Enlace Video Explicación Ejercicios: https://youtu.be/phCWUQDkcSo

Ejercicio 1 (Probabilidad)

La probabilidad de que mi hermano me regale un juego de la PlayStation 5 por mi cumpleaños es de 0.8, y la probabilidad de que me regale un juego y también me haga otro regalo es de 0.65. Por último, la probabilidad de que mi hermano me regale un juego sabiendo que me va a hacer otro regalo también es de 0.40.

  1. Calcula la probabilidad de que mi hermano me haga sólo el otro regalo.

\(P(B)=1-P(A / B) = 1 - 0.40 = 0.60\)

  1. Calcula la probabilidad de que me regale un juego o me haga otro regalo.

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) = 0.80 + 0.60 - 0.65 = 0.75\), sabemos que del apartado 1), P(B) es 0.60.

  1. Calcula la probabilidad de que no me regale un juego de la PlayStation 5.

\(P(A^c)=1-P(A)=1-0.80=0.20\)

4.¿Depende que mi hermano me regale un juego de que me haga otro regalo?

No son independientes, ya que debe cumplirse que \(P(A \cap B)=0.65\) debe ser igual a \(P(A)P(B)=0.80*0.60=0.48\),y también porque \(P(A/B)=0.40\) y \(P(A)=0.80\), \(P(A/B) != P(A)\).

Ejercicio 2 (Variable Aleatoria)

Tenemos un torneo de fútbol donde un equipo tiene que disputar 8 partidos. Sea X una variable aleatoria con el número de partidos que gana con los siguientes valores posibles: P(X=0)=0.05 P(X=1)=0.35 P(X=2)=0.25 P(X=3)=0.15 P(X=4)=0.07 P(X=5)=0.05 P(X=6)=0.04 P(X=7)=0.03 P(X=8)=0.01

  1. Calcula la probabilidad de que el equipo gane 3 o más partidos.

\(P(X\ge 3)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)\)

sum(0.15,0.07,0.05,0.04,0.03,0.01)
## [1] 0.35

También se podría hacer de esta manera \(P(X\ge 3)=1-P(X=2)-P(X=1)-P(X=0)\)

1-sum(0.25,0.35,0.05)
## [1] 0.35

  1. Calcula la probabilidad de que el equipo gane 6 o menos partidos.

\(P(X\leq 6)=P(X=6)+P(X=5)+P(X=4)+P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)\)

sum(0.04,0.05,0.07,0.15,0.25,0.35,0.05)
## [1] 0.96

También se podría hacer de esta manera: \(P(X\leq 6)=1-P(X=7)-P(X=8)\)

1-sum(0.03,0.01)
## [1] 0.96

  1. Calcula la probabilidad de que el equipo gane más de 4 partidos sabiendo que ya ha ganado 1

\(P(X> 4/X>1)=\frac{P(X>4)}{P(X>1)}=\frac{1-P(X<4)}{1-P(X<1)}\)

(1-sum(0.15,0.25,0.35,0.05))/(1-0.05)
## [1] 0.2105263

  1. Calcula la media de X

Tenemos que calcular la media de esta manera \(Media=(0*0.05)+(1*0.35)(2*0.25)(3*0.15)(4*0.07)(5*0.05)(6*0.04)(7*0.03)(8*0.01)\)

sum(0*0.05,1*0.35,2*0.25,3*0.15,4*0.07,5*0.05,6*0.04,7*0.03,8*0.01)
## [1] 2.36

***

Ejercicio 3 (Estadística Descriptiva)

La semana pasada los alumnos de segundo de carrera realizaron un examen tipo test de Estadística .La calificación obtenida en los examenes tiene una media de 7 y la desviación es de 4. Sea X la variable aleatoria que representa la calificación obtenida por un alumno.

X~N(7,4)

  1. Calcula la probabilidad de obtener una calificación mayor a 8,5.

P(X>8.5)

1-pnorm(8.5,7,4)
## [1] 0.3538302
  1. Calcula la calificación necesaria para estar en el percentil 35.
qnorm(0.35,7,4)
## [1] 5.458718
  1. Calcula la probabilidad de obtener una calificación entre 6 y 9.

P(6<X<9)

pnorm(9,7,4)-pnorm(6,7,4) 
## [1] 0.2901688
  1. Calcula la probabilidad de obtener una calificación menor o igual a 4.

P(X<=40)

pnorm(4,7,4) 
## [1] 0.2266274
  1. Calcula la probabilidad de contestar todas las preguntas correctamente.

P(X=10)

dnorm(10,7,4)
## [1] 0.07528436

Ejercicio 4 (Tema 2)

Tenemos un concesionario Mercedes-Benz en el cual tenemos que el 60% de los coches dispuestos a vender son todoterrenos y el restante son otra gama distinta a todoterrenos. Además sabemos que el 40% de los todoterrenos son de precio superior a 50000€ y que en los coches que no son todoterrenos, el 70% tienen un precio inferior a 50000€.

  1. Calcular la probabilidad de que el coche valga más de 50000€.

\(P(C)=P(C∩T) +P(C∩¬T)= (0.4*0.6)+(0.3*0.6)\)

(0.4*0.6)+(0.3*0.6)
## [1] 0.42

  1. Calcula la probabilidad de que me vendan un todoterreno superior a 50000€ o uno que NO sea todoterreno y sea superior a 50000€

\(P(T∩C) U (¬T∩C)=P(C/T)*P(T) + P(C/¬T)*P(¬T)\)

(0.4*0.6)*(0.6)+(0.3*0.6)*(0.4)
## [1] 0.216

  1. Calcula la probabilidad de que si me ofrecen venderme 10 coches, 5 de ellos sean todoterrenos.

\(P(X=5)\)

dbinom(5,10,0.6)
## [1] 0.2006581

  1. Calcula la probabilidad de que si me ofrecen venderme 8 coches, más de 4 coches no sean todoterrenos.

\(P(X>4)\)

1-pbinom(4,10,0.4)
## [1] 0.3668967

Ejercicio 5 (Contraste de Hipótesis)

Un meteorólogo de Castilla-La Mancha ha visto en las noticias el valor histórico de la temperatura de Albacete es de 25ºC, y quiere probar si la temperatura media de Albacete coincide con dicho valor. Este meteorólogo ha tomado una muestra de 90 días, con una desviación poblacional de 2ºC, y la temperatura media de dicha muestra es de 23ºC.

  1. Plantea un contraste de hipótesis para verificar que la temperatura media es de 25ºC.

\(H0: \mu = 25\), \(H1: \mu != 25\)

  1. Calcula el estadístico. 
set.seed(1)
media=23
mu=25
sigma=2
n=90
Z=(media-mu)/((sigma)/sqrt(n))
Z
## [1] -9.486833

3.Calcula p-valor y la región crítica. 

n=90
media=23
sigma=2
muestra=rnorm(n, media, sigma)
t.test(muestra, mu=25)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  muestra
## t = -9.5437, df = 89, p-value = 2.811e-15
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 25
## 95 percent confidence interval:
##  22.84579 23.58822
## sample estimates:
## mean of x 
##  23.21701

n=90
alpha=0.05
critico_izq=qt(alpha/2,n-1)
critico_der=qt(1-alpha/2,n-1)
critico_izq
## [1] -1.986979
critico_der
## [1] 1.986979
  1. ¿El meteorólogo de Castilla-La Mancha puede afirmar que la temperatura media de Albacete es de 25ºC?

No, no puede afirmar que la temperatura media de Albacete es de 25ºC, ya que p valor es menor que alpha (2.811e-15 < 0.05) y, también, porque el estadístico es más pequeño que el valor crítico izquierdo, por lo tanto, está fuera del rango crítico (-9.486833 < -1.984).

Ejercicio 6 (Inferencia Estadística y Contraste de Hipótesis)

Se sabe que el tiempo que emplean los estudiantes de medicina en los estudios al dia,sigue una distribución aproximadamente normal con una desviación de 2 horas. Tomamos una muestra de 22 estudiantes y obtenemos que el tiempo de estudio promedio es de 5 horas.

Calcula un intervalo de confianza unilateral por la derecha y otro por la izquierda con una confianza del 95%.

x_barra = 5

sigma=2

n=22

alpha=0.05

¿ (Zα/2)? (valor critico)

qnorm(1-alpha/2)
## [1] 1.959964

Por la derecha: 

5 + 1.96*2/sqrt(22)
## [1] 5.835747

Por la izquierda:

5 - 1.96*2/sqrt(22)
## [1] 4.164253

2.¿Qué tamaño muestral es necesario para estimar la media con un error de ± 0.5 y con una confianza del 90%?

el valor critico es: 

alpha=0.1
z<-qnorm(1- alpha/2)
z
## [1] 1.644854

y el tamaño es :

((z^2)*2^2)/(0.5^2)
## [1] 43.2887

3.Hemos observado en una muestra que 30 estudiantes de 100 estudian más de 5 horas al día en promedio. Para ello, se desea calcular un intervalo de confianza del 80% para esta proporción.

alpha=0.2 p=30/100=0.3 1-p=0.7

la Z es (valor critico):

alpha=0.2
qnorm(1-alpha/2)
## [1] 1.281552

El intervalo es –>

z<-qnorm(1-alpha/2)
p=0.3
p- 1.281 * sqrt(p*0.7/100)
## [1] 0.2412972
p+ 1.281 * sqrt(p*0.7/100)
## [1] 0.3587028

El intervalo es : (0.2412 , 0.3587)

4.Un investigador ha observado que el tiempo medio de estudio diario de los estudiantes de medicina en Albacete es de 8 horas. El investigador toma una muestra de 50 días y encuentra que la media es de 4 horas, con una desviación de 1.5 horas.

Calcula el estadístico. 

set.seed(1)
x_barra=4
mu=8
sigma=1.5
n=50
Z=(media-mu)/((sigma)/sqrt(n))
Z
## [1] 70.71068

Ejercicio 7 (Contraste de hipótesis, parametrico y no paramétrico)

El Real Madrid ha ganado la liga española nuevamente, en la cual ha sido muy superior y se ha hablado mucho. Un periodista A afirma que para él el Barcelona es superior a el Real Madrid, a lo que otro periodista B le ha contestado negándole eso, mostrándole el dato de goles esperados del Real Madrid vs Barcelona, de los últimos 10 partidos en competiciones oficiales, el cual es el siguiente: 2.14, 3.07, 1.15, 3.57, 1.63, 1.35, 2.24, 2.01,1.56, 2.74, donde todo esto sigue una distribución normal con desviación típica 4, nivel se significación 0.05 y una media de 2.15.

  1. Plantea un contraste de hipótesis para afirmar que la media de goles esperados es 2.07.

\(H0: \mu = 2.07\), \(H1: \mu != 2.07\) Donde tenemos que H0 es la hipótesis nula, la cual es que la media de goles esperados del Real madrid vs Barcelona es 2.07 y H1 es la hipótesis alternativa, la cual sería que la media es distinta a 2.07.

2.Calcula el p-valor y la región crítica respectivamente. 

n=10
media=2.15
sigma=4
muestra=rnorm(n, media, sigma)
t.test(muestra, mu=2.07)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  muestra
## t = 0.6166, df = 9, p-value = 0.5528
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 2.07
## 95 percent confidence interval:
##  0.4452209 4.9124013
## sample estimates:
## mean of x 
##  2.678811
n=10
alpha=0.05
critico_izq=qt(alpha/2,n-1)
critico_der=qt(1-alpha/2,n-1)

critico_der
## [1] 2.262157
critico_izq
## [1] -2.262157

3.El periodista A responde con los goles esperados del Barca en esos últimos 10 partidos: 1.40, 1.17, 1.02, 1.78, 2.01,1.24,2.37,1.54, 3.65, 2.32. Comprueba con todos los datos, usando el test de Wilcoxon, para contrastar que el Real Madrid tiene mas goles esperados que el Barcelona.

  1. Vamos a usar α = 0.05 para el contraste. H0: Ambos tienen los mismos goles esperados. H1: El Real Madrid tiene más goles esperados que el Barcelona.

  2. Vamos a ordenar las muestras y calculamos sus rangos.

Real Madrid | Barcelona | k1 | k2 |

              1.02                  0
1.15                      1
              1.17                  1
              1.24                  1
1.35                      3
              1.40                  2
              1.54                  2
1.56                      5
1.63                      5
              1.78                  4
2.01          2.01       6.5       4.5
2.14                      7
2.24                      7
              2.32                  7
              2.37                  7
2.74                      9
3.07                      9
3.57                      9
              3.65                  10
k1=1+3+5+5+6.5+7+7+9+9+9
k2=0+1+1+2+2+4+4.5+7+7+10
k1
## [1] 61.5
k2
## [1] 38.5
k1+k2
## [1] 100

Obtenemos que k1+k2=n1n2. 100=1010. Al tener un test unilateral, tenemos que comprobar la direccionalidad, y podemos observar que k1>k2 entonces se cumple la direccionalidad y podemos seguir adelante. Valor del estadístico contraste-> Us=61.5. Ahora debemos calcular Uα/2:

qwilcox(0.95,10,10)
## [1] 72

Por lo tanto, tenemos que Uα/2>Us, asique no podriamos rechazar la hipótesis H0,por lo que podemos decir que tienen los mismos goles esperados ambos equipos.

4.Comprueba la hipotesis anterior pero utlizando el test de Wilcoxon, teniendo una confianza del 94%. 

RM<-c(2.14, 3.07, 1.15, 3.57, 1.63, 1.35, 2.24, 2.01,1.56, 2.74)
BCN<-c(1.40, 1.17, 1.02, 1.78, 2.01,1.24,2.37,1.54, 3.65, 2.32)
wilcox.test(RM, BCN, alternative = "greater", conf.level = 0.94)
## Warning in wilcox.test.default(RM, BCN, alternative = "greater", conf.level =
## 0.94): cannot compute exact p-value with ties
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  RM and BCN
## W = 61.5, p-value = 0.2028
## alternative hypothesis: true location shift is greater than 0

Obtenemos que p-valor es mayor que alpha, asique tampoco podriamos rechazar la hipótesis H0, por lo que diriamos que no hay diferencias entre ellos.

Ejercicio 8 (ANOVA)

En España destacan 4 técnicas de estudios entre las más exitosas que utilizan los estudiantes para estudiar, el primero de ellos, es el método Pomodoro, que consiste en alternar sesiones de trabajo concentrado con descansos breves y frecuentes para así evitar el cansansio y la desconcentración. El segundo método es Flowtime, proporciona un seguimiento del tiempo, sin hacer descansos hasta haber terminado esa tarea. El tercero es el método Feynman y consiste en la explciación de conceptos complejos, a través de un lenguaje sencillo con el fin de que el estudiante sea capaz de transmitirlo a todo tipo de público. Y por último, el método Cornell consiste en dividir un folio en cuatro partes y anotar ideas claves, notas de clase, resumen con lo fundamental y dudas. Para ello, utilizaremos estos cuatro métodos y evaluaremos el rendimiento de estudiantes en la asignatura de estadistica con la siguiente tabla que expresa las calificaciones de estos estudiantes del 0 al 100.

Pomodoro: 85, 75, 85, 78, 90

Flowtime: 72, 85, 78, 90, 76

Feynman: 88, 92, 86, 84, 95

Cornell: 70, 79, 82, 75, 83

1.Calcula el estadístico. 

Pomodoro <- c(85, 75, 85, 78, 90)
Flowtime <- c(72, 85, 78, 90, 76)
Feynman <- c(88, 92, 86, 84, 95)
Cornell <- c(70, 79, 82, 75, 83)
datos =c(Pomodoro,Flowtime,Feynman,Cornell)

#Creamos un vector de factores
metodos=factor(rep(c("Pomodoro", "Flowtime", "Feynman", "Cornell"), c(5,5,5,5)))

summary(aov(datos~metodos))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## metodos      3  348.0   116.0   3.382 0.0442 *
## Residuals   16  548.8    34.3                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

El valor del estadístico es: 3.382.

2.Calcula P-valor.

Del summary anterior obtenemos el P-valor que es: 0.0442.

3.Calcula el límite superior de confianza de las calificaciones de los estudiantes que han utilizado el método Cornell.

media<-mean(Cornell)
valor_t<-pt(0.05/2, 20-3)
sp<-sqrt(34.3)
ErrorEst<- valor_t * (sp/sqrt(5))
media + ErrorEst
## [1] 79.13532

4.Compara la variabilidad de los 4 métodos de estudio y, además, representa dichos métodos con un diagrama de cajas.

cofvar_pomodoro<-(sd(Pomodoro)/mean(Pomodoro))*100
cofvar_flowtime<-(sd(Flowtime)/mean(Flowtime))*100
cofvar_feynman<-(sd(Feynman)/mean(Feynman))*100
cofvar_cornell<-(sd(Cornell)/mean(Cornell))*100
cofvar_pomodoro
## [1] 7.294126
cofvar_flowtime
## [1] 9.008674
cofvar_feynman
## [1] 5.024872
cofvar_cornell
## [1] 6.88591

El método que tiene mayor variabilidad es el método Flowtime(9.008674) lo que significa que las calificaciones de los estudiantes que utilizan este método están más dispersas, y el que tiene menor variabilidad es el método Feynman(5.024872), que indica que las calificaciones de estos estudiantes están mas concentradas alrededor del promedio.

diagrama<-data.frame(Pomodoro,Flowtime,Feynman,Cornell)
boxplot(diagrama,main = "Distribuición de Calificaciones por Método de Estudio",ylab = "Calificaciones")

***

Ejercicio 9 (Regresión lineal)

Hemos realizado un estudio ya que queremos saber la relación que existe entre la cantidad de horas empleadas en hacer ejercicio semanalmente y el nivel de energia en una muestra de 40 personas. Por tanto hemos recopilado los siguientes estadísticos:

n=40

∑yi=555

∑y^2i=9355

∑xi=90

∑x^2i=1080

∑xiyi=1530

1.Calcula las estimaciones de mínimos cuadrados de la pendiente y la ordenada en el origen. 

n<-40
yi<-555
yi2<-9355
xi<-90
xi2<-1080
xiyi<-1530
#calculamos primero los coeficientes de regresión lineal
b1<-(n*xiyi-xi*yi)/(n*xi2-xi^2)
b0<-(yi-b1*xi)/n
cat("Estimacion de la pendiente es: ",b1)
## Estimacion de la pendiente es:  0.3205128
cat("Estimacion de la ordenada en el origen",b0)
## Estimacion de la ordenada en el origen 13.15385

2.Utiliza la ecuación de la recta ajustada para predecir el nivel de energía cuando una persona realiza 5 horas de ejercicio en una semana. 

horas_ejer_semana<-5
energia<-b0+b1*horas_ejer_semana
cat("La predicción del nivel de energia es: ",energia)
## La predicción del nivel de energia es:  14.75641
  1. Y la energia percibida si realiza 10 horas de ejercicio semanal. 
horas_ejer_semana<-10
energia<-b0+b1*horas_ejer_semana
cat("La predicción del nivel de energia es: ",energia)
## La predicción del nivel de energia es:  16.35897

4.¿Cual es el cambio en la energia percibida cuando las horas de ejercicio semanal aumentan en 1 hora? 

cambio<-b1

cat("El cambio es: ",cambio)
## El cambio es:  0.3205128