Trabajo Grupo D

titulo:

1.Probabilidad

Supongamos que estamos de safari por África, y a un turista inconsciente, llamémosle Rafael, se le ocurre acercarse a una pareja de leones. Estando en contexto tenemos los siguientes sucesos:

La probabilidad de que te ataque el león macho (P(A)) es de 0.7, lo que quiere decir que Rafael tiene un 70% de probabilidad de pasar a mejor vida.

La probabilidad de que tanto el león macho como la hembra ataquen al turista es (P(AUB)) es de 0.9, ya que estos animales ante una situación de tensión habitúan a defenderse juntos.

La probabilidad de que al menos uno de los dos leones ataque a nuestro inocente turista Rafael (P(A∩B)) es de 0.5.

  1. Explica que es B y calcula su probabilidad.

P(B) es la probabilidad de que la leona ataque a Rafael. Sabiendo que \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\), despejando obtenemos que \(P(B)=0.3\)

  1. Calcula y explica que es \(P(A^c\cap B^c)\).

\(A^c\) y \(B^c\) son complementarios, lo que quiere decir que la probabilidad de la union de ambos sucesos es la probabilidad de que ambos no ocurran por lo tanto \(P(A^c \cup B^c)\) es la probabilidad de que al menos uno ocurra.

Como \(P(A^c \cup B^c)=P(A^c)+P(B^c)-P(A^c \cap B^c)\), sabemos que \(P(A^c)=1-P(A)=0.3\) de igual modo que \(P(B^c)=0.7\), y también sabemos que \(P(A^c \cap B^c)=1-P(A \cup B)=0.1\), por tanto: \(P(A^c \cup B^c)=0.3+0.7-0.1=0.9\)

  1. Calcula y explica que es \(P(A/B)\)

\(P(A/B)\) es la probabilidad de que se de el suceso A una vez que B ya ha ocurrido. \(P(A / B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=0.1/0.3=0.33\)

  1. Son independientes los sucesos A y B.

No son independientes, para serlo debe cumplirse que \(P(A \cap B)=0.5\) sea igual a \(P(A)P(B)=0.6*0.5=0.21\), también lo sabíamos de antes porque \(P(A/B)\) no es igual a \(P(A)\)

2.Variable aleatoria exponencial

En la cafeteria de la universidad se sirven muchos bocadillos a lo largo del día, sabemos que el tiempo que pasa desde que lo pagas hasta que lo recibes sigue una distribución exponencial con una media de 7 minutos, es decir X=7.

  1. Calcula la probabilidad de que te entreguen el bocadillo en 3 o menos minutos.

\(P(X\leq 3)\)=

pexp(3,1/7)
## [1] 0.3485609

También se puede poner así \(P(X\leq 3)\)=pexp(3,1/7)=0.3485609

  1. Calcula la probabilidad de que tarden en entregarte el bocadillo más de 7 minutos.

\(P(X> 7)=1-P(X\leq 7)\)=1-pexp(7,1/7)=0.3678794

  1. Calcula la probabilidad de que tarden en entregarte el bocadillo más de 7 minutos, después de que te diga la camarera que va a tardar más de 3 minutos.

\(P(X> 7/X>3)\frac{P(X>7)}{P(X>3)}=\frac{1-P(X<7)}{1-P(X<3)}\)=(1-pexp(7,1/7))/(1-pexp(3,1/7))=0.5647181

  1. Calcula la mediana(M) de los tiempo de espera de bocadillos. Tenemos que calcular M tal que \(P(X<M)=0.5\) con r se puede hacer directamente así, qexp(0.5,1/7)=4.8520303. ***

3.Estadística descriptiva

Para ilustrar un ejemplo de estadística descriptiva, usaremos una base de datos ya establecida en R (mtcars) y trabajaremos sobre esta misma. En esta, vienen recogidos datos automovilísticos sobre 32 vehículos diferentes. Algunas de estas características son el peso (wt) , los caballos de potencia (hp) , los galones por milla (gpt) , el tipo de transmision , el numero de engranajes de la transmision (gear), numero de carburadores (carb), lo que tarda en recorrer 1/4 de milla (qsec) etc…

  1. Proporciona con R resumen de los datos y mostrar los coches que tienen menos de 6 cilindros.

  2. Usando la funcion plot, hacer un diagrama de dispersión entre las ‘mpg’ y ‘cyl’

  3. Diagrama de cajas (boxplot) sobre los caballos de potencia y obtener el vehículo con mas caballos de fuerza (hp)

##Base de datos

mtcars
##                      mpg cyl  disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4           21.0   6 160.0 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag       21.0   6 160.0 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710          22.8   4 108.0  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive      21.4   6 258.0 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout   18.7   8 360.0 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant             18.1   6 225.0 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1
## Duster 360          14.3   8 360.0 245 3.21 3.570 15.84  0  0    3    4
## Merc 240D           24.4   4 146.7  62 3.69 3.190 20.00  1  0    4    2
## Merc 230            22.8   4 140.8  95 3.92 3.150 22.90  1  0    4    2
## Merc 280            19.2   6 167.6 123 3.92 3.440 18.30  1  0    4    4
## Merc 280C           17.8   6 167.6 123 3.92 3.440 18.90  1  0    4    4
## Merc 450SE          16.4   8 275.8 180 3.07 4.070 17.40  0  0    3    3
## Merc 450SL          17.3   8 275.8 180 3.07 3.730 17.60  0  0    3    3
## Merc 450SLC         15.2   8 275.8 180 3.07 3.780 18.00  0  0    3    3
## Cadillac Fleetwood  10.4   8 472.0 205 2.93 5.250 17.98  0  0    3    4
## Lincoln Continental 10.4   8 460.0 215 3.00 5.424 17.82  0  0    3    4
## Chrysler Imperial   14.7   8 440.0 230 3.23 5.345 17.42  0  0    3    4
## Fiat 128            32.4   4  78.7  66 4.08 2.200 19.47  1  1    4    1
## Honda Civic         30.4   4  75.7  52 4.93 1.615 18.52  1  1    4    2
## Toyota Corolla      33.9   4  71.1  65 4.22 1.835 19.90  1  1    4    1
## Toyota Corona       21.5   4 120.1  97 3.70 2.465 20.01  1  0    3    1
## Dodge Challenger    15.5   8 318.0 150 2.76 3.520 16.87  0  0    3    2
## AMC Javelin         15.2   8 304.0 150 3.15 3.435 17.30  0  0    3    2
## Camaro Z28          13.3   8 350.0 245 3.73 3.840 15.41  0  0    3    4
## Pontiac Firebird    19.2   8 400.0 175 3.08 3.845 17.05  0  0    3    2
## Fiat X1-9           27.3   4  79.0  66 4.08 1.935 18.90  1  1    4    1
## Porsche 914-2       26.0   4 120.3  91 4.43 2.140 16.70  0  1    5    2
## Lotus Europa        30.4   4  95.1 113 3.77 1.513 16.90  1  1    5    2
## Ford Pantera L      15.8   8 351.0 264 4.22 3.170 14.50  0  1    5    4
## Ferrari Dino        19.7   6 145.0 175 3.62 2.770 15.50  0  1    5    6
## Maserati Bora       15.0   8 301.0 335 3.54 3.570 14.60  0  1    5    8
## Volvo 142E          21.4   4 121.0 109 4.11 2.780 18.60  1  1    4    2

##Apartado 1)

Resumen de los datos:

summary(mtcars)
##       mpg             cyl             disp             hp       
##  Min.   :10.40   Min.   :4.000   Min.   : 71.1   Min.   : 52.0  
##  1st Qu.:15.43   1st Qu.:4.000   1st Qu.:120.8   1st Qu.: 96.5  
##  Median :19.20   Median :6.000   Median :196.3   Median :123.0  
##  Mean   :20.09   Mean   :6.188   Mean   :230.7   Mean   :146.7  
##  3rd Qu.:22.80   3rd Qu.:8.000   3rd Qu.:326.0   3rd Qu.:180.0  
##  Max.   :33.90   Max.   :8.000   Max.   :472.0   Max.   :335.0  
##       drat             wt             qsec             vs        
##  Min.   :2.760   Min.   :1.513   Min.   :14.50   Min.   :0.0000  
##  1st Qu.:3.080   1st Qu.:2.581   1st Qu.:16.89   1st Qu.:0.0000  
##  Median :3.695   Median :3.325   Median :17.71   Median :0.0000  
##  Mean   :3.597   Mean   :3.217   Mean   :17.85   Mean   :0.4375  
##  3rd Qu.:3.920   3rd Qu.:3.610   3rd Qu.:18.90   3rd Qu.:1.0000  
##  Max.   :4.930   Max.   :5.424   Max.   :22.90   Max.   :1.0000  
##        am              gear            carb      
##  Min.   :0.0000   Min.   :3.000   Min.   :1.000  
##  1st Qu.:0.0000   1st Qu.:3.000   1st Qu.:2.000  
##  Median :0.0000   Median :4.000   Median :2.000  
##  Mean   :0.4062   Mean   :3.688   Mean   :2.812  
##  3rd Qu.:1.0000   3rd Qu.:4.000   3rd Qu.:4.000  
##  Max.   :1.0000   Max.   :5.000   Max.   :8.000

Coches con menos de 6 cilindros:

mtcars[mtcars$cyl<6,]
##                 mpg cyl  disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Datsun 710     22.8   4 108.0  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Merc 240D      24.4   4 146.7  62 3.69 3.190 20.00  1  0    4    2
## Merc 230       22.8   4 140.8  95 3.92 3.150 22.90  1  0    4    2
## Fiat 128       32.4   4  78.7  66 4.08 2.200 19.47  1  1    4    1
## Honda Civic    30.4   4  75.7  52 4.93 1.615 18.52  1  1    4    2
## Toyota Corolla 33.9   4  71.1  65 4.22 1.835 19.90  1  1    4    1
## Toyota Corona  21.5   4 120.1  97 3.70 2.465 20.01  1  0    3    1
## Fiat X1-9      27.3   4  79.0  66 4.08 1.935 18.90  1  1    4    1
## Porsche 914-2  26.0   4 120.3  91 4.43 2.140 16.70  0  1    5    2
## Lotus Europa   30.4   4  95.1 113 3.77 1.513 16.90  1  1    5    2
## Volvo 142E     21.4   4 121.0 109 4.11 2.780 18.60  1  1    4    2

###Apartado 2)

Diagrama de dispersion:

plot(mtcars$mpg ~ mtcars$cyl,
xlab="cilindros", ylab="millas por galon",
main="Relacion entre cilindros y millas por galon")

####Apartado 3)

Diagrama de cajas de los caballos de fuerza:

boxplot(mtcars$hp,
        ylab="Caballos de fuerza",
        main="Caballos de fuerza en los coches de mtcars")

Coche con mas hp:

max(mtcars$hp)
## [1] 335

4.Distribuciones de probabilidad (Binomial)

\(X ≈ 𝐵𝑖(𝑛, 𝑝)\)

En este caso:

\(X ≈ 𝐵𝑖(14, 0.4)\)

  1. Calcula la probabilidad de que X sea igual a 3

\(P(X=3)\)=dbinom(3,14,0.4)=0.0845172

  1. Calcula la probabilidad de que X sea menor o igual a 3.

\(P(X\leq 3)\)=pbinom(3,14,0.4)=0.1243088

  1. Calcular la probabilidad de que x estre entre 2 y 5.

\(P(2\leq X\leq 5)=P(X\leq 5) - P(X\leq 1)\)=pbinom(5,14,0.4) - pbinom(1,14,0.4)=0.477757

  1. Calcular la probabilidad de que X sea mayor o igual que 3:

\(P(X\ge3)=1-P(X\leq 2)\)=1 - pbinom(2,14,0.4)=0.9602084

  1. Calcular el tercer cuantil (Q3) de la variable X:

En R se puede calcular directamente de la siguiente forma: \(Q3\)=qbinom(0.75,14,0.4)=7

  1. Calcular la probabilidad de que x sea menor o igual que 5, sabiendo que x es mayor o igual que 3

\(P(X\leq 5/X\ge3)=\frac{P(3\leq X\leq 5)}{P(X\ge3)}=\frac{P(X\leq 5)-P(X\leq 2)}{1-P(X\leq 2)}\)=(pbinom(5,14,0.4) - pbinom(2,14,0.4))/(1-pbinom(2,14,0.4))=0.4645481

5.Contraste paramétrico

El finde semana pasado, el grupo de D de estadística fuimos a hacer un estudio de los cubatas que bebía la gente en una noche de fiesta en la calle Concepción. En lo que nos poníamos a tono intuimos que la gente bebía una media de 6 cubatas. Tras preguntar a 25 personas, obtuvimos que la media estaba en 5 cubatas y 2 chupitos, vamos a suponer que un chupito son 0.25 cubatas, por lo que la media queda en 5.5 cubatas, y la desviación tipica muestral de 2. Alpha sabemos que es 0.05.

  1. ¿Que tipo de prueba estadística es la correcta para la prueba anterior?

    Deberiamos utilizar el test Z porque la muestra es considerablemente grande y conocemos la desvíacion típica.

  2. ¿Cual es la hipótesis nula y la hipótesis alternativa? La hipótesis nula es la afirmación a contrastar y la alternativa es la contraria. Con lo cual: la hipótesis nula es la media de cubatas que se beben en una noche, que es 6 y la hipótesis alternativa es la media de cubatas que se beben en una noche, que es menor que 6.

  3. ¿Cual sería el valor del estadístico de contraste y el p-valor?

Valor del estadístico de contraste
n=25
s=(2*sqrt(25/24))
z=(abs(5.5-6)) / (s/sqrt(n))
z
## [1] 1.224745
#P-valor
pvalor=(2*pnorm(-abs(z)))
pvalor
## [1] 0.2206714
Como p-valor es mayor que alpha, no se puede rechazar la hipótesis nula ya que no suficiente
evidencia estadística.
  1. ¿Podemos concluir que la mayoría de gente no beben mas de 6 cubatas? No podemos llegar a la conclusión de la pregunta, pero la media de esta muestra no difiere tanto con la media general estimada y cualquier diferencia puede ser debida al azar.

6.Contraste de hipotesis

Aprovechando la diversión de la nocturnidad fuimos a todos los locales de la calle Concepción. Preguntamos educadamente a los encargados el número de cubatas vendidos en la noche anterior. La noche anterior era viernes y no estaba en su máximo esplendor por lo que las cifras de ventas no fueron extremadamente altas. Las cifras en cada local fueron: 221, 232, 226, 215, 227, 234, 231, 220, 233, 214. Las ventas en los diferentes locales siguen una distribucuón normal con desviación típica de 6. Con un nivel de significación de 0.05, contrastamos si la media de ventas es igual a 222.

  1. Calcula la hipótesis nula y alternativa.

La hipótesis nula es H0 y la hipótesis alternativa es H1.

H0: la media de ventas es igual a 222 H1: la media de ventas no es igual a 222

\(H_0:\mu=222\) \(H_1:\mu\neq222\)

  1. Calcula la región crítica. Es un contraste bilateral para la media. \(\alpha=0.05\) \(1-\alpha=0.95\) \(z_\alpha/_2=1.96\) La región crítica es \((-∞,-1.96)\cup(1.96,+∞)\)

  2. Teniendo en cuenta el nivel de significación dado, ¿Se puede aceptar la hipótesis?

\(\mu_0=222\) \(s=6\) \(n=10\) Media muestral: 

x=(221+232+226+215+227+234+231+220+233+214)/(10)
x
## [1] 225.3

Estadístico test: 

x = 225.3
mu_0 = 222
s = 6
n = 10

z_s = (x-mu_0)/(s/(sqrt(n)))
z_s
## [1] 1.739253

Como \(1.739253 \in (-1.96, 1.96)\) como no está en la región crítica, las diferencias se deben al azar.

Llegamos a la conclusión que el numero medio de cubatas vendidos es 222.

7.Contraste de hipótesis, paramétrico y no paramétrico

Eres un investigador estudiando el efecto de un nuevo medicamento en la presión arterial. Tienes un grupo de 10 pacientes a los que se les administra el medicamento y mides su presión arterial antes y después del tratamiento.

Las mediciones son las siguientes (en mmHg):

Antes del tratamiento: 120, 125, 130, 128, 140, 135, 136, 129, 133, 127

Después del tratamiento: 115, 120, 125, 123, 135, 130, 132, 126, 130, 124

1.Formulación de las hipótesis: Define la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para ambas pruebas (paramétrica y no paramétrica).

Hipótesis nula (H0): 

-No hay diferencia en las medias/medianas  de la presión arterial antes y después del tratamiento.
 
 
 Hipótesis alternativa (H1): 

 -Hay una diferencia en las medias/medianas de la presión arterial antes y después del tratamiento.

2.Prueba paramétrica: Realiza una prueba t de muestras pareadas para ver si hay una diferencia significativa en las medias de la presión arterial antes y después del tratamiento. Calcula el valor t y el valor p.

  antes <- c(120, 125, 130, 128, 140, 135, 136, 129, 133, 127)
  despues <- c(115, 120, 125, 123, 135, 130, 132, 126, 130, 124)

  resultado_ttest <- t.test(antes, despues, paired = TRUE)
  print(resultado_ttest)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  antes and despues
## t = 14.333, df = 9, p-value = 1.673e-07
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  3.621353 4.978647
## sample estimates:
## mean difference 
##             4.3
  1. Prueba no paramétrica: Realiza una prueba de Wilcoxon para ver si hay una diferencia significativa en las medianas de la presión arterial antes y después del tratamiento. Calcula el valor de la estadística de Wilcoxon y el valor p.
resultado_wilcoxon <- wilcox.test(antes, despues, paired = TRUE)
## Warning in wilcox.test.default(antes, despues, paired = TRUE): cannot compute
## exact p-value with ties
print(resultado_wilcoxon)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  antes and despues
## V = 55, p-value = 0.004735
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
Como el valor p obtenido es menor que 0.05, entonces rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay una diferencia significativa en las medianas de la presión arterial antes y después del tratamiento.
  1. Interpretación de los resultados: Interpreta los resultados de ambas pruebas. ¿Puedes rechazar la hipótesis nula en alguno de los casos? ¿Qué conclusiones puedes sacar sobre el efecto del medicamento en la presión arterial? Si, ambos valores p son menores que 0.05, entonces podemos concluir que el medicamento tiene un efecto significativo en la presión arterial, tanto en términos de la media como de la mediana.

8.Anova

Para realizar el último trabajo de estadística, nos vimos obligados a volver a salir de fiesta. Esta vez llevamos el estudio estadístico al siguiente nivel, conseguimos un alcoholimetro y tomamos medidas del alcohol en aire espirado de la gente que nos ibamos encontrando, en distintos locales. Estos son los datos tomados en mg/l:

-Ohlala: 0.26 ,0.76 ,0.94 ,0.91 ,0.70 ,1.18 ,1.09 ,1.04 ,1.12

-Malasaña: 0.31 ,1.21 ,1.34 ,1.13 ,1.21 ,1.23 ,1.30 ,1.33 ,1.24

-Tekila: 0.30 ,1.45 ,2.58 ,1.39 ,1.15 ,1.03 ,1.47 ,1.19 ,1.02

-Bindi: 1.45 ,1.65 ,1.32 ,1.24 ,1.08 ,2.42 ,1.21 ,1.36 ,1.46

  1. Calcula el valor estadístico:
  2. Calcula el p-valor:
  3. Calcula el limite superior de confainza de las emisiones realizadas por el local Bindi.
  4. Crea un diagrama de cajas con los valores dados.
Ohlala = c(0.26 ,0.76 ,0.94 ,0.91 ,0.70 ,1.18 ,1.09 ,1.04 ,1.12)
Malasaña = c(0.31 ,1.21 ,1.34 ,1.13 ,1.21 ,1.23 ,1.30 ,1.33 ,1.24)
Tekila = c(0.30 ,1.45 ,2.58 ,1.39 ,1.15 ,1.03 ,1.47 ,1.19 ,1.02)
Bindi = c(1.45 ,1.65 ,1.32 ,1.24 ,1.08 ,2.42 ,1.21 ,1.36 ,1.46)
datos = c(Ohlala, Malasaña, Tekila, Bindi)
locales = factor(rep(c("Ohlala", "Malasaña", "Tekila", "Bindi"), c(9,9,9,9)))
summary(aov(datos~locales))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## locales      3  1.601  0.5336   3.051 0.0426 *
## Residuals   32  5.595  0.1749                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
mediaBindi <- mean(Bindi)
valor_t <- pt(0.05/2, 36 - 3)
sp <-sqrt(0.1749)
errorEstimacion <- valor_t * (sp/ sqrt(9))
mediaBindi + errorEstimacion
## [1] 1.536637
boxplot(datos~locales, col=c("red", "purple", "blue","green"), ylab="Alcohol espirado")

Del summary obtenemos un conjunto de datos, entre los caules se encuentra el valor estadistico y el p-valor.

De la parte central del scipt obtenemos tras un conjunto de operciones el limite superior de confainza del acohol en aire espirado realizadas por el local Bindi, que se muestra abajo siendo 1.536637

El script nos crea el diagrama de cajas para el alcohol espirado.

9.Regresion lineal

Supongamos que la variable regresora toma los valores x=1,2,…,10. El siguiente código de R genera una muestra que sigue el modelo de regresión lineal (cuando β0=0, β1=1 y σ=0.3)

1)Extrae el valor de la pendiente estimada β^1 y resume los principales resultados.

2)Anota el valor del estimador de la pendiente que has obtenido y su error típico. ¿Has obtenido una buena estimación?

3)Repite el procedimiento anterior 1000 veces y haz un estudio descriptivo de las 1000 pendientes estimadas resultantes. Estudia si se corresponden los resultados de la simulación con las propiedades teóricas del estimador de la pendiente. El error típico obtenido en el problema anterior, ¿refleja adecuadamente la variabilidad del estimador observada en la simulación?

4)Repite la simulación, pero generando los datos de manera que las variables de error ϵi proceden de una distribución t de Student con 5 grados de libertad en lugar de una distribución normal. Describe las propiedades de la distribución del estimador que se deducen de la simulación.

# Inicializar las variables
x <- 1:10
beta0 <- 0
beta1 <- 1
sigma <- 0.3

# Crear un vector para almacenar las pendientes estimadas
pendientes <- numeric(1000)
pendientes_t <- numeric(1000)

# Realizar la simulación
for (i in 1:1000) {
  # Generar los datos de y
  y <- beta0 + beta1 * x + rnorm(length(x), mean=0, sd=sigma)
  
  # Ajustar el modelo de regresión lineal
  modelo <- lm(y ~ x)
  
  # Almacenar la pendiente estimada
  pendientes[i] <- coef(modelo)[2]
  
  # Generar los datos de y con una distribución t de Student
  y_t <- beta0 + beta1 * x + rt(length(x), df=5)
  
  # Ajustar el modelo de regresión lineal
  modelo_t <- lm(y_t ~ x)
  
  # Almacenar la pendiente estimada
  pendientes_t[i] <- coef(modelo_t)[2]
}

# Resumen de las pendientes estimadas
summary(pendientes)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.9057  0.9772  0.9989  1.0000  1.0227  1.1190
summary(pendientes_t)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.2505  0.9121  1.0056  1.0023  1.0942  1.5503
# Estudio descriptivo de las pendientes estimadas
hist(pendientes, main="Histograma de las Pendientes Estimadas", xlab="Pendiente Estimada")

hist(pendientes_t, main="Histograma de las Pendientes Estimadas (t de Student)", xlab="Pendiente Estimada")

# Comprobar si el error típico refleja la variabilidad del estimador
se <- sqrt(var(pendientes))
se_t <- sqrt(var(pendientes_t))
print(paste("El error típico es", se, "para la distribución normal y", se_t, "para la distribución t de Student"))
## [1] "El error típico es 0.0325193714557903 para la distribución normal y 0.148657498555819 para la distribución t de Student"