1 Probabilidad

En un instituto van a hacer una competición de coches creados por ellos mismos.

Sabemos que la probabilidad de que llegue a meta es de 0.8 La probabilidad de que el coche siga teniendo batería cuando llega a meta es del 0.4 Y que tenga batería pero no llegue a meta es del 0.6

  1. ¿Probabilidad de que no llegue a meta?

\(P(M^C)=1-P(M)= 1-0.8=0.2\)

  1. Sabiendo que no llega a meta. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga batería?.

\(P(M^C \cap B)= 0.6*0.2=0.12\)

  1. Probabilidad total de que tenga batería.

\(P(B)=P(B \cap M) + P(M^C \cap B) = 0.4*0.8+0.6*0.2=0.44\)

  1. Sabiendo que tiene batería¿Cuál es la probabilidad de que haya llegado a meta?

\(P(M/B)=\frac{P(M\cap B)}{P(B)}= \frac{0.4*0.8}{0.44}=0.72\)

2 Variable aleatoria

La superposición es una propiedad de los cuerpos que describe la capacidad de un objeto de estar en dos o más estados simultáneamente. Esta propiedad la explora el científico Schrödinger con un experimento mental donde se coloca un gato en una caja y se conecta un veneno al estado de una partícula en superposición. De esta manera, mientras no se observe la partícula, el gato estará en un estado superpuesto, vivo y muerto a la vez. Una vez abramos la caja y observemos la partícula, el gato colapsará a estar en uno de estos dos estados.

Pues bien, ahora realizaremos el mismo experimento, pero en vez de una sola partícula controlando el veneno, tendremos dos partículas cuyas combinaciones controlarán cuatro posibles estados:

1. Caerá un ratón y el gato se pondrá a jugar. 

2. Se le dará un bol de comida y el gato se pondrá a comer. 

3. Una música relajante solo para gatos se pondrá a sonar y el gato se dormirá. 

4. No pasará nada y el gato se quedará igual que cuando lo dejamos en la caja.

Se ha realizado el experimento 500 veces y gracias un aparato especial sabemos que cada vez tenía una cantidad diferente de estados dentro de la caja: 35 veces el gato estaba en 1 estado, 110 estaba en 2 y 200 veces estuvo en 3. Sabiendo esto, obtén:

a. Su función de probabilidad.  

b. La moda.

c. La media y la desviación típica. 

d. Ahora, añadimos una partícula más. Sabiendo que de la mitad de las veces que se encontraba en 3 estados ahora se encontrará con los nuevos estados creados por las combinaciones con la nueva partícula y que ambos salen la misma cantidad de veces, ¿cuál es su nueva función de probabilidad?

a) Siendo \(X\) el número de estados en los que el gato está en un momento cualquiera:

\(X\) 1 2 3 4
\(Veces\) \(35\) \(110\) \(200\) \(500-(35+110+200) = 155\)
\(P(X)\) \(35/500 = 0.07\) \(110/500 = 0.22\) \(200/500 = 0.4\) \(155/500 = 0.31\)

Con \(P(X)\) siendo su función de probabilidad. \(X\) quedaría como:

valores<-c(1,2,3,4)
repeticiones<-c(35,110,200,155)
x<-unlist(mapply(rep,valores,repeticiones))
x
##   [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
##  [38] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
##  [75] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
## [112] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
## [149] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [186] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [223] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [260] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [297] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [334] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [371] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [408] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [445] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [482] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

b) La moda será el número de estados que más haya salido, por lo tanto la moda será \(3\).

c) La media se puede obtener como la suma de todos los estados multiplicados por su probabilidad: \(μ_x = 1*0.07 + 2*0.22 + 3*0.4 + 4*0.31 = 2.95\) o alternativamente \(μ_x\)=

mean(x)
## [1] 2.95

Queriendo decir que la media de número de estados que tuvo fue \(2.95\).

La desviación típica se puede obtener como la raíz cuadrada de la varianza:

\(σ = \sqrt{\sum{(x_i - μ_x)^2 * P(X = x_i)}}\)=

sqrt(var(x))
## [1] 0.89951

d) Si añadimos una partícula más, dos estados más aparecerán. Como el número de veces que aparecen este número de estados son los mismos y se obtienen de la mitad de las veces que cuando había 3 estados: \(P(5) + P(6) = P(3) / 2 = 0.2\) \(P(5) = 0.2/2 = 0.1\) \(P(6) = 0.2/2 = 0.1\)

3 Distribuciones de probabilidad

Supongamos que las calificaciones de los alumnos de cuarto curso de Medicina de la universidad de Albacete en la convocatoria extraordinaria de traumatología siguen una distribución normal con una media de 6.8 y una desviación típica de 2.5. Las cifras decimales en las calificaciones van en décimas.

  1. Si seleccionamos a un estudiante del conjunto del curso, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado el examen, suponiendo que la nota mínima para aprobar es de 4.5?

Para resolver este apartado, debemos calcular la probabilidad de que X sea mayor o igual a 4.5, es decir \(P(X\geq 4.5)\)=\(1 - P(X\leq 4.5)\)=\(1 - pnorm(4.5,6.8,2.5)\)=

1- pnorm(4.5,6.8,2.5)
## [1] 0.8212136

  1. ¿Qué proporción de estudiantes han sacado entre un 2.9 y un 5.1?

\(P(2.9 \leq X\leq 5.1)\)=\(pnorm(5.1,6.8,2.5)-pnorm(2.9,6.8,2.5)\)=

pnorm(5.1,6.8,2.5)-pnorm(2.9,6.8,2.5)
## [1] 0.1888723

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que estar en el percentil 61?

Percentil 61=\(qnorm(0.61,6.8,2.5)\)=

qnorm(0.61,6.8,2.5)
## [1] 7.498298

  1. Sabiendo que un alumno ha sacado más de un 5.5 en el examen, cuál es la probabilidad de que haya sacado menos de un 8.5?

\(P(X\leq 8.5 / X\geq 5.5)\)=\(\frac{P(X\leq 8.5 \ y \ X\geq 5.5)}{P(X\geq 5.5)}\)=\(\frac{P(X\leq 8.5) - P(X\leq 5.5)}{1- P(X\leq 5.5)}\)=\(\frac{pnorm(8.5,6.8,2.5) - pnorm(5.5,6.8,2.5)}{1- pnorm(5.5,6.8,2.5)}\)=

(pnorm(8.5,6.8,2.5) - pnorm(5.5,6.8,2.5))/(1- pnorm(5.5,6.8,2.5))
## [1] 0.6445762

Enlace al vídeo:

Vídeo trabajo 1 Grupo H

4 Distribuciones de probabilidad 2

Supongamos que el número de nerfeos, o mejor dicho un cambio de estadísticas negativos, que se le aplican a los personajes en el brawl stars, o mejor conocido como brawlers, sigue una distribución Poisson con una media de 9 nerfeos al mes.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan aplicado exactamente 25 nerfeos en dos mes?

\(P(X=25)=dpois(25,9*2)\)=

dpois(25,18)
## [1] 0.02365191

  1. Si sabemos que en un mes determinado se han realizado más de 4 nerfeos, ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan realizado al menos 8 nerfeos?

\(P(X\leq8/X>4)=\frac{P(X\leq8 \ y \ X>4)}{P(X>4)}=\frac{(P\leq8)-P(X\leq4)}{1-P(X\leq4)}=\frac{ppois(8,9)-ppois(4,9)}{1-ppois(4,9)}\)

(ppois(8,9)-ppois(4,9))/(1-ppois(4,9))
## [1] 0.4239932

  1. Si tomamos 7 meses al azar,¿Cuál es la probabilidad de que la media de nerfeos aplicados a los brawlers sean superiores de 12?

\(P(X>12)= 1-P(X\leq 12)= 1 - pnorm(12,9,sqrt(9)/sqrt(7))\)=

1 - pnorm(12, 9, sqrt(9)/sqrt(7))
## [1] 0.004075486

  1. Qué número de nerfeos que se realizan en un mes es el cuantil 38 por ciento.

Percentil 38=\(qpois(0.38,9)\)=

qpois(0.38,9)
## [1] 8

5 Contraste de hipotesis

En un laboratorio de química tenemos dos compuestos distintos. El interés se concentra en el tiempo que tarda en disolverse en agua cada uno de estos compuestos; se sospecha que el conpuesto_1 se disuelve mas rápidamente que el compuesto_2. Se obtienen mediciones de ambos compuestos. Los tiempos de disolución (en segundos) son los siguientes y se supone que siguen una distribución normal: Compuesto_1:6,12,10,5,8,15 Compuesto_2:8,11,12,12,9,17

1.Halla un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los tiempos de secado promedio, suponiendo que las desviaciones estándar de estos son iguales.

El intervalo de confianza viene dado por :\(((\bar{x1}-\bar{x2} )-t*\alpha/2 *sp * \sqrt((1/n1)+(1/n2)),(\bar{x1}-\bar{x2} )-t*\alpha/2 *sp * \sqrt((1/n1)+(1/n2)))\)

\(\alpha\) es el nivel de significación, lo usamos para obtener el grado de confianza del intervalo, como buscamos un intervalo de confianza del 95%, este valor será 0.05. \(\sigma\) es la desviación típica de la población y \(n\) es el número de valores de la muestra.

compuesto1=c(6,12,10,5,8,15)
compuesto2=c(8,11,12,12,9,17)
x_barra_1=mean(compuesto1)
x_barra_1
## [1] 9.333333
n_1=6
s_1=sd(compuesto1)
x_barra_2=mean(compuesto2)
x_barra_2
## [1] 11.5
n_2=6
s_2=sd(compuesto2)
alpha=0.05 # es 1- nivel de confianza

s_p=sqrt(((n_1-1)*(s_1^2)+(n_2-1)*(s_2^2))/(n_1+n_2-2))
(x_barra_1-x_barra_2)-qt(1-alpha/2,n_1+n_2-2)*s_p*sqrt(((1)/n_1)+((1)/n_2))
## [1] -6.638391
(x_barra_1-x_barra_2)+qt(1-alpha/2,n_1+n_2-2)*s_p*sqrt(((1)/n_1)+((1)/n_2))
## [1] 2.305057

El intervalo de confianza es (-6.638391,2.305057)

2.Compara las varianzas para verificar si hay una diferencia significativa entre las varianzas de los dos conjuntos de datos.

H0: var1=var2

H1: var1 != var2

var.test(compuesto1,compuesto2)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  compuesto1 and compuesto2
## F = 1.4411, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.6982
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   0.2016513 10.2984896
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.441077

Como el p-valor = 0.6982> alpha= 0.05, entonces no rechazamos \(H_0\). Al 95% no existe evidencia estadística en contra de que sean iguales las varianzas. Podemos suponer que tienen la misma variabilidad.

  1. Se desea saber si hay evidencia suficiente para afirmar que los tiempos medios son similares.

Sigue una distribución normal y las poblaciones son independientes, en el apartado 2 concluimos que existe una gran probabilidad de que sus variaciones sean iguales.

H0: μ1-μ2=0

H1: μ1-μ2!=0 

t.test(compuesto1,compuesto2,var.equal=TRUE)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  compuesto1 and compuesto2
## t = -1.0796, df = 10, p-value = 0.3057
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -6.638391  2.305057
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  9.333333 11.500000

p-valor=0.3057>alpha por lo que se rechaza H0. Entonces no hay evidencia estadística en contra de que los tiempos medios sean iguales.

4.¿Existe alguna evidencia que indique que el compueto_2 se disuelve antes que el compuesto_1?

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 > μ2.

Al tratarse de un contraste unilateral comprobamos la dirección y observamos que x_barra_1< x_barra2.Por tanto, rechazamos la hipótesis nula.Y con esto no podemos decir que exista alguna evidencia de que se disueva mas rápido el compuesto_2

6 Contraste de hipótesis 2

Queremos construir una IA que sea capaz de detectar cuándo un área aleatoria sea un área con un radio de un kilómetro. Para ello, queremos utilizar las posiciones de tiendas y lugares de interés a un kilómetro de distancia aproximadamente de nuestra posición en un mapa, siendo las posiciones las siguientes:

Posiciones: 0.5723, 1.0785, 0.8046, 1.3706, 0.9298, 0.9399, 1.3977, 1.0402, 0.8306, 0.9153

  1. Sabiendo que la población sigue una distribución normal y tiene una desviación típica de 0.2 y un área de 1km de radio, obtén el intervalo de confianza del 95% para la muestra de posiciones dada.

Obtenemos el intervalo de confianza como:

\((\bar{x} + (1-\alpha/2) * \sigma/sqrt(n), \bar{x} - (1-\alpha/2) * \sigma/sqrt(n))\) Siendo \(\bar{x}\) la media de la muestra que podemos obtener como:

x <- c(0.5723, 1.0785, 0.8046, 1.3706, 0.9298, 0.9399, 1.3977, 1.0402, 0.8306, 0.9153)
mean(x)
## [1] 0.98795

\(\alpha\), \(\sigma\) y \(n\) representan lo mismo que en el ejercicio anterior. Siendo respectivamente: \(\alpha = 0.05\), \(\sigma = 0.2\) y \(n = 10\). Finalmente, obtenemos que el intervalo es:

mean(x) - (1-0.05/2) * 0.2/sqrt(10)
## [1] 0.9262856
mean(x) + (1-0.05/2) * 0.2/sqrt(10)
## [1] 1.049614

(0.9262856,1.049614)

  1. ¿Existe evidencia estadística que nos permita decir que dicha muestra tenga una media de 1km de radio?

Podemos saber si la muestra cumple con ser un área de un kilómetro de radio planteando dos hipótesis, la hipótesis nula (\(H_0\)) como que la media de la muestra es 1: \(H_0: \mu_0 = 1\) y la hipótesis alternativa(\(H_1\)) como lo contrario: \(H_1: \mu_0 \neq 1\) Finalmente, para saber con cuál de las dos hipótesis es más probable que sea cierta, realizamos un test estadístico que nos permitirá calcular dicha probabilidad: Con r podemos realizar:

t.test(x, mu=1)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = -0.15177, df = 9, p-value = 0.8827
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.8083407 1.1675593
## sample estimates:
## mean of x 
##   0.98795

y al ser el p-valor (la probabilidad de que \(H_0\) sea correcta) mayor a 0.05 (el nivel de significación \(\alpha\)), podemos concluir que hay evidencia estadística de que \(H_0\) es verdadera. También podemos aplicar la siguiente fórmula para obtener el resultado del test estadístico siempre que \(\sigma\) sea conocida o \(n \geq 30\): \(t_s = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\) Siendo s la dispersion típica de x, obtenida como

s = sd(x)

Sustituyendo nuestros valores:

t_s = (mean(x) - 1)/(s/sqrt(10))

Y obtendremos el p-valor como:

2*(1-pt(abs(t_s), 9))
## [1] 0.8827173

al ser un test bilateral, obteniendo los mismos resultados que al realizar la otra operación.

  1. Ahora, tenemos tres nuevas muestras diferentes de la misma población, con las que queremos comprobar si son un mejor ejemplo de área de un kilómetro de radio comparadas con la anterior. Obtén la que tenga una mayor exactitud para ello si existe el caso donde una sea mejor.

\(Muestra_1: \bar{x}_1 = 0.9926164; s_1 = 0.2014724; n_1 = 50\)

\(Muestra_2: \bar{x}_2 = 1.001986; s_2 = 0.197852; n_2 = 100\)

\(Muestra_3: \bar{x}_3 = 1.087973; s_3 = 0.2143885; n_3 = 20\)

Podremos saber cuál de las cuatro muestras tiene una media más cercana a 1 realizando los test estadísticos anteriores y comprobando cuál tiene un mayor p-valor, manteniendo las mismas hipótesis anteriores. Muestra1:

t_s1 = (0.9926164 - 1) / (0.2014724 / sqrt(50))
2*(1-pt(abs(t_s1), 49))
## [1] 0.7966114

Muestra2:

t_s2 = (1.001986 - 1) / (0.197852 / sqrt(100))
2*(1-pt(abs(t_s2), 99))
## [1] 0.9202472

Muestra3:

t_s3 = (1.087973 - 1) / (0.2143885 / sqrt(20))
2*(1-pt(abs(t_s3), 19))
## [1] 0.08219427

Comparando los p-valores, podemos comprobar que la \(Muestra_2\) tiene una media que se acerca más a 1, por lo tanto es más exacta.

  1. Utilizando la mejor muestra obtenida anteriormente, comprueba si la siguiente es un área de un kilómetro de radio o no suponiendo la misma desviación típica (0.2).

\(Muestra: \bar{x}_m = 1.006693; s_m = 0.1975031; n_m = 500\)

Podemos comprobar si las medias de dos poblaciones son iguales dependiendo de si son independientes o emparejadas. Al ser dos muestras aleatorias tomadas en el mismo instante, las dos muestras son independientes, por lo tanto, para obtener si las medias de la \(Muestra_2\) y la \(Muestra\) son iguales, primero planteamos las hipótesis: \(H_0: \mu_2 - \mu_m = d_0\) \(H_1: \mu_2 - \mu_m \neq d_0\) Siendo \(d_0\) en este caso 0, al querer comparar que \(\mu_2\) y \(\mu_m\) son iguales. Tras eso, aplicamos la siguiente fórmula para obtener el test estadístico: \(t_s=\frac{(\bar{x}_2 - \bar{x}_m) - d_0}{\sqrt{(\sigma^{2}_{2}/n_2) + (\sigma^{2}_{m} / n_m)}}\) con resultado:

t_sm = ((1.001986 - 1.006693) - 0) / sqrt((0.2^2/100) + (0.2^2/500))

y obtenemos el p-valor:

2*(1-pt(abs(t_sm), 100+500-2))
## [1] 0.8299621

Concluyendo que hay evidencia estadística para considerar verdadera \(H_0\) y por lo tanto, considerar a \(Muestra\) como un área de 1km de radio.

Enlace al vídeo:

Vídeo trabajo 2 Grupo H

7 Contraste de Hipótesis: Tests paramétricos y no paramétricos

Últimamente, he empezado a jugar al ajedrez y conforme he ido jugando partidas he ido encontrando que cometo muchos errores, cosa esperable cuando no tengo mucha idea de como jugar aún, sin embargo, me he querido preguntar (para hacerme sentir un poco mejor) si realmente el número de errores que cometo por partida son normales. Para ello, he comparado el número de errores que he cometido con el número de errores que ha cometido mi rival:

Mis errores: [2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 2, 4, 5, 1] Los de mis rivales: [4, 2, 3, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 5, 3, 1, 1]

Asumiendo que las muestras no vienen de una distribución normal:

  1. ¿Es cierto que no soy peor que mis oponentes? Utiliza un nivel de significación de 0.05 y la prueba de los signos.

Si soy peor que mis oponentes, cometeré más errores que ellos:

\(H_0 = \bar{\mu}_{yo} - \bar{\mu}_{mis\_rivales} = 0\)

\(H_1 = \bar{\mu}_{yo} - \bar{\mu}_{mis\_rivales} > 0\)

  1. Primero obtenemos el tamaño muestral, para ello, encontramos los casos donde al restar a mis errores los de mis rivales obtengamos un número positivo o un número negativo:

[2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 2, 4, 5, 1] [4, 2, 3, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 5, 2, 2, 5, 3, 1, 1] [-, , -, +, +, -, +, +, , -, +, , -, +, +, ]

\(N^+=7\)

\(N^-=5\)

Tamaño muestral = 12, ya que hay 4 empates.

Obtenemos el estadístico: \(B_s=max\{N^+, N^-\} = N^+ =7\)

Teniendo en cuenta que queremos saber si cometo más errores y sabiendo que el número de positivos sigue una Bi(12,0.5), obtendremos el p-valor como: \(P(B_s>=7)=1-P(B_s<=6)\)

1-pbinom(6,12,0.5)
## [1] 0.387207

Como el p-valor es mayor que 0.05, existe evidencia estadística que nos confirma que no soy peor que mis oponentes.

Tras jugar unas cuantas partidas más contra nuevos oponentes he obtenido los siguientes resultados:

Mis errores: [3, 5, 4, 6, 7, 4, 3, 4, 2, 3, 5, 6, 2, 3, 1, 1] Los de mis rivales: [2, 3, 1, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 4, 2]

Repite el apartado anterior pero esta vez con el test de Mann-whitney y estos nuevos datos.

Si soy peor que mis oponentes, nuestras medianas no serán iguales:

\(H_0 = \bar{\mu}_{yo} = \bar{\mu}_{mis\_rivales}\)

\(H_1 = \bar{\mu}_{yo} \neq \bar{\mu}_{mis\_rivales}\)

Podemos obtener el resultado aplicando el siguiente test en r:

y<-c(3, 5, 4, 6, 7, 4, 3, 4, 2, 3, 5, 6, 2, 3, 1, 1)
r<-c(2, 3, 1, 2, 2, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 4, 2)
wilcox.test(y,r)
## Warning in wilcox.test.default(y, r): cannot compute exact p-value with ties
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  y and r
## W = 189, p-value = 0.01963
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Como el p-valor es mayor que 0.05, existe evidencia estadística que nos confirma que soy peor que mis oponentes.

  1. Ahora que he comprobado que no soy peor que mis oponentes me ha confiado, causando que cometa más errores (¿Quién lo diria?), por lo que he querido entrenarme para intentar jugar mejor, confiando en lo que he aprendido. Con ese fin, empecé a ver opciones de profesores y maneras de aprender a jugar ajedrez, lo que me hizo querer comparar cuál es la mejor opción. Para ello, lo hice comparando los nuevos niveles de los estudiantes después de un año (medido en elo, una forma de clasificar a jugadores) dependiendo de la opción de aprendizaje que hayan tomado, fundamentalmente las diferencias entre tener un profesor y aprender de leer libros. Obtuve los siguientes datos:

Con profesor: [1538, 1452, 1549, 1652, 1556, 1675, 1675, 1621, 1571, 1581, 1522, 1631, 1764, 1457, 1566, 1484, 1571, 1453, 1584, 1777, 1704, 1773, 1588, 1641, 1593, 1443, 1499, 1599, 1549, 1773] Con libros: [1621, 1675, 1663, 1665, 1588, 1787, 1560, 1739, 1702, 1613, 1749, 1586, 1403, 1691, 1686, 1474, 1658, 1616, 1534, 1655, 1731, 1683, 1539, 1451, 1555, 1771, 1721, 1703, 1782, 1797]

Obtén la que tenga un mejor resultado con un nivel de significación del 0.05.

Planteamos las hipótesis:

\(H_0=\mu_p > \mu_l\)

\(H_1=\mu_p <= \mu_l\)

Queremos comprobar si una es mejor que otra, comenzando primero por comprobar si al estudiar con profesor es mejor, para ello aplicamos un test estadístico:

profesor <- c(1538, 1452, 1549, 1652, 1556, 1675, 1675, 1621, 1571, 1581, 1522, 1631, 1764, 1457, 1566, 1484, 1571, 1453, 1584, 1777, 1704, 1773, 1588, 1641, 1593, 1443, 1499, 1599, 1549, 1773)
libros <- c(1621, 1675, 1663, 1665, 1588, 1787, 1560, 1739, 1702, 1613, 1749, 1586, 1403, 1691, 1686, 1474, 1658, 1616, 1534, 1655, 1731, 1683, 1539, 1451, 1555, 1771, 1721, 1703, 1782, 1797)
t.test(profesor,libros,alternative="less")
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  profesor and libros
## t = -2.0171, df = 57.931, p-value = 0.02416
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##       -Inf -8.889789
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##    1594.7    1646.6

Como el p-valor es menor a 0.05, quiere decir que estudiar con profesor no es mejor que estudiar con libros. Ahora, vamos a comprobar si realmente estudiar con libros es mejor o simplemente se obtienen los mismos resultados:

t.test(profesor,libros,alternative = "greater")
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  profesor and libros
## t = -2.0171, df = 57.931, p-value = 0.9758
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  -94.91021       Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##    1594.7    1646.6

Como hemos obtenido que el p-valor es 0.9758, mayor que 0.05, se cumple la hipótesis nula, que ahora ha pasado a ser \(H_0=\mu_l > \mu_p\) al querer comprobar si los libros son mejores que un profesor. Concluyendo que hay evidencia estadística de que es mejor estudiar con libros que con un profesor.

  1. Finalmente, quise comparar los resultados del campeón mundial del ajedrez con los resultados de un jugador promedio, utilizando el número de grandes movimientos que realiza cada uno en sus partidas. ¿Realmente es mucho mejor Magnus Carlsen que el jugador promedio?

Magnus Carlsen: [7, 4, 4, 2, 4, 2, 0, 3, 7, 5, 2, 1, 5, 3, 5, 3, 0, 1, 6, 0, 4, 2, 7, 6, 6, 4, 1, 1, 6, 6] Jugador promedio: [0, 2, 2, 4, 1, 5, 2, 0, 5, 3, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 3, 3, 1, 1, 2, 0]

Utiliza un nivel de significación de 0.05.

Como queremos comprobar si Magnus Carlsen es diferente a un jugador normal, las hipótesis serán las siguientes:

\(H_0 = \mu_{carlsen} = \mu_{promedio}\)

\(H_1 = \mu_{carlsen} \neq \mu_{promedio}\)

Para comprobarlo, realizamos un test estadístico con los datos que nos han dado:

carlsen <- c(7, 4, 4, 2, 4, 2, 0, 3, 7, 5, 2, 1, 5, 3, 5, 3, 0, 1, 6, 0, 4, 2, 7, 6, 6, 4, 1, 1, 6, 6)
promedio <- c(0, 2, 2, 4, 1, 5, 2, 0, 5, 3, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 3, 3, 1, 1, 2, 0)
t.test(carlsen,promedio)
## 
##    Welch Two Sample t-test
## 
## data:  carlsen and promedio
## t = 3.6748, df = 49.583, p-value = 0.0005842
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.8159632 2.7840368
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  3.566667  1.766667

Como el p-valor es menor que 0.05, existe evidencia estadística para confirmar que Magnus Carlsen no es un jugador promedio.

8 Anova

Se desea investigar si hay diferencias significativas en el rendimiento de tres tipos de dietas para la pérdida de peso. Se reclutan aleatoriamente 30 participantes con sobrepeso y se asignan al azar a una de las tres dietas durante un período de 8 semanas. Al final del estudio, se registra el peso perdido por cada participante. Los grupos y los datos de pérdida de peso (en kilogramos) son los siguientes:

Grupo A: (2.5, 3.1, 2.9, 3.4, 2.8, 2.2, 2.6, 3.0, 3.5, 3.2)

Grupo B: (2.1, 2.4, 2.8, 2.5, 2.0, 2.3, 2.7, 2.6, 2.9, 2.2)

Grupo C: (1.8, 1.6, 1.9, 2.0, 1.5, 1.7, 2.1, 1.4, 1.8, 2.2)

A=c(2.5, 3.1, 2.9, 3.4, 2.8, 2.2, 2.6, 3.0, 3.5, 3.2)
B=c(2.1, 2.4, 2.8, 2.5, 2.0, 2.3, 2.7, 2.6, 2.9, 2.2)
C=c(1.8, 1.6, 1.9, 2.0, 1.5, 1.7, 2.1, 1.4, 1.8, 2.2)
  1. Halla el intervalo de confianza del 92.5% para el rendimiento medio de de la tercera dieta y primera dieta con varianzas iguales.
t.test(A, C, conf.level=0.925, var.equal= TRUE)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  A and C
## t = 7.3391, df = 18, p-value = 8.181e-07
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 92.5 percent confidence interval:
##  0.8316031 1.4083969
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      2.92      1.80

Como podemos comprobar, al hacer t.test de las dos dietas a comparar, obtenemos el intervalo de confianza al 92.5%, que en este caso es: (0.8316031, 1.4083969)

  1. Utiliza un \(\alpha\)=0.04 para probar la hipótesis de que las medias del rendimiento de las tres dietas es la misma.

\(H_0= \mu{A}=\mu{B}=\mu{C}\)

\(H_1= \mu{A}\not=\mu{B}\not=\mu{C}\)

summary(aov(c(A,B,C) ~ rep(c("A", "B", "C"), each = 10)))
##                                  Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## rep(c("A", "B", "C"), each = 10)  2  6.326   3.163   29.24 1.75e-07 ***
## Residuals                        27  2.921   0.108                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Como el p-valor es menor que \(\alpha\), en este caso 0.04, existe evidencia estadística de que las medias del rendimiento de las tres dietas son distintas.

  1. Queremos saber si la media del rendimiento de la primera dieta es menor de 3.8. Valor del estadístico test.
t.test(A, mu=3.8, alternative = "less")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  A
## t = -6.8256, df = 9, p-value = 3.841e-05
## alternative hypothesis: true mean is less than 3.8
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 3.156338
## sample estimates:
## mean of x 
##      2.92

Como p-valor es menor que alpha, existe evidencia estadística de que la media de la dieta A es menor de 2.31. Al realizar el t.test de la primera dieta, con una muestra menor de 3.8, obtenemos nuestro valor del estadístico test, que en este caso es -6.8256.

  1. Queremos saber si la media del rendimiento de la segunda dieta es mayor de 2.31. P-valor de la prueba.
t.test(B, mu=2.31, alternative = "greater")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  B
## t = 1.4623, df = 9, p-value = 0.08885
## alternative hypothesis: true mean is greater than 2.31
## 95 percent confidence interval:
##  2.274493      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##      2.45

Como p-valor es mayor que alpha, no existe evidencia estadística de que la media de la dieta B sea mayor de 2.31. Como podemos comprobar, al hacer t.test de la segunda dieta, obtenemos el p-valor que se nos pedía, que en este caso es 0.08885.

9 Regresion lineal

Se realizó un estudio en una región costera para investigar la temperatura del agua en diferentes profundidades del océano. Los datos recopilados se presentan en la siguiente tabla y muestran la temperatura del agua (Y) a diferentes profundidades (X):

Profundidades: [10,20,50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500] INDEPENDIENTE

Temperaturas: [22.4,22.05,20.1, 19.5, 18.9, 18.3, 17.8, 17.2, 16.7, 16.2, 15.7, 15.3]

x=c(10,20,50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500)
y=c(22.4,22.05,20.1, 19.5, 18.9, 18.3, 17.8, 17.2, 16.7, 16.2, 15.7, 15.3)
  1. Dibujar un diagrama de dispersion de los datos. En este caso, ¿parece apropiado el uso de un modelo de regresion lineal simple?
 plot(x, y)

A la vista de la disposicion de los datos, podemos ajustar a una recta de regresion lineal simple.

  1. Ajustar un modelo de regresion lineal simple utilizando el metodo de minimos cuadrados y =b0+b1x
x_barra=mean(x)
y_barra=mean(y)
SPxy=sum((x-x_barra)*(y-y_barra))
SSx=sum((x-x_barra)^2)
b1 = SPxy/SSx
b0= y_barra-(b1*x_barra)
b1
## [1] -0.01328169
b0
## [1] 21.42276

y=21.42276-0.01328x

  1. Existe evidencia estadística para decir que este modelo necesita la constante
summary(lm(y~x))
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -0.6587 -0.4824 -0.1562  0.3200  1.1101 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 21.422758   0.309629   69.19  9.7e-15 ***
## x           -0.013282   0.001093  -12.15  2.6e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.6173 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9366, Adjusted R-squared:  0.9302 
## F-statistic: 147.7 on 1 and 10 DF,  p-value: 2.596e-07

9.7e-15<0.05 Si existe evidencia estadictica ya que el p-valor es menor que alpha

d)Coeficiente de correlación entre las variables.

cor(x,y)
## [1] -0.9677671

Enlace al vídeo:

Vídeo trabajo 3 Grupo H