Plantilla para los trabajos

Vídeo1: https://youtu.be/WwgGAa8u9a8.
Vídeo2: https://youtu.be/1DW321Wq9tU.
Vídeo3: https://youtu.be/4xv7vrXcouw.
Rpubs: https://rpubs.com/EstherCarrilero/1173025.

1.1 Probabilidad

Supongamos que una cafetería tiene la siguiente composición de clientes: El 60% son adultos y el 40% son niños. De los adultos el 25% son mujeres y el 75% son hombres. De los niños el 50% son niñas y el 50% son niños. Pero también sabemos que el 15% de las mujeres adultas y el 10% de los hombre adultos toman café. El 5% de las niñas y el 8% de los niños ordenan algún tipo de bebida en la cafetería. La probabilidad de que un adulto sufra un percance es del 2% mientras que de los niños es del 3%.

Suponemos: Adultos=A, Niños=N, Hombres=H, Mujeres=M, Cafe=C, Bebida=B, Accidente=Acc

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto pida otra cosa que no sea café?

Un adulto que no pida cafe: \(P(C^c / A)=\frac{P(C^c \cap A)}{P(A)}=\frac{0.5325}{0.6}=0.8875\) \(P(C^c \cap A)=P(A)-P(A \cap C)=0.6-(0.6*(0.25*0.15+0.75*0.1))=0.5325\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar de la cafetería sea una mujer que ha pedido un café y sufre un accidente?

Mujer ha pedido un café y sufre un accidente: \(P(A \cap M \cap C \cap Acc)=P(A) * P(M / A) * P(C / M) * P(Acc / A)=0.6*0.25*0.15*0.02=0.00045\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar de la cafetería sea un niño que no ha ordenado ninguna bebida y sufre un accidente?

Niño sin bebida y que sufra un accidente: \(P(Niños \cap Niño \cap B^c \cap Acc)=P(Niños)*P(Niño/Niños)*P(B^c / Niño)*P(Acc / Niños)=0.4*0.5*(1-0.08)*0.03=0.00552\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a un cliente al azar sea un hombre adulto que no sufre un accidente?

Hombre que no sufra un accidente: \(P(A \cap H/A \cap Acc^c)=P(A)*P(H / A)*P(C / HA)*P(Acc^c / A)+P(A)*P(H / A)*P(C^c / HA)*P(Acc^c / A)=0.6*0.75*0.1*(1-0.02)+0.6*0.75*(1-0.1)*(1-0.02)=0.441\)

1.2 Variable aleatoria

En una fábrica de juguetes se tiene una normativa de que aquellos juguetes destinados a niños deben tener un tamaño entre 5 y 30 centímetros. Sea X el tamaño de los juguetes. Siendo la función de densidad de la probabilidad de X la siguiente:

\(f(X)=(\frac{x^2-x}{10000})\) si \(5\leq X\leq 30\)
\(f(X)=1\) en otro caso

  1. ¿Que proporción de juguetes cumple la normativa de la fábrica?

\(P(5\leq X\leq 30)=\) \(\int_{5}^{30} \frac{x^2-x}{10000}dx=\) \(\frac{1}{10000} \int_{5}^{30} (x^2-x)dx=\) \(\frac{1}{10000} [\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{30}=\) \(\frac{1}{10000}(8550-29.17)=\) \(\frac{1}{10000}(8520.83)=0.852083\)

  1. Halla la probabilidad de que los juguetes tengan un tamaño entre 10 y 20 centímetros.

\(P(10\leq X\leq 20)=\) \(\int_{10}^{20} \frac{x^2-x}{10000}dx=\)\(\frac{1}{10000} \int_{10}^{20} (x^2-x)dx=\)\(\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{10}^{20}=\)\(\frac{1}{10000}(2466.67-283.33)=0.218334\)

  1. Calcula la función de distribución.

\[F(X)=\int_{5}^{x} \frac{t^2-t}{10000}dx=\frac{1}{10000} \int_{5}^{x}(t^2-t)dx=\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{x}=\frac{1}{10000}[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-29.16]=\frac{x^3}{30000}-\frac{x^2}{20000}-\frac{29.16}{10000}\]

\(F(x)=\frac{x^3}{30000}-\frac{x^2}{20000}-\frac{29.16}{10000}\)

  1. Calcula la proporción de juguetes con tamaño mayor a 25 centímetros.

\(P(x>25)=\)\(1-P(X<25)=1-\int_{5}^{25}\frac{x^2-x}{10000}dx=\)\(1-\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{25}=\) \(1-\frac{1}{10000}(4895.83-29.16)=1-0.48667=0.51333\)

1.3 Distribuciones de probabilidad

El tiempo medio de ensamblaje de un automóvil en una empresa determinada sigue una distribución normal, con una media de 15 horas por coche y desviación típica de 4 horas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un coche sea ensamblado entre 18 y 20 horas?¿Y de que lo sea en 7 horas?

Siendo X = “tiempo medio de ensamblaje de un coche”, tenemos que X~(15, 4)

Por lo tanto, \(P(18<X<20)=P(X<20)-P(X<18)=\)pnorm(20,15,4)-pnorm(18,15,4)=0.1209776

En el segundo caso, \(P(X=7)=0\) ya que es una distribución continua.

  1. Sabiendo que uno de esos coches se ensambla en más de 14 horas, calcula la probabilidad de que se ensamble en menos de 17 horas.

\(P(X<17/X>14)=\frac{P(14<X<17)}{P(X>14)}=\frac{P(X<17)-P(X<14)}{1-P(X\leq14)}=\)(pnorm(17,15,4)-pnorm(14,15,4))/(1-pnorm(14,15,4))=0.4846596

  1. Calcula el percentil 40.

Para el percentil 40 estamos buscando un valor \(t\) tal que \(P(X\leq t)=0.40\)

Por lo tanto, \(t=\)qnorm(0.40,15,4)=13.9866116

  1. Proporciona un intervalo centrado en la media que contenga un 80% de probabilidad.

Tenemos que la media de nuestra distribución es 15, por lo tanto buscamos un intervalo tal que \(P(15-k\leq X\leq 15+k)=0.8\)

Esa expresión es equivalente a \(P(X\leq15+k)-P(X\leq15-k)\), y sabemos que \(P(X\leq15-k)=P(X\ge15+k)=1-P(X\leq15+k)\), así que sustituyendo: \(P(X\leq15+k)-P(X\leq15-k)=P(X\leq15+k)-1+P(X\leq15+k)=2*P(X\leq15+k)-1\)

\(2*P(X\leq15+k)-1=0.8\)

\(P(X\leq15+k)=\frac{0.8+1}{2}=0.9\)

Igual que hemos hecho en el apartado anterior, tenemos que \(15+k=\)qnorm(0.9,15,4) = 20.1262063, por lo que \(k\) = 20.1262063 - 15 = 5.1262063

Para sacar nuestro intervalo solo tendremos que sumarle y restarle a la media el valor de \(k\): intervalo = (9.8737937, 20.1262063)

´

2.1 Distribución de probabilidad

Tenemos un tiempo de espera en una cola de supermercado sigue una distribución exponencial con una tasa media de 5 minutos por persona.

  1. Calcula la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a 7 minutos, pero menor a 11.

Tenemos de tiempo medio por persona en el supermercado 5 minutos, media = 5.

Por lo tanto y sabiendo que es de distribución exponencial, lambda =1/5. \(P(7<X<11)=P(X<11)-P(X<7)=\)pexp(11,1/5)-pexp(7,1/5)=0.1357938

  1. Calcula el percentil 80 del tiempo de espera.

Sabiendo que lambda sigue siendo 1/5 podemos decir: \(P(X<t)=0.8\) y \(t=\)qexp(0.8,1/5)=8.04719

  1. Ahora supongamos que el tiempo de espera es menor de 3 minutos por persona. Halla la probabilidad de que sea menor a 2 minutos por persona.

Probabilidad menor a 2 sabiendo que la tasa media es menor a 3. \(P(X<2 / X<3)=\frac{P(X<3 \ y\ X<2)}{P(X<3)}=\frac{P(X<2)}{P(X<3)}\)pexp(2,1/5)/pexp(3,1/5)=0.7306925

  1. Cuál es la probabilidad de que sea el tiempo mayor a 12.

Para \(P(X>12)={1-P(X<12)}=\)1-pexp(12,1/5)=0.09071795

2.2 Contraste de hipótesis

En una empresa de estufas y calderas, se tienen dos tipos de pellets (se utilizan de combustible): pellet de clase A1 y pellet de clase A2. Se desea saber cuál de los dos tipos es más eficiente, es decir, con cual duran más tiempo las estufas encendidas. Se sabe que la desviación poblacional es de 2 minutos sin importar el tipo de pellet utilizado y también que siguen distribuciones normales. Para ello se han tomado 8 mediciones en la misma estufa y con la misma cantidad de pellets pero con distinto tipo, los tiempos (en minutos) de cada una han sido:

Pellets de clase A1:{17,35,20,46,13,28,51,43}

Pellets de clase A2:{12,42,26,40,16,30,45,55}

Los datos por lo tanto son:
\(\bar{x_1}=31.625\)
\(\bar{x_2}=33.25\)
\(\sigma_1=\sigma_2=2\)
\(\alpha = 1-0.9 = 0.1\)
\(n1=n2=8\)
\(s_1=14.30\)
\(s_2=14.86\)

  1. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de tiempo entre un tipo y otro

El intervalo de confianza viene dado por: \(((\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})- Z_{\alpha /2}*\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}},(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})+ Z_{\alpha /2}*\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}})\) \[P(Z < Z_{\alpha/2})=1-\frac{0.1}{2}=0.95\] \[Z_{\alpha /2}=qnorm(1-\frac{0.1}{2})=1.644854\] \[31.625-33.25- 1.644854 * \sqrt{\frac{2^2}{8}+\frac{2^2}{8}})=-3.27\] \[31.625-33.25+ 1.644854 * \sqrt{\frac{2^2}{8}+\frac{2^2}{8}})=0.0198\] Intervalo de confianza = \((-3.27,0.0198)\)

  1. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de tiempo entre un tipo y otro. Suponiendo que las varianzas son desconocidas e iguales.

El intervalo de confianza viene dado por: \[(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}- t_{\alpha /2}*S_p*\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}+ t_{\alpha /2}*S_p*\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})\] \[S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{(8-1)*(14.30)^2+(8-1)*(14.86)^2}{8+8-2}}=\sqrt{212.67}=14.58\] \[t_\alpha/2=qt(1-\frac{0.1}{2},14)=1.76131\] \[(31.625-33.25)-1.76131*14.58*\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=-14.46\] \[(31.625-33.25)+1.76131*14.58*\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=11.21\] Intervalo de confianza = \((-14.46,11.21)\)

  1. Si no supiéramos la desviación estándar pero sí que es igual en cualquier caso, ¿existiría alguna evidencia que indique que el pellet de clase A2 ofrece un mayor tiempo de combustión que el pellet de clase A1?

El contraste de hipótesis que planteamos es: \[H_0:\mu_1 = \mu_2\] \[H_1:\mu_1<\mu_2\] Se trata de un contraste unilateral y en este caso se cumple direccionalidad porque \(\bar{x_1}=31.625<\bar{x_2}=33.25\). Como se cumple, se hace el contraste completo.

\[S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)*s_1^2+(n_2-1)*s_2^2}{n1+n2-2}}=\sqrt{\frac{(8-1)*(14.30)^2+(8-1)*(14.86)^2}{14}}=\sqrt{212.65}=14.58\] \[t_s=\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})}{S_p\sqrt{\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}}}=\frac{31.625-33.25}{14.58*\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}}=-0.223\] \[t_\alpha=qt(1-0.1,14)=1.35\] Dado que \(t_s=-0.22366 ≯t_\alpha=1.34503\). Por lo tanto, no rechazamos la hipótesis nula.

  1. Contrastar la hipótesis \(H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\) frente a \(H_{1}:\mu_{1}≠\mu_{2}\).

El contraste de hipótesis que se plantea es: \[H_0:\mu_1 = \mu_2\] \[H_1:\mu_1 ≠ \mu_2\] En este caso, \(\alpha = 0.1\) y el estadístico de contraste es: \[Z_s=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}=\frac{31.625-33.25}{\sqrt{\frac{2^2}{8}+\frac{2^2}{8}}}=-1.625\] Se puede resolver de dos maneras:
- Estadístico de contraste: \[Z_\alpha /2 = 1.644854\] No se cumple que \(Z_s<-Z_{\alpha/2}\), por lo que no existe evidencia estadística en contra de \(H_0\).
- P-valor:\[P(Z \ge Z_s)+P(Z ≤ Z_s)=2*(1-P(Z<-1.625))=2*(1-pnorm(1.625))=0.1041626\] Como P-valor > \(\alpha\) no existe evidencia estadistica en contra de \(H_0\), lo que significa que las diferencias no son azar.

2.3 Contraste de hipótesis

Se está estudiando el tiempo que dura la batería de dos móviles distintos, m1 y m2. Para ello, se toman muestras independientes del tiempo que cada modelo de móvil tarda en gastar la batería, obteniendo una desviación típica de 3 horas y una media de 20 horas al tomar 10 muestras de m1, y una desviación de 1 hora y media de 24 horas al tomar otras 10 muestras de m2. Suponiendo ambas poblaciones normales:

  1. Proporciona un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias suponiendo que las varianzas poblacionales son distintas. ¿Son las medias significativamente diferentes entre sí? Si el intervalo fuera al 97%, ¿seguiría pasando lo mismo?

Tenemos que: \(\bar{x_1} = 20\), \(n_1 = 10\), \(s_1 = 3\), \(\bar{x_2} = 24\), \(n_2 = 10\), \(s_2 = 1\), \(\alpha = 0.05\)

Como sabemos que las varianzas son distintas y además desconocidas, nuestro intervalo de confianza será: \[((\bar{x_1}-\bar{x_2})-t_{\alpha/2;v}*\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}},(\bar{x_1}-\bar{x_2})+t_{\alpha/2;v}*\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}})\]
donde \[v = \frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}\]

Sustituyendo los valores dichos anteriormente obtenemos que v = 10.9756098 \(\approx 10\)

Por lo tanto, nuestro intervalo quedaría como: ((x_1-x_2)-qt(1-alpha/2, v)*sqrt(((s_1^2)/n_1)+((s_2^2)/n_2)), (x_1-x_2)+qt(1-alpha/2, v)*sqrt(((s_1^2)/n_1)+((s_2^2)/n_2))) = \((-6.228139, -1.771861)\)

Como en ese intervalo de confianza no está incluido el 0, podemos decir que las medias son significativamente diferentes entre sí. Pasaría lo mismo si el intervalo fuera al 97%, ya que esto solo cerraría más el intervalo.

  1. Se desea saber si hay evidencia suficiente para afirmar que la variabilidad en los tiempos de duración de uno de los móviles es significativamente diferente a la del otro.
    El contraste de hipótesis para comprobarlo sería: \[H_0:\sigma_1 = \sigma_2\] \[H_1:\sigma_1 ≠ \sigma_2\]

Por lo que calculamos el estadístico test: fs \(=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\) (s_1^2)/(s_2^2) = 9

Una vez tenemos el estadístico test calculamos el p-valor: p-valor \(=\) 2*(1-pf(fs,n_1-1,n_2-1))\(= 0.003110428\)

Como p-valor<\(\alpha = 0.05\), entonces rechazamos la hipótesis nula, es decir, existe evidencia estadística en contra de que las varianzas sean iguales, por lo que podemos afirmar en un 95% que las varianzas van a ser distintas.

  1. Si queremos calcular un intervalo de confianza al 95% para la media de la población de m2 con un ancho menor de 0.5 y una desviación típica poblacional de 2 horas, ¿qué tamaño de la muestra se debería escoger?
    Tenemos que \(\sigma = 2\) y \(\alpha=0.05\)

El intervalo de confianza sería: \((\bar{x}-z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

Como debe tener como ancho menos de 0.5, entonces: \[2*z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0.5\] \[z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0.25\] \[\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{0.25}{z_{\alpha/2}*\sigma}\] \[\frac{z_{\alpha/2}*\sigma}{0.25}<\sqrt{n}\] \[n>(\frac{z_{\alpha/2}*\sigma}{0.25})^2\]

Por lo que al final tenemos que \(n\geq\)((qnorm(1-alpha/2)*sigma)/0.25)^2 \(= 245.8534 \approx 246\)

Así que necesitaremos una muestra de al menos 246 tiempos para poder tener ese intervalo de confianza.

  1. Contrastar la hipótesis \(H_{0}:\mu\leq15\) frente a \(H_{1}:\mu>15\) usando la muestra de m1.
    Ya que no conocemos la desviación poblacional de la muestra m1, calcularemos el estadístico test de la siguiente manera: \[ts = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{20-15}{3/\sqrt{10}} = 5.270463\]

Una vez tenemos el estadístico test, calculamos el p-valor sabiendo que \(v=n_1-1\): p-valor\(=\)1-pt(5.270463, 9)\(= 0.0002567772\)

Como p-valor < \(\alpha=0.05\) rechazamos la hipótesis nula, es decir, sabemos al 95% que no existe evidencia estadística de que la media sea menor de 15.

3.1 Contraste de hipótesis parámetrico y no paramétrico

En una empresa dedicada a informática, se esta investigando dos tipos de batería para un portátil nuevo que saldrá proximamente. Para ello se han tomado 10 muestras alternativas, que se suponen que siguen distribuciones normales y que se suponen que tienen la misma varianza cada población. Los resultados (en horas) de la duración de las baterías son:

Batería A | 8.5 | 6.2 | 9.8 | 7.3 | 5.9 | 10.1 | 4.7 | 8.9 | 6.5 | 7.8 | _____________________________________________________________________________
Batería B | 9.2 | 5.4 | 8.1 | 6.8 | 7.5 | 10.5 | 4.3 | 8.3 | 6.1 | 7.2 |

  1. ¿Los datos apoyan la afirmación de que la batería B aguanta mayor tiempo que la batería A? Utilizar \(\alpha=0.01\)

Nuestro contraste de hipótesis será:
\[H_0: \mu_1=\mu_2\] \[H_1: \mu_1<\mu_2\] Nuestros datos son:
\[\bar{x_1}=7.57; \bar{x_2}=7.34; s_1=1.769526; s_2=1.820378\] En este caso, no se cumple la direccionalidad ya que \(\bar{x_1}>\bar{x_2} (7.57>7.34)\). Por tanto, no rechazamos la hipótesis nula.

  1. ¿Los datos apoyan la afirmación de que la batería A aguanta mayor tiempo que la batería B? Utilizar \(\alpha=0.01\)

Nuestro contraste de hipótesis será: \[H_0: \mu_1=\mu_2\] \[H_1: \mu_1>\mu_2\] En este caso, se cumple la direccionalidad \(\bar{x_1}>\bar{x_2}(7.57>7.34)\). Por lo tanto, se realiza el contraste de hipótesis completo.

Como tenemos dos muestras independientes con varianzas iguales pero desconocidas, usaremos la siguiente fórmula para realizar el contraste.

\[t_s=\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})}{S_p\sqrt{(\frac{1}{n1})+(\frac{1}{n_2})}}=\frac{(7.57-7.34)}{1.7951\sqrt{0.1+0.1}}=0.2865\] \[S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{9(1.7695)^2+9(1.8203)^2}{10+10-2}}=1.7951\] \[t_\alpha=qt(0.99,18)=2.55\]

Dado que \(t_s\)<\(t_\alpha(0.2865<2.55)\), no existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula.

  1. Suponiendo que ahora tenemos una varianza conocida igual a 3. ¿Los datos apoyan la afirmación de que la batería A aguanta mayor tiempo que la batería B? Utilizar \(\alpha=0.05\)

Nuestro contraste de hipótesis será: \[H_0: \mu_1=\mu_2\] \[H_1: \mu_1>\mu_2\] En este caso, se cumple direccionalidad \(\bar{x_1}>\bar{x_2}\). Por tanto, se realiza el contraste de hipótesis completo.

Como tenemos dos muestras independientes con \(\sigma_1=\sigma_2=3\), usaremos la siguiente fórmula para realizar el contraste.

\[Z_s=\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})}{\sqrt{(\frac{\sigma_1^2}{n_1})+(\frac{\sigma_2^2}{n_2})}}=\frac{7.57-7.34}{\sqrt{{\frac{9}{10}}+\frac{9}{10}}}=0.1714\] \[Z_\alpha=qnorm(1-0.05)=1.65\] No se cumple que \(Z_s>Z_\alpha(0.1714<1.65)\). Por lo tanto, al 95% de confianza, no existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula.

  1. Supongamos que no sigue una distribución normal. Utiliza la prueba de la suma de rangos de Mann-Whitney con \(\alpha=0.05\) para determinar si la batería A dura más tiempo que la batería B.
    Nuestro contraste de hipótesis será:
    \(H_0\): Los tiempos de funcionamiento son iguales
    \(H_1:\) La batería A funciona más tiempo que la batería B

Batería A |—|4.7|—|5.9|—|6.2|6.5|—|—|7.3|—|7.8|—|8.3|—|8.8|—|9.8|10.1|—
Batería B |4.3|—|5.4|—|6.1|—|—|6.8|7.2|—|7.5|—|8.1|—|8.5|—|9.5|—|—|10.5

Batería A |-|1|-|2|-|3|3|-|-|5|-|6|-|7|-|8|-|9|9|-
Batería B |0|-|1|-|2|-|-|4|4|-|5|-|6|-|7|-|8|-|-|10

\(w_1=53\) y \(w_2=47\) Se cumple la condición necesaria: \(w_1+w_2=n_1*n_2; 53+47=10*10; 100=100\)
\[U_s=máx(w_1,w_2)=máx(53,47)=53\] \[U_{\alpha/2}=qwilcox(1-alpha/2,n_1,n_2)=qwilcox(1-0.05/2,10,10)=76\] Comprobamos la direccionalidad \(w_1>w_2\) que se cumple, por lo que seguimos con el contraste. El valor estadístico de contraste es \(U_s=53\) y el valor de \(U_{\alpha/2}=76\), que es mayor que \(U_s\). Por tanto, no existe evidencia para rechazar la hipótesis nula y concluimos que tienen el mismo tiempo de funcionamiento con un 95%.

3.2 ANOVA

Un experimento está estudiando el efecto que tiene la temperatura sobre la velocidad a la que una persona corre. En él, se usan tres niveles de temperatura, baja, media y alta. Suponemos que la velocidad sigue una distribución normal y que las varianzas en las muestras elegidas son iguales. La siguiente tabla muestra los datos recogidos del experimento realizado 5 veces:

Temperatura    |    Velocidades (km/h)
_________________________________________
      Baja           | 16.18 | 14.7 | 15.95 | 13.63 | 14.41 |
_________________________________________
      Media        | 10.19 | 11.9 | 13.34 | 12.71 | 11.42 |
_________________________________________
      Alta            | 9.64   | 8.21 | 10.4   | 11.56 | 9.97   |
_________________________________________

  1. ¿Influye la temperatura en la velocidad a la que corre una persona? Usa alpha=0.05

Planteamos el siguiente contraste de hipótesis:
\(H_0\): \(\mu_b = \mu_m = \mu_a\)
\(H_1\): No todas las medias son iguales

Para comprobar si se cumple o no la hipótesis, construimos una tabla de ANOVA usando los siguientes valores:
            \(SSE = \sum_{j=1}^{b} n_j (\bar{x_j}-\bar{\bar{x}})^2 = (5*(14.974-12.28067)^2)+(5*(11.912-12.28067)^2)+(5*(9.956-12.28067)^2) = 63.97017\)
            \(SSD = \sum_{j=1}^{b} \sum_{i=1}^{n_j}(x_{ij}-\bar{x_j})^2 = (16.18-14.974)^2+(14.7-14.974)^2+(15.95-14.974)^2+(13.63-14.974)^2+(14.41-14.974)^2+(10.19-11.912)^2+(11.9-11.912)^2+(13.34-11.912)^2+(12.71-11.912)^2+(11.42-11.912)^2+(9.64-9.956)^2+(8.21-9.956)^2+(10.4-9.956)^2+(11.56-9.956)^2+(9.97-9.956)^2 = 16.40852\)
            \(SST = \sum_{j=1}^{b} \sum_{i=1}^{n_j}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2 = SSE + SSD = 80.37869\)
            \(MSE = \frac{SSE}{b-1} = \frac{63.97017}{3-1} = 31.98509\)
            \(MSD = \frac{SSD}{n-b} = \frac{16.40852}{15-3} = 1.367377\)
            \(F_s = \frac{MSE}{MSD} = 23.39157\)
 
Por lo tanto, nuestra tabla quedaría así:
  
Variación    |    Grados de    |    Suma de    |    Cuadrados    |    F
                   |     libertad        |   cuadrados  |      medios        |
____________________________________________________________
Entre          |            2           |    63.97017   |    31.98509       |    23.39157
grupos        |                        |                       |                          |
____________________________________________________________
Dentro de   |           12          |    16.40852    |    1.367377      |
los grupos   |                        |                       |                         |
____________________________________________________________
Total            |           14          |    80.37869   |                         |
____________________________________________________________
 
En este caso el p-valor sería 1-pf(Fs,2,12) = \(7.24*10^{-5}\) \(< \alpha=0.05\) por lo que rechazamos \(H_0\) y concluimos que la temperatura sí que influye en la velocidad a la que corre una persona.

  1. Obtén un intervalo de confianza para la media de velocidad a temperatura media.

Para encontrar un intervalo para la media a temperatura media usamos la siguiente expresión:
\((\bar{x_m}-t_{n-p,\alpha/2}\sqrt{\frac{MSD}{n_m}}, \bar{x_m}+t_{n-p,\alpha/2}\sqrt{\frac{MSD}{n_m}})\)

Para ello tenemos que:
\(\bar{x_m} = 11.912\)
\(n_m = 5\)
\(t_{n-p,\alpha/2} =\) qt(1-alpha/2,n-p) = qt(1-0.05/2,12) = \(2.178813\)

Por lo tanto nuestro intervalo de confianza al 95% quedará:
\((11.912-2.178813*\sqrt{\frac{1.367377}{5}}, 11.912+2.178813*\sqrt{\frac{1.367377}{5}})\) = \((10.77259, 13.05141)\)

  1. En caso de que se pueda, proporciona un intervalo de confianza para la diferencia de medias entre las temperaturas baja y alta.

Como el resultado del contraste del primer apartado nos decía que sí que hay diferencias entre, al menos, dos de los grupos, podemos calcular un intervalo para la diferencia de los grupos bajo y alto.
Para ello usamos la siguiente expresión:
\(((\bar{x_b}-\bar{x_a})\pm t_{\alpha/2;n-p}\sqrt{MSD(\frac{1}{n_a}+\frac{1}{n_b})})\)

Donde:
\(t_{\alpha/2;n-p} =\) qt(1-0.05/2,12) = \(2.178813\)

Por lo tanto nuestro intervalo quedaría: \(((14.974-9.956)-2.178813\sqrt{1.367377(\frac{1}{5}+\frac{1}{5})}, (14.974-9.956)+2.178813\sqrt{1.367377(\frac{1}{5}+\frac{1}{5})})\) = \((3.406635, 6.629365)\)

  1. El mismo experimento sobre la velocidad de una persona se aplicó sobre 3 personas de distinta altura en 5 terrenos distintos. Completa la siguiente tabla resultante:

Variación    |    Grados de    |    Suma de    |    Cuadrados    |          F           |      p-valor
                   |     libertad        |   cuadrados  |      medios        |                        |
_________________________________________________________________________
Entre          |         p-1 =       |      SSE =      |        MSE =       |        \(F_1\) =        |        0.02
grupos        |       3-1 = 2      |    19.90978   |     9.954888      |   6.636592      |
_________________________________________________________________________
Dentro de   |         b-1 =       |      SSB =      |        MSB =       |        \(F_2\) =        |         0.04
los bloques |       5-1 = 4      |    25.24293   |    6.310732       |   4.207154      |
_________________________________________________________________________
Debida       |    (p-1)(b-1) =   |      SSD =     |          1.5           |                        |
al azar        |      2*4 = 8       |         12         |                          |                        |
_________________________________________________________________________
Total           |           14          |      SST =      |                          |                        |
                   |                         |    57.1527     |                          |                        |
_________________________________________________________________________

Ya que nos proporcionan el p-valor, podemos calcular \(F_1\) test de la siguiente manera:
1-pf(1-pvalor1, 2, 8) = 0.02
\(F_1\) = qf(0.98, 2, 8) = \(6.636592\)

Lo mismo hacemos con \(F_2\):
1-pf(1-pvalor2, 4, 8) = 0.04
\(F_2\) = qf(0.96, 4, 8) = \(4.207154\)

Los demás valores de la tabla los podemos completar realizando las siguientes operaciones: \(MSE = F_1*MSD = 6.636592 * 1.5 = 9.954888\)
\(MSB = F_2*MSD = 4.207154 * 1.5 = 6.310731\)
\(SSE = (p-1)*MSE = 2*9.954888 = 19.90978\)
\(SSB = (b-1)*MSB = 4 * 6.310731 = 25.24293\)
\(SSD = (p-1)*(b-1) * MSD = 8 * 1.5 = 12\)
\(SST = SSE + SSB + SSD = 19.90978 + 25.24293 + 12 = 57.1527\)

3.3 Regresión lineal

Se está estudiando un alimento que fue vendido mundialmente, ya que han habido casos de intoxicación. Nos dan una tabla con el número de compra por miles(x) y el número de intoxicados(y).

Teniendo esta información sabemos que (x) son las variables independientes, mientras que (y) son las variables dependientes.

x (por miles) | 28.327 | 24.505 | 30.743 | 33.267 | 37.361 | 43.3 | 43.052 | 62.170 | 58.722 | 53.994 |69.912|78.795|81.64|

_____________________________________________________________________________
y (por miles) | 10.2 | 12 | 15 | 18 | 20 | 22 | 25.5 | 28 | 30.2 | 32 | 35 | 40 | 45.3 |

  1. Construye el diagrama de dispersión. ¿Parece plausible el uso de un modelo de regresión lineal simple?

    Primero creamos los vectores x e y. Para ello tenemos la información de las ventas con respecto a las intoxicaciones de la tabla anterior.

    x= c(28.327, 24.505, 30.743, 33.267, 37.361, 43.3, 43.052, 62.170, 58.722, 53.994, 69.912, 78.795, 81.64)

    y = c(10.2, 12, 15, 18, 20, 22, 25.5, 28, 30.2, 32, 35, 40, 45.3)

    Para muestra de la gráfica: plot(x,y), pero como también queremos ver la recta que hace, utilizamos abline(lm(y~x)) para que se muestre en la misma gráfica. 

    x= c(28.327, 24.505, 30.743, 33.267, 37.361, 43.3, 43.052,62.170,58.722, 53.994, 69.912, 78.795, 81.64) 
y = c(10.2, 12, 15, 18, 20, 22, 25.5, 28, 30.2, 32, 35, 40, 45.3)
plot(x,y)
abline(lm(y~x))

    Con esto podemos saber que cumple con la condición de la linealidad y la homocedastidad.

  2. Calcula la recta de mínimos cuadrados entre las variables.

    La formula para poder calcular la recta de mínimos es la siguiente: \[\hat{b}1=\frac{SPxy}{SSx}\]

    \[\hat{b}_0 = \hat{y} - \hat{b}_1 \bar{x}\]

    Pero primero tenemos que calcular lo siguiente:
    \(\bar{x}\) = x_barra = mean(x) = 49.676
    \(\bar{y}\) = y_barra = mean(y) = 25.63077

    Empezamos a calcular:
    \(SP_{xy}=\)sum((x-x_barra)*(y-y_barra))\(= 2427.534\)
    \(SS_x=\)sum((x-x_barra)^2)\(= 4488.947\)
    \(b1 = SP_{xy} / SS_x = 0.5407802\)
    \(b0 =\) y_barra-(b1*x_barra) \(= -1.233026\)

    Y con esto podemos sacar la recta de mínimos cuadrados entre las variables:\[\hat{y} = -1.233026+0.5407802x\]

  3. Hacer una predicción sobre la intoxicidad cuando el número de ventas es x = 32.

    La formula para poder calcular la intoxicidad cuando x=: \[\hat{y}_{32}=\hat{b}_0 + \hat{b}_1 x 32\]
    Como ya tenemos calculado tanto \(\hat{b}_0\) como \(\hat{b}_1\) podemos calcularlo directamente.
    \[\hat{y}_{32}=\hat{b}_0 + \hat{b}_1 x 32 = 16.07194\] (Hay que tener en cuenta que estamos tratando los datos siempre por miles)

  4. Obtener el valor de y cuando x = 43.3 y calcular el residuo.

    Es parecido al ejercicio anterior, la formula para calcular el valor de y primero necesitamos saber el valor de \(\hat{y}_{43.3}\):
    \[\hat{y}_{43.3}=\hat{b}_0 + \hat{b}_1 x 43.3\]
    Como ya tenemos calculado tanto \(\hat{b}_0\) como \(\hat{b}_1\) podemos calcularlo directamente.
    \[\hat{y}_{43.3}=\hat{b}_0 + \hat{b}_1 x 43.3 = 22.18275\]
    Una vez ya tenemos \(\hat{y}_{43.3}\), podemos calcular el residuo:
    \[y_{43.3} - \hat{y}_{43.3} \]
    Y teniendo ya el valor de \[y_{43.3}\] que es \(22\) , sacamos el residuo: \[y_{43.3} - \hat{y}_{43.3} = 22 - 22.18275 = -0.18275\]