=73\]

Finalmente calculamos \(U_\alpha/2\) y comparamos con el \(U_S\) calculado:

qwilcox(1-0,025,10,10)

## [1] 250

Como \[U_S \leq U\alpha/_2 \] entonces no podemos descartar que los tiempos de respuesta de ambos tratamientos son iguales ya que hay una diferencia significativa en los tiempos de respuesta

wilcox.test(respuestaY,respuestaZ)

## Warning in wilcox.test.default(respuestaY, respuestaZ): cannot compute exact
## p-value with ties

## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  respuestaY and respuestaZ
## W = 22, p-value = 0.03713
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

2 ANOVA

Tras la caida de bombas atómicas, los moradores de un refugio subterraneo están investigando como afecto la radiación a sus cultivos de maíz. Por ello, han elegido aleatoriamente 4 secciones de su refugio que, a su vez, han dividido en 3 áreas de cultivo. En cada una de estas áreas han sembrado 3 tipos de maíz alterado por la radiación. Tras 3 meses, se registra el rendimiento del maíz en cada una de las secciones.

El objetivo será determinar si hay diferencias significativas en el crecimiento de maíz entre las variedades mutadas utilizando el análisis de varianza (ANOVA), teniendo en cuenta un nivel de significancia de 5%.

Se proporcionan los siguientes datos:

Maíz_1: 12kg, 10kg, 19kg, 13kg

Maíz_2: 16kg, 7kg, 17kg, 19kg

Maíz_3: 8kg, 11kg, 9kg, 12kg

¿Qué hipótesis deben cumplirse para poder utilizar ANOVA?

Primero debemos comprobar ue se cumpla que:

- Las poblaciones de donde proceden las muestras son normales. Esto lo comprobaremos aplicando el comando ‘shapiro.test()’.

Maíz_1 <- c(12, 10, 19, 13)
Maíz_2 <- c(16, 7, 17, 19)
Maíz_3 <- c(8, 11, 9, 12)

shapiro.test(Maíz_1)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Maíz_1
## W = 0.89654, p-value = 0.4141

shapiro.test(Maíz_2)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Maíz_2
## W = 0.83525, p-value = 0.1819

shapiro.test(Maíz_3)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Maíz_3
## W = 0.94971, p-value = 0.7143

Vemos que todos los p-valor obtenidos de la prueba de Shapiro-Wilk son mayores al nivel de significancia por lo que podemos asegurar que tienen una distribución normal.

- Comprobar la homocedasticidad. Esto lo haremos mediante el test de Bartlett cuyo comando es ‘bartlett.test()’. Para facilitarnos la tarea crearemos un data frame con los datos del maíz obtenidos.

datosMaíz <- data.frame(Maíz_1 = Maíz_1, Maíz_2 = Maíz_2, Maíz_3 = Maíz_3)

bartlett.test(datosMaíz)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  datosMaíz
## Bartlett's K-squared = 2.547, df = 2, p-value = 0.2799

Igual que en el caso anterior, el p-valor es mayor al nivel de significancia, por lo que podemos asegurar que cumple la homocedasticidad.

¿Cuales son las hipotesis nula y alternativa que plantea el enunciado?

La hipoteis nula implica que la media de las poblaciones de todas las variedades de maíz son iguales, es decir, que no hay una diferencia significativa en el crecimiento de los distintos maices mutados.

Formalizada nos queda tal que asi: H₀: \(\mu\) ₁= \(\mu\) ₂= \(\mu\) ₃= … = \(\mu\) _k

La hipotesis alternativa conlleva lo contrario: al menos una de las medias de las poblaciones es diferente significativamente. Por lo que, existe al menos una variedad de maíz con un rendimiento distinto.

Formalizada nos queda tal que asi:

H₁: Al menos una \(\mu\) _ies diferente

Calcula el valor del estadistico test.

Para obtener este valor-F utilizaremos los comandos aov y summary con los datos del maíz.Para evitar errores de formato ampliaremos los datos con el comando ‘gather’ de la biblioteca tidyr. Asi ampliaremos el rango de datos_maiz.

datos_maiz <- data.frame(Maíz_1, Maíz_2, Maíz_3)
library(tidyr)
datos_maiz <- gather(datos_maiz, key = "Tipo_Maiz", value = "Rendimiento")
modelo_anova <- aov(Rendimiento ~ Tipo_Maiz, data = datos_maiz)
summary(modelo_anova)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Tipo_Maiz    2   48.5   24.25   1.562  0.262
## Residuals    9  139.8   15.53

Aplicamos el comando aov y posteriormente al resultado el comando summary. De modo que obtenemos entre otros el valor-F que es 1.562. Sabiendo que un valor de F cercano a 1, podemos concluir que no hay diferencias significativas entre las medias de los grupos de maíz.

Calcula el p-valor.

De los comandos que se usaron para obtener el estadistico test podemos tambien extraer el p-valor. Este corresponde al valor que encontramos en la columna Pr(>F) y es en este caso: 0.262

¿Qué conclusiones obtenemos de los apartados anteriores con respecto a la hipotesis nula?

Con los resultados de los apartados anteriores, podemos afirmar que no hay suficiente evidencia estadistica para rechazar la hipótesis nula y que las diferencias observadas se pueden deben al azar.

3 Regresión Lineal

Tenemos el balance de reseñas de los primeros 30 días del videojuego Helldivers 2. Según estos datos, y asumiendo que siguen un modelo de regresión lineal:

library(ggplot2)
resenas <- c(6846,7933,8510,3681,6381,4790,3915,6438,13824,15325,15348,11355,8968,12017,14313,10852,3376)
dias <- c(1,3,5,7,9,10,12,13,15,16,18,20,21,23,25,27,29)
dat1 <- data.frame(resenas,dias)

- Dibuja la gráfica de dispersión de los datos

plot(dias,resenas)

- Calcula el coeficiente de interceptación

lm(resenas~dias)

## 
## Call:
## lm(formula = resenas ~ dias)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)         dias  
##      6390.6        178.1

- Calcula la ecuación de la recta de regresión

Este apartado se realiza interpretando los datos del anterios, ya que nos indica, además del coeficiente, la pendiente de la recta, quedando la fórmula como Y=178.3X+6390.6.

lm(resenas~dias)

## 
## Call:
## lm(formula = resenas ~ dias)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)         dias  
##      6390.6        178.1

-Dibuja la recta de regresión

ggplot(dat1,aes(x=dias,y=resenas)) + geom_point(shape=1) + 
#se usa para mostrar los datos como puntos
geom_smooth(method=lm)

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

#se usa para mostrar la línea (con un 95% de confianza por defecto) de forma suavizada

Trabajo 3

David Minaya Escribano || Manuel Alejandro Torres Moreno || Rubén García Segura

11/0/2024

1 Contraste de hipótesis

2 ANOVA

3 Regresión Lineal