Trabajos 1, 2 y 3 Grupo O
Esther Almendros Saelices, Jesús Fernando Barrajón López y Esteban Caballero Morcillo
12 de Abril de 2024
Probabilidad
\(\qquad\) Un equipo de fútbol, ha hecho un estudio de sus jugadores. El 30% de sus jugadores no han obtenido ninguna tarjeta esta temporada, mientras que el 50% ha recibido tarjetas amarillas y el 20% restante, tarjetas rojas. De los que no han recibido tarjetas, el 95% asiste a los entrenamientos, de los que tienen tarjeta amarilla, el 60% no asiste a los entrenamientos, y de los que han sido sancionados con tarjeta roja, el 6% asiste a los entrenamientos.
Probabilidad de que no haya sido sancionado y no asista a los entrenamientos.
\(P(N \cap Ã)= P(N)*P(Ã) = 0.3*0.05 = 0.015\)
Probabilidad de que haya obtenido tarjeta amarilla y no asista a los entrenamientos o con tarjeta roja y si asista a los entrenamientos
\(P(AM \cap Ã) \cup P(R \cap A) = [P(AM)*P(Ã)] + [P(R)*P(A)] = (0.5*0.6) + (0.2*0.06) = 0.312\)
Probabilidad de que no asista a los entrenamientos.
\(P(Ã) = [P(N)*P(Ã)] + [P(AM)*P(Ã)] + [P(R)*P(Ã)] = (0.3*0.05) + (0.5*0.6) + (0.2*0.94) = 0.503\)
Si asiste a los entrenamientos, la probabilidad de que haya sido sancionado con tarjeta amarilla.
Primero calculamos \(P(A)\):
\(P(A) = 1-P(Ã) = 1-0.503 = 0.497\)
\(P(AM/A) = \frac{P(AM \cap A)}{P(A)} = \frac{P(AM)*P(A)}{P(A)} = \frac{0.5*0.4}{0.497} = 0.402\)
Variable aleatoria
\(\qquad\) En una fábrica de
bombillas, se eligen al azar paquetes de cinco bombillas para realizar
una inspección de calidad. La variable aleatoria X representa el número
de bombillas que funcionan correctamente en un paquete.
Conociendo
las siguientes probabilidades asociadas:
P(X=0)=0.05
P(X=1)=0.05
P(X=2)=0.1
P(X=3)=0.1
P(X=4)=0.3
P(X=5)=0.4
Halla la media del número de bombillas que funcionan correctamente.
\(μ = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) + 4*P(X=4) + 4*P(X=4) + 4*P(X=4) =\)
\((0*0,0.5) + (1*0,05) + (2*0,1) + (3*0,1) + (4*0,3) + (5*0,4) = 3,75\)
Halla la probabilidad de que haya al menos una bombilla funcional.
\(P(X>=1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.05 = 0.95\)
Sabiendo que al menos una de las bombillas esta defectuosa, halla la probabilidad de que más de dos funcionen correctamente.
\(P(X>2/X<5)=\frac{P(2<X<5)}{P(X<5)}=\frac{P(X=3)+P(X=4)}{1- P(X=5)}=\frac{0.1 + 0.3}{1 - 0.4}= \frac{0.4}{0.6}=0.66666\)
Halla la varianza y desviación típica de X.
\(σ^2 =(0^2*0,05 + 1^2*0,05 + 2^2*0,1 + 3^2*0,1 + 4^2*0,3 + 5^2*0,4) - (3,75)^2= 2,0875\)
\(σ=√σ^2=√2,0875= 1,4448\)
Distribución binomial
\(\qquad\) En un estudio realizado por la Universidad de Michigan, se comprobó que aproximadamente, solo el 2% de la población tiene el pelo rubio de manera natural, y solo el 1% pelirrojo. Conociendo estos datos, un grupo de estudiantes quiere saber cual será la probabilidad de que se den los siguientes sucesos si miramos el color del pelo de 8 personas seleccionadas de manera aleatoria entre los estudiantes de su universidad:
(Nota: El color de pelo de las personas escogidas en la muestra es independiente en cada uno de ellos.)
Probabilidad de que haya exactamente una persona pelirroja.
\(P(X=1) = dbinom(1,8,0.01) = 0.07456523\)
Probabilidad de que, como mucho, haya una persona pelirroja.
\(P(X<=1) = P(X=0) + P(X=1) = pbinom(1,8,0.01) = 0.9973099\)
Probabilidad de que al menos una de las personas sea rubia natural.
\(P(X>=1) = P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=8) = 1 - P(X=0) = 1 - dbinom(0,8,0.02) = 1 - 0.850763 = 0.149237\)
Probabilidad de que haya a lo sumo dos personas rubias.
\(P(X<=2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = pbinom(2,8,0.02) = 0.9995845\)
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TEMA 2
\(\qquad\) Una empresa de mensajería y paquetería dispone de una máquina automatizada que se encarga de clasificar los paquetes según la dirección del destinatario. El número de paquetes que clasifica dicha máquina sigue una distribución de Poisson, con una media de 850 paquetes cada hora.
¿Cuál es la probabilidad de que la máquina clasifique más de 790 paquetes por hora?
\(P(X>790)=1-ppois(790,850)=0.9802806\)
Cuantil del 80 % del número de paquetes clasificados en una hora.
\(P(X<P_{80}) = qpois(0.8,850) = 874\)
Se han tomado 600 paquetes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea menor que 848?
\(P(\bar{X}<848)= pnorm(848,850,(sqrt(850)/sqrt(600)))=0.04644597\)
Si sabemos que en una hora la máquina ha clasificado al menos 820 paquetes, ¿cuál es la probabilidad de que clasifique 860?
\(P(X=860/X>=820)=\frac{P(X>=820) \cup P(X=860)}{(X>=820)}=\frac{P(X=860)}{1- P(X>=820)}=\frac{dpois(860,850)}{1 - ppois(819,850)}\)
\(=(dpois(860,850))/(1 - ppois(819,850))=0.01504988\)
TEMA 5: Contraste de hipótesis
\(\qquad\) En un canal de experimentos, se hicieron la siguiente pregunta : ¿Puede una persona promedio aguantar un minuto bajo el agua? Para averiguarlo, llamaron a 50 personas al azar y se les pidió que se sumergieran en agua para medir cuanto tiempo resistían. Los resultados mostraron que, en promedio, las personas lograron aguantar durante 52 segundos, con una desviación típica muestral de 15 segundos.
¿Cuál es la hipótesis nula y la hipótesis alternativa en este estudio?
\(H_0:\mu\ = 60\)
\(H1 : \mu\ \neq 60\)
Calcula el p-valor del contraste anterior.
\(\quad\)Para calcular el p-valor, hallaremos primero el valor estadístico de contraste \(Z_s\):
\(Z_s = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt n}= \frac{60-52}{15/\sqrt{50}} = -3.771236\)
\(\quad\)Tras calcular el \(Z_s\) , podemos hallar:
\(P valor = 2\times( 1-pnorm(abs(Z_s))) = 2*( 1-pnorm(abs(-3.771236)))=0.0001624408\)
Conociendo los datos anterior ¿Podemos afirmar la hipótesis?
Como \(P valor < \alpha\) (Sabiendo que \(\alpha\) por defecto es 0.05)
Podemos afirmar que existe evidencia estadística en contra de \(H_0\)
¿Crees que existe evidencia estadística de que la varianza de la población es mayor de 225?
\(H_0:\sigma_0^2\le225\)
\(H_1:\sigma_0^2>225\)
\(\qquad\)En este caso, necesitamos
calcular:
\(\quad\)\(X_s=\frac{\left(n-1\right)s^2}{\sigma_0^2} =
\frac{\left(50-1\right){15}^2}{225}= 49\)
\(\qquad\)Después
hallaremos:
\(\quad\)\(P valor
= 1 -pchisq(X_s,n-1)= 1 -pchisq(49,49)=
0.4731283\)
\(\qquad\)Como el
\(Pvalor\) obtenido es mayor a \(\alpha\), no existe evidencia estadística
que rechace \(H_0\).
\(\quad\)Y por tanto no podemos afirmar que
la varianza es mayor de 225.
TEMA 5: Contraste de hipótesis
\(\qquad\)En un hospital se ha llevado a cabo un estudio sobre el desarrollo de los bebes prematuros. Para ello, se ha registrado el aumento de peso de 65 bebes prematuros en los 3 primeros meses de vida y el de 65 bebes que han completado su gestación completa. Las medias obtenidas en cada una de las muestras fueron: \(μ_1\)=2.8 kg en lo bebés prematuros, y \(μ_2\)=3.9 kg en los bebes normales. Las desviaciones típicas de cada una de estas muestras fueron de 0,3 kg y 0,5 kg para las respectivas muestras.
\(\qquad\) (NOTA: Para todos los apartados tomaremos \(α=0.05\) como nivel de significación por defecto)
Plantea un contraste para saber si la media del aumento de peso de los bebes prematuros es de 3 kilogramos.
\(H_0: μ_0=3 kg\)
\(H_1: μ_0≠3 kg\)
Indica el p-valor del contraste anterior y razona si esa puede ser la media de la muestra.
\(\quad\) Primero, como la muestra es mayor que 30, calculamos \(Z_s\):
\(Z_s=\frac{μ_1-μ_0}{s_1/\sqrt{n_1}}= \frac{2.8-3}{0.3/\sqrt{65}} = -5.374838\)
\(\quad\) Una vez tenemos \(Z_s\) podemos calcular el P-valor:
\(P valor=2\times(1-pnorm(abs(Z_s))= 2\times(1-pnorm(abs(-5.374838))=2\times(1-pnorm(5.374838)) = 0.00000007665\)
\(\quad\) Como el P-valor obtenido es 0.00000007665, que es inferior a \(α=0.05\), rechazamos \(H_0\) y podemos afirmar que existe evidencia estadística de que la media del aumento de peso de los bebes prematuros no es de 3kg.
Los datos obtenidos, ¿nos permiten saber si las medias del aumento de peso de los bebes prematuros y de los bebes normales es la misma?
\(\quad\) Lo primero de todo es plantear el contraste para saber si la medias son iguales:
\(H_0: μ_1 = μ_2\)
\(H_1: μ_1 \ne μ_2\)
\(\quad\) Como ambas muestras son consideradas grandes ya que son mayores que 30, siguen una distribución normal, asi que lo primero que haremos sera calcular \(Z_s\):
\(Z_s=\frac{μ_1-μ_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} +\frac{s_2^2}{n_2}}}= \frac{2.8-3.9}{\sqrt{\frac{0.3^2}{65} +\frac{0.5^2}{65}}}= -15.20932\)
\(\quad\) Una vez tenemos \(Z_s\) podemos calcular el P-valor:
\(P valor=2\times(1-pnorm(abs(Z_s)) = 2\times(1-pnorm(abs(-15.20932)) = 2\times(1-pnorm(15.20932)) \approx 0\)
\(\quad\) Como el P-valor obtenido es 0 aproximadamente, que es inferior a \(α=0.05\), rechazamos \(H_0\), lo que nos lleva a la conclusión de que existe evidencia estadística de que las medias no son iguales.
¿Podríamos saber si la media de aumento de peso de los bebes prematuros es menor que la de los bebes normales?
\(\quad\) Vamos a plantear el contraste para saber si la media del aumento de peso de los bebes prematuros es menor que la de los bebes normales:
\(H_0: μ_1 \ge μ_2\)
\(H_1: μ_1 < μ_2\)
\(\quad\) Como tenemos los mismos datos que en el apartado anterior, ya podemos adelantar que nuestro \(Z_s\) es el mismo que antes, es decir:
\(Z_s= -15.20932\)
\(\quad\) Sin embargo, ahora estamos mirando si una media es menor que la otra, por lo tanto, la distribucion ahora es unilateral y, en consecuencia, el P-valor se calcula:
\(Pvalor =pnorm(Z_s) =pnorm(-15.20932) \approx 1.533474e-52 \approx 0\)
\(\quad\) Como el P-valor obtenido es aproximadamente 0, que es menor que \(α=0.05\), podemos afirmar que existe evidencia estadística que rechaza \(H_0\) y por lo tanto, que la media de la primera muestra sea menor que la segunda no es debido al azar.
\(\quad\) Además, sabemos que la región crítica son todos los valores a la izquierda de:
\(qnorm(α)=qnorm(0.05)= -1.644854\)
\(\quad\) Por lo que, sabiendo que \(Z_s\) es menor, se encuentra en la región crítica, lo que nos permite volver a comprobar la validez de nuestra afirmación.
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Ejercicio Tema 5. Contrastes de Hipótesis
\(\qquad\)Una empresa de carpintería
prueba dos taladros de marcas distintas para probar su eficiencia
basándose en el tiempo que tardan en atornillar un tornillo. Quieren
hacer un pedido del que más convenga. Se sabe que la desviación estándar
del tiempo en atornillar un tornillo es de 0.2 en ambos taladros. Para
ello han usado 10 tornillos del mismo tipo para cada uno y taladran
sobre la misma madera. Los datos, que vienen de poblaciones normales,
son los siguientes:
\(\qquad\)Taladro 1: c(1.2, 1.15, 1.09, 1.3,
1.18, 1.35, 1.1, 1.05, 1.24, 1.34)
\(\qquad\)Taladro 2: c(1.5, 1.15, 1.2, 1.11,
1.32, 1.7, 1.42, 1.3, 1.15, 1.08)
Hallar un intervalo de confianza al 97% para la diferencia de las medias de eficiencia de los taladros.
\(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}} ± z_{α/2}* \sqrt{ \frac{σ_{1}}{n_{1}} + \frac{σ_{2}}{n_{2}}}\)
\(1.2-1.293 ± 2.17 * \sqrt{ \frac{0.2}{10} + \frac{0.2}{10}}= [-0.341,0.527]\)
¿Podemos afirmar que los dos taladros tienen la misma eficiencia media?
\(z_{s} = \frac{(\bar{x_{1}} - \bar{x_{2}})-d_0}{\sqrt{ \frac{σ_{1}^2}{n_{1}} + \frac{σ_{2}^2}{n_{2}}}}\)
\(z_{s} = \frac{(1.2-1.293) - 0}{\sqrt{\frac{0.2^2}{10} + \frac{0.2^2}{10}}}= -1.0397\)
\(z_{s} < z_{α/2} → -1.0397 < 1.9599\)
\(\quad\)Rechazamos la hipótesis nula → Existe evidencia estadística para rechazar que ambos taladros son igual de eficientes.
Supongamos que no sabemos la normalidad de los datos (o asegurarnos de que lo que nos dice el enunciado es correcto)
\(shapiro.test(taladro1) → p-valor = 0.598 → p-valor > α\)
\(shapiro.test(taladro2) → p-valor = 0.2667 → p-valor > α\)
\(\quad\)Diremos que aceptamos la hipótesis nula de este test, es decir, las poblaciones efectivamente son normales.
Supongamos que las poblaciones no son normales. Calcular el p-valor de estadistico test para la diferencia de medias y la conslusión según el resultado obtenido.
\(wilcox.test(taladro1,taladro2,alternative="less", paired = FALSE) → p-valor = 0.1918 → p-valor > α\)
\(\quad\)Diremos aceptamos las hipótesis nula de este test, es decir, no existe evidencia estadística de que las medias sean distintas.
Anova
\(\qquad\)Una empresa tecnológica ha desarrollado cuatro algoritmos distintos para la compresión de imágenes y busca determinar cuál es el más efectivo. Además, se sospecha que el rendimiento de cada algoritmo varía según el tipo de dispositivo utilizado (móvil, tablet, portátil). Para investigar esta hipótesis, la empresa ha llevado a cabo un estudio utilizando diversas imágenes, cuyos resultados se presentan en la siguiente tabla.
Estos datos obtenidos, representan el nivel de calidad de compresión de imágenes (mayor puntaje indica mejor calidad). Y se supone que siguen distribuciones normales.
| Algoritmo | Dispositivo | ||
|---|---|---|---|
| Móvil | Tablet | Portátil | |
| A | 84 | 85 | 87 |
| B | 83 | 84 | 88 |
| C | 82 | 85 | 86 |
| D | 84 | 86 | 89 |
- Representa los diagramas de cajas comparativos y analízalos.
datos = c(84,85,87,83,84,88,82,85,86,84,86,89)
dispositivo = factor((rep(c("Móvil","Tablet","Portátil"),4)))
algoritmo = factor(c(rep("A",3),rep("B",3),rep("C",3),rep("D",3)))Diagrama de cajas:
boxplot(datos~algoritmo) 
boxplot(datos~dispositivo) 
- Calcula la tabla ANOVA, conociendo los siguientes datos:
- Suma de cuadrados debida al azar = 3.5
- Cuadrados medios dentro de los bloques = 18.250
- Valor del estadístico test entre grupos = 3.571
TABLA ANOVA POR BLOQUES
| Variación | Grados de libertad | Suma de cuadrados | Cuadrados medios | F |
|---|---|---|---|---|
| Entre grupos/ tratamientos | 3 | 6.25 | 2.083 | 3.571 |
| Dentro de los bloques | 2 | 36.5 | 18.25 | 31.286 |
| Debida al azar | 6 | 3.5 | 0.583 | |
| Total | 11 | 46.25 |
- Plantea si influye en la calidad de compresión el algoritmo utilizado.
\(\quad H_0 :\) La media de los algoritmos son iguales. \(\quad H_1 :\) No todas las medias de los algoritmos son iguales.
\(\quad\)Para contrastar la hipótesis,
necesitamos conocer el pvalor, que se puede calcular
haciendo:
pvalor = 1 - pf(F1, p-1,(p-1)(b-1))
\(\quad\)Teniendo en cuenta los datos anteriores de la tabla ANOVA calculamos:
1 - pf(3.571,3,6)## [1] 0.08642656\(\quad\)\(P valor\) = 0.0864 > \(\alpha\). \(\rightarrow\) No existe evidencia en contra de \(H_0\). Por tanto, el algoritmo utilizado no influye en la calidad de compresión y las diferencias serán debidas al azar.
- Plantea si influye en la calidad de compresión el dispositivo utilizado.
\(\quad H_0^\prime :\) La media de los dispositivos son iguales. \(\quad H_1^\prime :\) No todas las medias de los dispositivos son iguales.
\(\quad\)Al igual que el apartado anterior,
para contrastar la hipótesis necesitamos conocer el pvalor,
que se calcula haciendo:
pvalor = 1 - pf(F2, b-1,(p-1)(b-1))
\(\quad\)Teniendo en cuenta los datos anteriores de la tabla ANOVA calculamos:
1 - pf(31.286,2,6)## [1] 0.0006699051\(\quad P valor\) = 0.00067 < \(\alpha\). \(\rightarrow\) Se rechaza \(H_0^\prime\). Y por tanto, diremos que el dispositivo utilizado influye en la calidad de compresión.
- Los tres últimos apartados se pueden
comprobar a traves de r, con el siguiente
comando:
summary(aov(datos~algoritmo+dispositivo))## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## algoritmo 3 6.25 2.083 3.571 0.08641 .
## dispositivo 2 36.50 18.250 31.286 0.00067 ***
## Residuals 6 3.50 0.583
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
TEMA 7: Regresión Lineal
\(\qquad\)Un agricultor quiere conocer el consumo de combustible del viejo motor que utiliza para regar sus cultivos, para saber si debería de comprar uno nuevo o no. Este viejo motor falla mucho, y no siempre gasta exactamente lo mismo, por eso, quiere observar si esa variación de gastos es muy pronunciada. Para saberlo bien, fue anotando los litros de combustible que consumía la máquina y el tiempo que estaba en funcionamiento durante 10 días. Los datos obtenidos fueron los siguientes:
| Día 1 | Día 2 | Día 3 | Día 4 | Día 5 | Día 6 | Día 7 | Día 8 | Día 9 | Día 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Litros de combustible | 25.2 | 27.8 | 26.6 | 31.0 | 23.3 | 26.5 | 21.2 | 26.2 | 26.9 | 24.8 |
| Horas funcionando | 8.3 | 8.9 | 8.4 | 9.1 | 8.2 | 8.6 | 7.9 | 8.4 | 8.5 | 8.1 |
1. Construir una gráfica de dispersión de los datos. ¿Parece
plausible el uso de un modelo de regresión lineal simple?
\(\quad\)
Como podemos ver en la gráfica que se obtiene con los valores del
estudio, sí que se puede utilizar un modelo de regresión lineal simple
ya que existe una relación lineal entre ambas variables.
litros= y = c(25.2,27.8,26.6,31.0,23.3,26.5,21.2,26.2,26.9,24.8)
horas = x = c(8.3,8.9,8.4,9.1,8.2,8.6,7.9,8.4,8.5,8.1)
plot(litros~horas)
abline(lm(y~x))
2. En caso de que se pueda usar un modelo de regresión
lineal simple y suponiendo que cumple las condiciones necesarias para
poder hacer inferencia, halla la ecuación de la recta y el grado de
correlación.
\(\quad\) Para poder hallar la ecuación de la
recta, necesitamos conocer la pendiente y la constante. Para ello,
ejecutamos el siguiente comando:
lm(y~x)##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Coefficients:
## (Intercept) x
## -31.984 6.864
\(\quad\) Con esto, obtenemos que la
pendiente es aproximadamente \(\hat{\beta}
\approx 6.864\), y la constante es aproximadamente \(\hat{\alpha} \approx -31.984\).Con estos
datos y sabiendo que la fórmula es:
\(y= \hat{\alpha} +
\hat{\beta} \times x\)
\(\quad\) La
ecuación de nuestra recta sería:
\(y= -31.984 + 6.864
\times x\)
\(\quad\) Ahora, para poder calcular el grado
de correlación, utilizamos:
cor(x,y)## [1] 0.9398898\(\quad\)
Con esto, ya tendríamos el grado de correlación que sería
aproximadamente: \(0.9398898\)
Calcula el valor ajustado de litros consumidos cuando el motor esta 8.2 horas funcionando. Calcula también el residuo correspondiente.
\(\quad\) Para hallar el valor ajustado de los litros, utilizamos la ecuación de la recta, sustituyendo la \(x\) por su valor correspondiente:
\(\hat{y}_{8.2} = -31.984 + 6.864 \times 8.2 \approx 24.3008\)
\(\quad\) Sabiendo que en los datos reales, cuando el motor está 8.2 horas funcionando gasta 23.3 litros de combustible y el valor ajustado es aproximadamente 24.3008, podemos hallar el residuo:
\(y_{8.2} -\hat{y}_{8.2} = 23.3 - 24.3008 \approx -1.0008\)
¿Existe relación lineal en los datos? Indica el p-valor correspondiente.
\(\qquad\) (NOTA: El nivel de significación por defecto es \(\alpha = 0.05\))
\(\quad\) Para ver si existe relación lineal, primero vamos a definir un contraste con nuestra hipótesis inicial y nuestra hipótesis alternativa:
\(H_0: \hat{ρ} = 0\)
\(H_1: \hat{ρ} \ne 0\)
\(\quad\) Una vez que tenemos definido nuestro contraste, utilizaremos el siguiente comando para obtener los datos de la relación entre las horas y los litros de combustible:
summary(lm(y~x))##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.3076 -0.8890 0.3653 0.5347 1.1839
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -31.9844 7.4479 -4.294 0.00264 **
## x 6.8643 0.8817 7.785 5.31e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.9513 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8834, Adjusted R-squared: 0.8688
## F-statistic: 60.61 on 1 and 8 DF, p-value: 5.31e-05
\(\quad\) Con estos datos, si miramos los
valores obtenidos en el “F-statistic”, tenemos que el P-valor es
aproximadamente \(0.0000531\). Por lo
tanto, como el P-valor es menor que \(\alpha\), se descarta \(H_0\), lo que quiere decir que existe
evidencia estadística que demuestra la existencia de relación lineal
entre ambas variables.
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