1 Probabilidad

Se van a realizar elecciones a delegado de clase y, como candidatos, se han presentado Fares, Cache y Pablo. En una encuesta a “pie de pasillo”, hemos determinado que un 57% de los alumnos van a votar a Cache o a Pablo, y que un 30% de los alumnos votará a Cache. Además, estas elecciones tendrán record de participación, pues todos los alumnos emitirán un voto.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno vaya a votar a Fares?

Sabemos que \(P(C \cup P)=0.57\) y \(P(C)=0.30\), y como \(P(C \cap P) = 0\), pues no es posible votar a dos personas a la vez, entonces

\(P(C \cup P) = 0.57 = P(P) + P(C) = P(P) + 0.3 \Leftrightarrow P(P) = 0.27\)


Con esto,
\(P(F) = 1 - P(P) - P(C) = 1 - 0.27 - 0.3 = 0.43\)

  1. ¿Y la probabilidad de que un alumno vote a Fares o Pablo?

Con las probabilidades obtenidas en el apartado anterior, calculamos \(P(P \cup F) = P(P) + P(F) - P(P \cap F) = P(P) + P(F) = 0.27 + 0.43 = 0.70\)


  1. Si seleccionamos a 5 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellos vayan a votar a Fares?

Sea X:‘número de alumnos que van a votar a Fares’, entonces \(X \sim Bi(5, 0.43)\) y calculamos \(P(X=2)=\)

dbinom(2,5,0.43)
## [1] 0.3424219


  1. ¿Y la probabilidad de que, de otros 5 alumnos, 3 o más voten a Pablo?

Ahora, sea X:‘número de alumnos que van a votar a Pablo’, entonces \(X \sim Bi(5, 0.27)\) y calculamos \(P(X\ge3)=\)

pbinom(2,5,0.27,FALSE)
## [1] 0.1257232

2 Variables aleatorias

En la universidad de Albacete se planea inaugurar una estación de radio local llamada EsiiCast. Dada la limitada cobertura de recursos, esta estación solo podrá transmitir dentro de su comunidad autónoma. Por lo tanto, se ha establecido que la frecuencia de transmisión estará restringida a un rango entre 24 MHz y 42 MHz.

Sea X la frecuencia de transmisión de la estación de radio y sea la función de densidad de probabilidad de X la siguiente:

\[\cal{f(x)}=\left\{ \begin{array}{lll} {\frac{(3x+2x^2)}{41958}}\qquad 24<x<42\\ 0 \qquad Otro \ caso \\ \end{array} \right. \]

1.Determina la desviación típica de la frecuencia de transmisión.

Media

\(\mu_x=\int_{-\infty}^{+\infty}x*f(x)dx=\int_{24}^{42}x* \frac{(3x+2x^2)}{41958}=\)

integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value
## [1] 34.56371

Varianza

\(\sigma_x^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2*f(x)dx -\mu_x^2=\int_{24}^{42}x^2*\frac{(3x+2x^2)}{41958}dx -(34.56371^2)=\)

integrate(function(x) (x^2)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value -(integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value)^2
## [1] 25.05521

Desviación Típica

\(\sigma_x=\sqrt (\sigma_x^2)=\sqrt 25.05521=\)

sqrt(integrate(function(x) (x^2)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value -(integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value)^2)
## [1] 5.005518


  1. Determina la función de distribución de las frecuencias de transmisión.

\(F(x)=P(x\leq X)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{24}^{x}\frac{(3x+2x^2)}{41958}dx=\frac{1}{41958}*\left[\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right]_{24}^{x}=\frac{1}{41958}*\left(\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right)-10080\quad24<x<42\)

\[\cal{f(x)}=\left\{ \begin{array}{lll} {0}\qquad x<24\\ \frac{1}{41958}*\left(\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right)-10080 \qquad 24<x<42 \\ 1\qquad x\geq 42 \end{array} \right. \]


  1. Calcula el percentil 25.

Igualar la función de distribución a 0.25 y resolver.

Despejar la X.

\(\frac {1}{41958}* \left(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3\right)-10080=0.25\\\)
\(\left(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3\right)-10080=0.25*41958\\\)
\(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3-20569.5=0\\\)
\(9x^2+4x^3-123417=0 \rightarrow x=30.6321459\\\)


4. Calcular \(P(x<28/x<37)\)

\(\\P(x<28/x<27)=\frac{P(x<28\cap x<37)}{P(x<37)}=\frac{P(x<28)}{P(x<37)}\)

\(P(x<28)=\\\)

integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,28)$value
## [1] 0.136581

\(P(x<37)=\\\)

integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,37)$value
## [1] 0.6135223

\(\frac{P(x<28)}{P(x<37)}=\\\)

integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,28)$value/integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,37)$value
## [1] 0.2226179

3 Distribución de probabilidad exponencial

Pablo Lirio y José Juan tienen que coger el autobús todas las mañanas para ir a la Universidad del Castillo Manchado. La línea que deben coger es la AAb45. Pablo y José Juan salen una mañana de casa y se sientan a esperar en la parada de su barrio. Sabemos que la línea pasa por la parada, de media, cada 20 minutos.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que esperen más de 15 minutos?
    Como el autobús tarda, de media, 20 minutos en pasar por la parada, el tiempo de vida sigue una distribución exponencial con \(\mu = \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow 20 = \frac{1}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda = 0.05\)

\(P(X > 15) =\)

1-pexp(15, 0.05)
## [1] 0.4723666


  1. El autobús no llega y José Juan decide ir andando. Pero Pablo, que es un poco vago, prefiere esperar sentado, a pesar de llegar tarde a clase y perderse su asignatura favorita (el recreo). ¿Cuál es la probabilidad de que Pablo espere, como mucho, 20 minutos al autobús?

\(P(X < 20) = P(X\leq 20) =\)

pexp(20, 0.05)
## [1] 0.6321206


  1. Pablo lleva esperando 25 minutos y el autobús no llega. ¿Cuál es la probabilidad de que éste llegue en los próximos 20 minutos?

\(P(X < 45/X > 25) = \frac{P(X > 25 \cap X < 45)} {P(X>25)}=\frac{P(X<45)-P(X<25)}{P(X>25)}=\)

(pexp(45, 0.05)-pexp(25, 0.05))/(1-pexp(25, 0.05))
## [1] 0.6321206

Nótese que \(P(X < 45/X > 25) = P(X < 20)\), debido a la propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial.


  1. Finalmente, debido a retrasos imprevistos (el autobusero bajó al bar a echarse un café), el autobús acabó llegando a los 32 minutos. Pablo sube y, durante el trayecto, dado que se le da muy bien estadística, determina que la mediana de la distribución del tiempo de espera al autobús es 23.45347 minutos. ¿Es correcto o va a suspender estadística?

Debemos determinar el valor M, tal que \(P(X<M) = 0.5\).

qexp(0.5, 0.05)
## [1] 13.86294

Por tanto, Pablo va a suspender estadística.

Vídeo con las explicaciones.

4 Variable aleatoria continua

Una CPU genera un porcentaje de uso que varía en función del tiempo (t) de acuerdo con la función de densidad de probabilidad:

\[\cal{f(t)}=\left\{ \begin{array}{lll} {\frac{2t}{25}}\qquad 0<x<5\\ 0 \qquad o.c \\ \end{array} \right. \]

  1. Halla la media del porcentaje de uso.

\(\mu=\int_{-\infty}^{+\infty}t*f(t)dt=\int_{0}^{5}x* \frac{(2t)}{25}=\)

media=integrate(function(t) t*(2*t/25),0,5)$value
media
## [1] 3.333333


  1. Determina la desviación típica del tiempo del porcentaje de uso.

Varianza:

\(\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty}t^2*f(t)dt -\mu^2=\int_{0}^{5}t^2*\frac{2t}{25}dt - (3.333333)=\)

varianza=integrate(function(t) (2*t/25)*(t-media)^2,0,5)$value
varianza
## [1] 1.388889

Desviación típica:

\(\sigma=\sqrt (\sigma^2)=\sqrt 1.388889=\)

sqrt(varianza)
## [1] 1.178511


  1. Determina la función de distribución del porcentaje de uso.

\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt = \int_{0}^{x}\frac{2t}{25}dt=\frac{2}{25}*\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{x}=\frac{x^2}{25}\)

Con esto, la función de distribución viene dada por:

\[F(t)=\left\{ \begin{array}{lll} {0}\qquad t<0\\ \frac{x^2}{25}\qquad 0<x<5 \\ 1\qquad x\geq 5 \end{array} \right. \]


  1. ¿P(t > 2)?

\(P(t > 2) = 1 - P(t < 2) = 1- F(2) = 1 - 0.16 = 0.84\)

En R:

1-integrate(function(t) 2*t/25, 0, 2)$value
## [1] 0.84

5 Contraste de hipótesis I

En una partida de Call of Zombies, hay dos equipos, el primer equipo es el Equipo CT (Chorizos de Teror) y el segundo el Equipo Timidín. Ambos destinados a enfrentar hordas de no muertos. Sin embargo, entre los vivos, también se encuentran inocentes, que pueden caer por accidente bajo el fuego amigo. Cada equipo en su lucha por la supervivencia, aniquila a un total de 300 entidades. Sorprendentemente, se descubre que 75 de las 300 ocasionadas por el equipo 1 son inocentes, mientras que para el equipo 2, esta cifra desciende a 51. Suponemos que las muertes de cada equipo siguen una distribución normal.

  1. Calcular el intervalo de confianza del 95% para la proporción de inocentes fallecidos por cada equipo.

Intervalo de confianza para el Equipo 1.

\(p_1\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n}}=\)

n=300
p=75/300
alpha=0.05
p-qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))
## [1] 0.2010009
p+qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))
## [1] 0.2989991

Intervalo de confianza para el Equipo 2

\(p_2\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_2(1-p_2)}{n}}\)

n=300
p=51/300
alpha=0.05
p-qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))
## [1] 0.1274939
p+qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))
## [1] 0.2125061


  1. Calcular si es razonable que ambos equipos produzcan los mismos fallecimientos de inocentes con el p-valor y la región crítica utilizando \(\alpha\)=0.05.

Contraste

\(H_0:p_1=p_2\) frente a \(H_1:p_1\neq p_2\)

Estadístico de contraste

\(z_s=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}}=\)

n1=300
p1=75/300
n2=300
p2=51/300
(p1-p2)/sqrt(((p1*(1-p1))/n1)+((p2*(1-p2))/n2)) 
## [1] 2.417224

Para ver si podemos rechazar \(H_0\) hay dos demostraciones:

P-valor

P-valor =

2*(1-pnorm( 2.417224))
## [1] 0.01563939

P-valor < \(\alpha\) por lo tanto existen evidencias estadísticas en contra de \(H_0\). \(H_0\) se rechazaría.

Región Crítica

\(Z_{\alpha/2}=\)

qnorm(1-0.05/2)
## [1] 1.959964

\(\alpha\)=0.05 y \(Z_{\alpha/2}\)=1.96, entonces 2.417224 > 1.96. Al ser 2.416224 mayor que 1.96 estaría dentro de la región crítica y se rechazaría \(H_0\).


  1. ¿Existe evidencia estadística de que haya más de un 20% de inocentes fallecidos por el equipo 1?

Contraste

\(H_0:p<=20, H_1:p>20\)

Vamos a ver si se rechaza \(H_0\) con el P-valor.

prop.test(75,300,p=0.20,alternative = "greater") 
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  75 out of 300, null probability 0.2
## X-squared = 4.3802, df = 1, p-value = 0.01818
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.2
## 95 percent confidence interval:
##  0.209675 1.000000
## sample estimates:
##    p 
## 0.25

P-valor=0.01818 < \(\alpha\) por lo tanto existe evidencia estadística en contra de \(H_0\) por lo que se rechazaría.


  1. ¿Existe evidencia estadística de que haya más de un 30% de inocentes fallecidos por el equipo 1?

Contraste

\(H_0:p<=20, H_1:p>20\)

Vamos a ver si se rechaza \(H_0\) con el P-valor.

prop.test(75,300,p=0.30,alternative = "greater") 
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  75 out of 300, null probability 0.3
## X-squared = 3.3373, df = 1, p-value = 0.9661
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.3
## 95 percent confidence interval:
##  0.209675 1.000000
## sample estimates:
##    p 
## 0.25

P-valor=0.9661 > \(\alpha\). Al ser mayor que \(\alpha\) es una diferencia debida al azar y no se podría rechazar \(H_0\) ya que no existen evidencias en contra de él.

6 Contraste de hipótesis II

Ante el descenso en la capacidad de atención de la gente, Guguel debe analizar si merece la pena cambiar Yutuf, su plataforma para compartir vídeos, para permitir solamente la subida de vídeos cortos y cambiarle el nombre por TiTó. Guguel cree que los vídeos cuya duración supere los 10 minutos siguen siendo una buena opción.

  1. Nos mandan tomar una muestra de 80 vídeos de más de 10 minutos y vemos que la media de tiempo que los usuarios se mantienen viéndolo es de 6 minutos, con una desviación típica de 3 minutos. Utilizando un nivel de significación \(\alpha\)=0.05, ¿debe cambiar el tipo de contenidos a vídeos de menos de 10 minutos?

Contrastamos \(H_0:\mu \geq 10\), frente a \(H_1:\mu<10\).

Calculamos el valor del estadístico de contraste para la media de una población:

\(z_s=\frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\)

zs=(6-10)/(3/sqrt(80))
zs
## [1] -11.9257

y lo comparamos al valor de \(-Z_\alpha=\)

qnorm(0.05)
## [1] -1.644854

Como \(Z_s < Z_\alpha\), rechazamos \(H_0\) ya que existe evidencia estadística de que \(\mu < 10\).


  1. Parry Lage y Jersey Prin, propietarios de Guguel (gente muy lista), no confían en esa supuesta evidencia estadística y quieren alguna prueba más. ¿De qué otra forma podemos verificar que es correcta la conclusión del apartado anterior?

Podemos calcular el p-valor de \(Z_s =\)

pnorm(zs)
## [1] 4.347719e-33

que es aproximadamente 0. Y como \(0 < \alpha=0.05\), verificamos que estamos en lo cierto al rechazar \(H_0\).


  1. Parry y Jersey siguen sin conformarse, así que deciden mandar a Juan Luis, uno de los estadísticos de Guguel, a tomar otra muestra. Esta, ahora de 40 vídeos de más de 10 minutos, tiene una media de 5 minutos y una desviación típica de 2 minutos. Juan Luis, que está muy atareado, pide a su becario que compruebe si hay una diferencia significativa entre las varianzas de ambas muestras. ¿La hay?

Ahora, contrastamos \(H_0:\sigma_1^2 = \sigma_2^2\), frente a \(H_1:\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\). Calculamos el valor del estadístico para el cociente de varianzas muestrales,

\(F_s=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\)

(3^2)/(2^2)
## [1] 2.25

y verificamos si este se encuentra en la zona de no rechazo. Calculamos esta como

qf(0.05/2,79,39)
## [1] 0.5926426
qf(1-0.05/2,79,39)
## [1] 1.776546

de forma que esta viene dada por el intervalo (0.5926426, 1.776546). Como \(F_s\) se encuentra fuera del intervalo, rechazamos \(H_0\) ya que las diferencias de ambas muestras son significativamente diferentes.


  1. Con esto, Juan Luis decide calcular un intervalo de confianza para la diferencia de medias de las muestras, con un nivel de significación \(\alpha\)=0.01 y, a la vista de los resultados, concluye que las medias de ambas muestras son iguales. ¿Es correcta su conclusión?

Por el apartado c, sabemos que \(\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\). Por tanto, lo calculamos mediante la fórmula para el intervalo de confianza para la diferencia de medias con desviaciones típicas desconocidas y distintas

\((\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\frac{\alpha}{2};v} \times \sqrt {\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}=\)

nu=floor((((3^2/80)+(2^2/40))^2)/(round(((3^2/80)^2)/(79))+round(((2^2/40)^2)/(39))))
1-qt(0.01/2,nu)*sqrt((3^2/80)+(2^2)/40)
## [1] 2.187399
1+qt(0.01/2,nu)*sqrt((3^2/80)+(2^2)/40)
## [1] -0.1873986

Por tanto, dicho intervalo viene dado por (-0.1873986, 2.187399), y como 0 pertenece a dicho intervalo, las medias no son significativamente diferentes.

Vídeo con las explicaciones.

7 Contraste de hipótesis (paramétrico y no paramétrico)

En dos videojuegos, para conseguir a los personajes, hay que tirar de una ruleta en la que puedes conseguir de 2 a 10 personajes aleatoriamente. Se realizan 8 tiradas en cada juego y obtenemos la siguiente cantidad de personajes:

Genshin 3 7 8 10 5 6 8 2
Honkai 3 2 5 7 10 2 9 5 
genshin=c(3,7,8,10,5,6,8,2)
honkai=c(3,2,5,7,10,2,9,5)


  1. Comprobar si ambos juegos dan la misma cantidad de personajes a un nivel de significación \(\alpha\)=0.05.

Como la muestra es pequeña (menor a 30) y no sabemos si las poblaciones se distribuyen normalmente, realizamos un contraste no paramétrico.

Aplicamos la prueba de rangos con signo de Wilcoxon para contrastar si tienen o no igual mediana (dan la misma cantidad de personajes):

\(H_0: \tilde{\mu_G} = \tilde{\mu_H}\)

\(H_1: \tilde{\mu_G} \ne \tilde{\mu_H}\)

wilcox.test(genshin, honkai, exact=F)
## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  genshin and honkai
## W = 37.5, p-value = 0.5963
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

y como el p-valor > \(\alpha\), no rechazamos \(H_0\) y decimos que hay evidencia estadística de que ambos juegos dan la misma cantidad de personajes.


  1. Ahora suponemos que el número de personajes obtenidos en ambos juegos sigue una distribución normal. Volver a comprobar si ambos juegos dan la misma cantidad de personajes con otro tipo de test.

Contrastamos

\(H_0: \mu_G = \mu_H\)

\(H_1: \mu_G \ne \mu_H\)

Como suponemos que las poblaciones son normales, y vemos que

\(\frac{s_H^2}{s_G^2}=\)

var(honkai)/var(genshin)
## [1] 1.29484

el cociente de varianzas de las muestras es menor que 2, por lo cual, suponemos que tienen igual varianza. Así, calculamos el estadístico test y su p-valor con

t.test(genshin, honkai, var.equal=T)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  genshin and honkai
## t = 0.51943, df = 14, p-value = 0.6116
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -2.346838  3.846838
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     6.125     5.375

Con esto, vemos que p-valor > \(\alpha\), por lo que no rechazamos \(H_0\) y decimos que existe evidencia estadística de que ambos juegos dan la misma cantidad de personajes.


  1. Hallar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias del número de personajes obtenidos en ambos juegos.

Como suponemos que las poblaciones son normales y tienen igual varianza, aunque la desconocemos, calculamos el intervalo de confianza al 90% con

t.test(genshin, honkai, var.equal=T, conf.level=.90)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  genshin and honkai
## t = 0.51943, df = 14, p-value = 0.6116
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 90 percent confidence interval:
##  -1.79314  3.29314
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     6.125     5.375

y vemos que este sería (-1.79314, 3.29314).


  1. ¿Coincide el intervalo de confianza obtenido con lo que se podía esperar de él dado el resultado de los contrastes realizados en los apartados (a) y (b)?

Como vimos en los primeros apartados, ambos juegos devolvían la misma cantidad de personajes, ya que no era posible rechazar la hipótesis nula de igualdad. Por tanto, el intervalo para la diferencia de medias debía contener al 0.

Como hemos visto, dicho intervalo es (-1.79314, 3.29314) que, efectivamente, contiene el 0.

8 ANOVA

Espotifi, una plataforma para escuchar música, está probando sus nuevos algoritmos de recomendación de canciones y deciden hacer una prueba con sus usuarios. En total cuentan con 4 algoritmos, cada uno genera una lista de reproducción de 30 canciones para cada usuario, y se comprueba cuántas de estas canciones han guardado los usuarios en sus propias listas personales.

Se seleccionan a un total de 6 usuarios aleatoriamente de cada algoritmo y se comprueba la cantidad de canciones que ha almacenado. Los resultados obtenidos se muestran a continuación:

A 10 13 20 15 11 12
B 27 19 21 21 27 23
C 14 12 21 17 14 12
D 10 10 14 16 20 15 
algoA=c(10,13,20,15,11,12)
algoB=c(27,19,21,21,27,23)
algoC=c(14,12,21,17,14,12)
algoD=c(10,10,14,16,20,15)
  1. Los estadísticos de Espotifi deciden generar un diagrama de cajas para ver si se cumple la homocedasticidad de las poblaciones, pero han dormido poco y no recuerdan cómo hacerlos. ¿Les ayudas?

Con los datos introducidos en R,

datos=c(algoA, algoB, algoC, algoD)
algoritmos=c(rep("A", 6), rep("B", 6), rep("C", 6), rep("D", 6))

generamos el diagrama de cajas mediante

boxplot(datos~algoritmos)

y podemos ver que las poblaciones aparentan tener la misma varianza, aunque el algoritmo B aparenta tener mayor media que el resto.


  1. Como los estadísticos están un poco ‘cuajaos’ y no se aclaran con el diagrama de cajas, deciden hacer tests para verificar si las poblaciones son normales y se cumple la homocedasticidad. Sus conclusiones son que ambas hipótesis se cumplen. ¿Están en lo cierto?

Primero, verificamos la normalidad de las poblaciones mediante la prueba de Shapiro-Wilk, en la que contrastamos

\(H_0:\) La población sigue una distribución normal

\(H_1:\) La población no sigue una distribución normal

Realizamos la prueba mediante

shapiro.test(algoA)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  algoA
## W = 0.89133, p-value = 0.3252
shapiro.test(algoB)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  algoB
## W = 0.87614, p-value = 0.2518
shapiro.test(algoC)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  algoC
## W = 0.86167, p-value = 0.195
shapiro.test(algoD)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  algoD
## W = 0.92371, p-value = 0.5325

y vemos que, para los cuatro algoritmos, p-valor > \(\alpha\) (0.05, por defecto), por lo que no rechazamos la hipótesis nula y decimos que existe evidencia estadística de que las poblaciones son normales.

Ahora, para verificar la homocedasticidad (igualdad de varianzas), realizamos la prueba de Bartlett, con la que contrastamos

\(H_0:\) Las varianzas son iguales

\(H_1:\) No todas las varianzas son iguales

Realizamos la prueba mediante

bartlett.test(datos~algoritmos)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  datos by algoritmos
## Bartlett's K-squared = 0.089933, df = 3, p-value = 0.993

y vemos, de nuevo, que p-valor > \(\alpha\), por lo que no podemos rechazar \(H_0\) y decimos que las varianzas de las poblaciones son iguales.

De esta forma, verificamos que las poblaciones son normales y con igual varianza.


  1. Con esta información, quieren ver si puede inferirse que existen diferencias significativas entre el funcionamiento de los cuatro algoritmos. Tras realizar un test, determinan que no las hay. ¿Es correcta su conclusión?

Realizamos un análisis de varianza para contrastar

\(H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D\)

\(H_1:\) No todas las medias son iguales

ya que, como verificamos en el apartado (b), se cumplen las hipótesis de homocedasticidad y normalidad de poblaciones.

En R, obtenemos la tabla ANOVA mediante

summary(aov(datos~algoritmos))
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## algoritmos   3  353.5  117.83   9.266 0.000479 ***
## Residuals   20  254.3   12.72                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Podemos ver que el p-valor del estadístico es inferior a \(\alpha=0.05\), por lo que podemos rechazar directamente la hipótesis nula de igualdad de medias. Pero otra forma de haber llegado a esta conclusión habría sido calculando el cuantil del 95% en la distribución F,

qf(.95, 3, 20)
## [1] 3.098391

y como el valor obtenido es inferior al del estadístico test, este último estaría dentro de la sección crítica y, por tanto, rechazaríamos la hipótesis nula de igualdad de medias.

Por tanto, la conclusión de los estadísticos no es correcta.


  1. Finalmente, Espotifi decide llamar a Juan Luis para que analice toda la información. Este determina a ojímetro que la media de canciones que los usuarios han guardado de las listas generadas por los algoritmos A, C y D está en torno a 15, siendo la del algoritmo B superior. Decide calcular un intervalo de confianza al 99% para la media de canciones guardadas por los usuarios a los que se aplicó el algoritmo B y determina que dicho algoritmo es el que debe implementarse a partir de ahora. Obtén dicho intervalo de confianza.

Para calcular el I.C. para la media del algoritmo B, como desconocemos la desviación típica poblacional, utilizamos

t.test(algoB, conf.level=.99)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  algoB
## t = 16.834, df = 5, p-value = 1.352e-05
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
##  17.49104 28.50896
## sample estimates:
## mean of x 
##        23

Así, el I.C. para la media del algoritmo sería (17.49104, 28.50896)

9 Regresión lineal

En el mercado de las tecnologías se ha vuelto muy de moda el montar ordenadores personalizados para jugar, diseño gráfico, animación 3D, etc., por lo que se han vuelto muy solicitadas las gráficas de NVIDIA. Para comprobar la potencia de las gráficas se ha realizado un estudio sobre la potencia computacional (TFLOPS) de estas y la cantidad de imágenes por segundo (FPS). Los resultados son los siguientes:

TFLOPS 4 3 7 12 2 6 8 10 9 1 11
FPS 65 34 51 102 43 72 87 88 91 21 92

En este caso la variable independiente (x) serían los TFLOPS y la variable dependiente (y) serían los FPS ya que a mayor cantidad de TFLOPS, mayores son los FPS.


  1. ¿Hay relación lineal entre x e y?

Para saber si hay relación lineal se plantea la siguientes hipotesis.

\(H_0: \hat{\beta}=0\) (y no depende de x)

\(H_1: \hat{\beta} \neq 0\) (y depende de x)

Para saber el p-valor y así poder contrastar se hace lo siguiente

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

summary(lm(y~x))
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -19.246  -7.070  -1.625   7.916  14.782 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  23.5142     6.9061   3.405  0.00781 ** 
## x             6.6759     0.9162   7.287 4.63e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 10.86 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8551, Adjusted R-squared:  0.839 
## F-statistic: 53.09 on 1 and 9 DF,  p-value: 4.631e-05

Donde el P-valor es \(4.63*10^{-5}\) < \(\alpha=0.05\).

Se rechazaría la hipótesis nula, por lo tanto podríamos decir que y depende de x.


  1. ¿Cumple todas las condiciones para hacer inferencia? Explica las condiciones que cumple.
  1. ¿Es lineal? ¿Hay independencia?
x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

plot(x,y)
abline(lm(y~x))

Como se puede observar en la imagen, es lineal e independiente, se puede ver que los puntos están más o menos igual distribuidos por arriba y por abajo.


  1. ¿Sigue una distribución normal?

Para saberlo habría que hacer un contraste de hipótesis donde:

\(H_0\): Sigue una distribución normal

\(\\\)\(H_1\): No sigue una distribución normal

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

shapiro.test(lm(y~x)$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  lm(y ~ x)$residuals
## W = 0.95836, p-value = 0.751

P-valor=0.751 > \(\alpha\), por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula y podríamos decir que parece que sigue una distibución normal.


  1. ¿Varianza constante?

Para saberlo debemos de mirar un gráfico.

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

plot(x,lm(y~x)$residuals)

Se puede ver que están distribuidos los residuos igual tanto por arriba como por debajo de 0.


  1. ¿Cuál es la pendiente y el porcentaje de la variabilidad de y explicada por la variable x? Analiza el coeficiente de correlación.

Para sacar la pendiente y el porcentaje de la variabilidad de y explicada por la variable x se hace esto:

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

summary(lm(y~x))
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -19.246  -7.070  -1.625   7.916  14.782 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  23.5142     6.9061   3.405  0.00781 ** 
## x             6.6759     0.9162   7.287 4.63e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 10.86 on 9 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8551, Adjusted R-squared:  0.839 
## F-statistic: 53.09 on 1 and 9 DF,  p-value: 4.631e-05

La pendiente sería 6.6759 y el porcentaje de variabilidad de y explicada por la variable x es de un 85.51%.


Para sacar el coeficiente de correlación:

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

cor(x,y)
## [1] 0.9246939

La relación sería fuerte ya que está muy cerca de 1.


  1. ¿Cuál es el intervalo de confianza para un valor de x=13 con una confianza del 95%? ¿Y de x=5?

Para el x=13 no se podría ya que no podemos predecir datos de algo que está fuera del rango o no tenemos suficientes datos para esa x.

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)
plot(x,y)
abline(lm(y~x))

El rango de predicción de x es hasta 12, a partir de 12 ya no tenemos más datos.


Para x=5 sí se podría predecir, con este comando sacamos el intervalo:

x=c(4,3,7,12,2,6,8,10,9,1,11)
y=c(65,34,51,102,43,72,87,88,91,21,92)

nuevasx=data.frame(x=5)
predict(lm(y~x),nuevasx,interval="confidence",level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 56.89392 48.74613 65.04171

Intervalo desde 48.74613 a 65.04171.

Vídeo con las explicaciones.