Probabilidad

En una carrera de coches participan tres escuderías: Ferrari, Mercedes y Red Bull. El 40% de los coches son de Ferrari, el 35% de Mercedes y el 25% de Aston Martin. El porcentaje de coches que abandonan la carrera por avería es del 5% para Ferrari, 3% para Mercedes y 7% para Aston Martin. Se elige un coche al azar. Calcular las siguientes probabilidades:

  1. Que abandone la carrera por avería. \(P(AV) = P(F)*P(AV/F) + P(M)*P(AV/M) + P(AM)*P(AV/AM) = 0.4*0.05 + 0.35*0.03 + 0.25*0.07 = 0.048\)

  2. Que no abandone la carrera por avería. Sabemos que es \(P(\overline{AV})= 1 - P(AV) = 1 - 0.048 = 0.952\)

  3. Si resulta que el coche abandona la carrera por avería, ¿qué probabilidad tiene de que sea de Aston Martin?

    \(P(AM/AV)=\frac{P(AM \cap AV)}{P(AV)}=\frac{P(AM)*P(AV/AM)}{P(AV)}=\frac{0.25*0.07}{0.048}=\frac{0.0175}{0.048}= 0.364583333\)

  4. Si resulta que el coche no abandona la carrera por avería, ¿qué probabilidad tiene de que sea de Mercedes?

    \(P(M/\overline{AV})=\frac{P(M \cap \overline{AV})}{P(\overline{AV})}=\)
    (sabemos que \(P(M)=P(M\cap AV)+P(M \cap\overline{AV})\), y despejando \(P(M \cap\overline{AV})=P(M)-P(M\cap AV))\)

    \(=\frac{P(M)-P(M \cap AV)}{P(\overline{AV})}=\frac{P(M)-P(M)*P(AV \cap M)}{P(\overline{AV})}=\frac{0.35 - 0.35*0.03}{0.952}= 0.356617\)
    o bien
    \(P(M/\overline{AV})=\frac{P(M \cap \overline{AV})}{P(\overline{AV})}=\frac{P(M)*P(\overline{AV}/M)}{P(\overline{AV})}=\frac{0.35*0.97}{0.952}=0.356617\)

Variable aleatoria

En una liga de fútbol, se seleccionan 4 equipos al azar para realizar un estudio sobre el número de partidos ganados en una temporada. Sea X una variable aleatoria discreta que representa el número de equipos que ganaron más de 10 partidos en la temporada, con los valores posibles x=0,1,2,3,4.Además sabemos que:

\(P(X=0)=0.1\)

\(P(X=1)=0.3\)

\(P(X=2)=0.3\)

\(P(X=3)=0.2\)

\(P(X=4)=0.1\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 equipos ganen más de 10 partidos?

\(P(X\geq 2)\)=\(P(X=2)\) + \(P(X=3)\) + \(P(X=4)\)

sum(0.3,0.2,0.1)
## [1] 0.6
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 equipos no ganen mas de 10 partidos?

\(P(X\leq 3)\)=\(P(X=0)\) + \(P(X=1)\) + \(P(X=2)\) + \(P(X=3)\)

sum(0.1,0.3,0.3,0.2)
## [1] 0.9

  1. Calcula la probabilidad de que haya mas de 2 equipos que ganen mas de 10 partidos sabiendo que hay mas de uno que los gana.

\(P(X> 2/X\geq1)\frac{P(X>3)}{P(X\geq1)}=\frac{P(X>2)}{P(X\geq1)}\)

Sabemos que: \(P(X>2) = 1-P(X\leq2) = 1-(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\)

Y a su vez:\(P(X\geq1) = 1-P(X<1)\) = \(1-P(X=0)\)

(1-sum(0.1,0.3,0.3))/(1-0.1)
## [1] 0.3333333
  1. Valor esperado de X.

Para obtenerlo tenemos que multiplicar cada valor de x por su valor de probabilidad y sumarlos todos,

\(\mu_{x}=0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) + 4*P(X=4)\)

sum(0*0.1,1*0.3,2*0.3,3*0.2,4*0.1)
## [1] 1.9

***

Distribucion Normal

Se sabe que la presión de los balones que se usan en la final de la Champions League sigue una distribución normal con media 0.8 atm y desviación estándar 0.24 atm.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un balón sea menor o igual que 0.6 atm?

    \(P(X\leq 0.6)=\)

    pnorm(0.6,0.8,0.24)
    ## [1] 0.2023284

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un balón se encuentre entre 0.7 y 0.9 atm?
    \(P(0.9 \leq X\leq 0.7)=\)

pnorm(0.9,0.8,0.24)-pnorm(0.7,0.8,0.24)
## [1] 0.3230778
  1. Calcula la mediana de la variable X. ¿Encuentras algo interesante?
    Tenemos que calcular M tal que P(X<M)=0.5
qnorm(0.5,0.8,0.24)
## [1] 0.8

Sabemos que si X sigue una Distribución Normal, la mediana y la media coinciden.

  1. Calcula el cuantil del 20%.
    Tenemos que calcular M tal que P(X<M)=0.2
qnorm(0.2,0.8,0.24)
## [1] 0.5980109
  1. \(P(X \leq 0.9 / X\geq 0.5)\)
    \(P(X \leq 0.9 / X\geq 0.5)=\frac{P(X \leq 0.9 \cap X\geq0.5)}{P(X \geq 0.5)}=\frac{P(0.5 \leq X\leq 0.9)}{1-P(X \leq 0.5)}\)=(pnorm(0.9,0.8,0.24)-pnorm(0.5,0.8,0.24))/(1-pnorm(0.5,0.8,0.24))= 0.6215564

Inferencia estadistica

Un agrónomo está investigando la productividad de un nuevo tipo de fertilizante en el crecimiento de las plantas de sandia. La productividad se mide en términos de aumento de la masa de los frutos y se distribuye aproximadamente de manera normal, con una varianza de 800 g^2. Al tomar una muestra aleatoria de 15 plantas, se encuentra que la media muestral del aumento de masa es de 2500 g.

  1. Construir un intervalo de confianza del 95% para la productividad promedio del fertilizante en el aumento de la masa de los frutos
    Utilizaremos la formula para obtener el intervalo siendo la desviacion tipica conocida
    Mediante R, declaramos los datos conocidos
media=2500
alpha=0.05
n=15
sigma=sqrt(800)

Y resolvemos con la formula:

media-qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2485.686
media+qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2514.314

Por tanto el intervalo es: (2485.686, 2514.314)

  1. Construir un intervalo de confianza del 99% para la productividad promedio del fertilizante. Comparar el ancho de este intervalo de confianza con el ancho encontrado en el apartado anterior.
    Realizamos lo mismo que en el anterior apartado, pero en este caso nuestro nivel de significacion es 0.01:
media=2500
alpha=0.01
n=15
sigma=sqrt(800)

Y resolvemos con la formula:

media-qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2481.189
media+qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2518.811

Por tanto el intervalo es: (2481.189, 2518.811)

En conclusión,utilizando un α menor obtenemos un ancho de intervalo mayor con el que dejamos fuera menos observaciones.

  1. Se desea estimar la productividad del fertilizante con un error estándar menor que 20 g para un nivel de confianza del 99%. ¿Qué tamaño de muestra se debe emplear para este fin?
    Queremos el resultado de n en esta fórmula:
    \(z_{\alpha/2} * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<20\)
    Siendo \(z_{\alpha/2}\):
qnorm(1-(0.01/2))
## [1] 2.575829

Por tanto sustituimos en la formula y resolvemos:
\(2.575829 * \frac{\sqrt{800}}{\sqrt{n}}<20\)
\((2.575829 * \frac{\sqrt{800}}{20})^2<n\)

(2.575829 * (sqrt(800)/20))^2
## [1] 13.26979

En consecuencia, necesitamos un tamaño de muestra de al menos 14

Contraste de hipótesis

Tenemos los siguientes datos de pichichis de la Liga Española de fútbol que forman parte de una población normal: 26,28,29,30,32,33,34,35

  1. Plantea el contraste para saber si la media es 31
    Planteamos el siguiente contraste:
    \(H_{0}: \mu = 31\)
    \(H_{1}:\mu \neq 31\)

  2. Estudia el anterior contraste . ¿Crees que la media es 31?
    p-value = 0.9134

Muestra=c(26,28,29,30,32,33,34,35)
t.test(Muestra,mu=31)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Muestra
## t = -0.11271, df = 7, p-value = 0.9134
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 31
## 95 percent confidence interval:
##  28.2526 33.4974
## sample estimates:
## mean of x 
##    30.875

Como el valor de p-valor>α no existe evidencia en contra de Ho. Si podemos decir que la media es 31 y las diferencias son debidas al azar.

Contraste de hipótesis

Un analista deportivo está investigando si un famoso delantero mantiene su promedio de goles por partido de 0.5 en la actual temporada. Para ello, se registra el número de goles marcados por el jugador en 20 partidos consecutivos. La media de goles por partido de la muestra es de 0.6 con una desviación típica de 0.2.

Para determinar si el jugador ha mantenido su rendimiento, planteamos el siguiente contraste:
\(H_{0}: \mu = 0.5\)
\(H_{1}:\mu \neq 0.5\)

Media_muestra = 0.6
desviacion = 0.2


#Como conocemos σ usamos zs = 

zs = (Media_muestra-0.5)/(desviacion/sqrt(20))

zs
## [1] 2.236068
# Nos encontramos en un test bilateral en la que α se encuentra en la parte derecha de la distribución, por lo que p-valor se calcula como:
p_valor = 2*(1-pnorm(abs(zs)))

p_valor
## [1] 0.02534732

Como el valor de p-valor<α existe evidencia estadistica en contra de Ho. Podemos decir que ha no mantenido su promedio de goles ————————————————————————

Test paramétrico y no paramétrico

En el mundo de la Fórmula 1, se está evaluando la eficiencia de dos pilotos, A y B, en términos de la variabilidad de sus tiempos de vuelta. Se considera importante que el tiempo de vuelta sea lo más predecible posible, es decir, que su variabilidad sea mínima. Para ello, se recopilan muestras independientes de los tiempos de vuelta de ambos pilotos corriendo en el mismo circuito. Los resultados (en segundos) son los siguientes: Tiempos de vuelta del piloto A: 85, 86, 84, 85, 87, 86, 85 Tiempos de vuelta del piloto B: 88, 89, 87, 88, 90, 89, 88

Se sabe que los tiempos de vuelta siguen una distribución normal.

  1. Se desea saber si hay evidencia suficiente para afirmar que la variabilidad en los tiempos de vuelta de uno de los pilotos es significativamente diferente de la del otro.
    Planteamos un contraste para dos poblaciones sabiendo que el parametro a contrastar será la varianza:
    \(H_{0}: \sigma1 = \sigma2\) 
    \(H_{1}: \sigma1 \neq \sigma2\)

En primer lugar cargamos los datos en R:

A=c(100, 95, 102, 99, 102, 94, 105)
B=c(95, 98, 100, 95, 97, 96, 98)

Obtenemos el p-valor:

var.test(A,B)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  A and B
## F = 4.6857, num df = 6, denom df = 6, p-value = 0.08212
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   0.8051392 27.2697165
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           4.685714

Como el p-valor= 0.08212 > alpha, no existe evidencia estadistica para decir que la variablidad en los tiempos es diferente y por tanto las diferencias son debidas al azar

  1. Se desea saber si hay evidencia suficiente para afirmar que los tiempos medios son similares.
    Planteamos un contraste para dos poblaciones sabiendo que el parametro a contrastar será la media:
    \(H_{0}: \mu1 = \mu2\)
    \(H_{1}:\mu1 \neq \mu2\)
    Obtenemos el p-valor sabiendo que la varianzas son iguales gracias al apartado anterior:
t.test(A,B,var.equal= TRUE)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  A and B
## t = 1.5628, df = 12, p-value = 0.1441
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.013684  6.156541
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  99.57143  97.00000

Como el p-valor= 0.1441 > alpha, no existe evidencia estadistica para decir que las medias de los tiempos son diferentes y por tanto las diferencias son debidas al azar

  1. Si suponemos ahora que los tiempos no siguen una distribución normal, ¿qué diríamos en el apartado anterior?
    En este caso al no seguir una distribucion normal tendremos que realizar un test no paramétrico. En particular el Wilcoxon test:
wilcox.test(A,B)
## Warning in wilcox.test.default(A, B): cannot compute exact p-value with ties
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  A and B
## W = 34.5, p-value = 0.2212
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Como el p-valor= 0.2212 > alpha, no existe evidencia estadistica para decir que las medias de los tiempos son diferentes y por tanto las diferencias son debidas al azar,es decir, la misma respuesta del apartado anterior.

Anova

Un grupo de chefs realizó una prueba en una escuela culinaria para comparar cinco técnicas de preparación de salsas, las cuales estaban categorizadas según su nivel inicial de sabor. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla a continuación.
¿Proporcionan los datos, a un nivel de significación α=0.05, suficiente evidencia para concluir que existen diferencias entre las técnicas?

Técnica
A B C D E
Nivel de sabor Insípido 55 65 57 65 61
Muy Suave 59 67 60 77 66
Suave 64 75 63 78 67
Medio 67 78 65 86 71

Se trata de un análisis de un diseño por bloques aleatorizados. Las técnicas son los grupos y los niveles de sabor los bloques.
Supondremos que se cumplen las hipótesis para el análisis de la varianza y planteamos estos dos contrastes:

Para los grupos:

\(H_{0}:\) No hay diferencias entre técnicas
\(H_{1}:\) No se cumple \(H_{0}\) 

Para los bloques:

\(H_{0}:\) No hay diferencias entre los niveles de sabor
\(H_{1}:\) No se cumple \(H_{0}\)

En primer lugar cargamos los datos en R:

datos=c(55, 65, 57, 65, 61, 59, 67, 60, 77, 66, 64, 75, 63, 78, 67, 67, 78, 65, 86, 71)

Planteamos los grupos y los bloques:

tecnica=factor((rep(c("A","B","C","D","E"),4)))
nivel=factor(c(rep("I",5),rep("MS",5),rep("S",5),rep("M",5)))

Obtenemos la tabla ANOVA:

summary(aov(datos~tecnica+nivel))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## tecnica      4  698.2  174.55   29.84 3.75e-06 ***
## nivel        3  443.8  147.93   25.29 1.79e-05 ***
## Residuals   12   70.2    5.85                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Los valores de F1 y F2 son:

summary(aov(datos~tecnica+nivel)) [[1]]$'F value'
## [1] 29.83761 25.28775       NA

Los p-valor de los grupos y de los bloques son:

summary(aov(datos~tecnica+nivel)) [[1]]$'Pr(>F)'
## [1] 3.751307e-06 1.788315e-05           NA

Como 3.751307e-06<0.05 se rechaza la H0 ya que existe evidencia estadística en contra de H0
Como 1.788315e-05<0.05 se rechaza la H0 ya que existe evidencia estadística en contra de H0

En conclusión, INFLUYE tanto la técnica como el nivel de sabor

Regresion lineal

Se desea investigar la relación entre la edad de un automóvil, medida en años, y su valor de reventa, expresado en euros. Para ello, se ha recopilado un conjunto de datos que incluye la edad de varios automóviles y su correspondiente valor de reventa.

Datos:

Edad del Automóvil (años) Valor de Reventa (euros)
2 18000
4 15000
6 12000
8 10000
10 8000
12 6000

¿Existe una relación lineal entre la edad de un automóvil y su valor de reventa?

# Cargar datos
edad_automovil= c(2, 4, 6, 8, 10, 12)
valor_reventa= c(18000, 15000, 12000, 10000, 8000, 6000)

# Calcular coeficiente de correlación
correlation = cor(edad_automovil, valor_reventa)
correlation
## [1] -0.9945292
plot(edad_automovil, valor_reventa)

Vemos que el coeficiente de correlación es mayor de 0.8 y además es muy cercano a 1 por lo que podemos decir que existe una relación lineal fuerte entre x e y. También podemos ver que el signo es negativo por lo que la pendiente de la recta también sera negativa. Además si vemos la relación graficada se ve claramente que se ajusta muy bien a una recta

¿Calcula es la ecuación de la recta de regresión lineal que modela la relación entre la edad del automóvil y su valor de reventa?

#valor de reventa(y) y edad automovil(x)

summary(lm(valor_reventa ~ edad_automovil))
## 
## Call:
## lm(formula = valor_reventa ~ edad_automovil)
## 
## Residuals:
##       1       2       3       4       5       6 
##  571.43  -57.14 -685.71 -314.29   57.14  428.57 
## 
## Coefficients:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)    19800.00     485.01   40.82 2.15e-06 ***
## edad_automovil -1185.71      62.27  -19.04 4.48e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 521 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9891, Adjusted R-squared:  0.9864 
## F-statistic: 362.6 on 1 and 4 DF,  p-value: 4.481e-05
ecuacion <- lm(valor_reventa ~ edad_automovil)

# Coeficientes de la ecuación de la recta
pto_corte <- coef(ecuacion)[1]
pendiente <- coef(ecuacion)[2]

# Mostrar ecuación de la recta
cat("La ecuación de la recta es: y =", pendiente, "* x +", pto_corte)
## La ecuación de la recta es: y = -1185.714 * x + 19800

¿Cuál sería el valor esperado de reventa para un automóvil que tiene 7 años de antigüedad?

predict(lm(valor_reventa ~ edad_automovil), data.frame(edad_automovil = 7))
##     1 
## 11500