Séance 4 Statistique bivariée

Techniques quantitatives en sciences sociales

Responsable de la séance : gabriel.alcaras@ens.fr

• On considère conjointement deux variables X et Y pour

  • analyser les valeurs prises par chacune des deux variables
  • étudier le lien éventuel entre les deux variables (corrélation)

• Exemples : genre et réussite au baccalauréat ; fréquentation des cinémas et niveau d'études.

• Dans cette séance, nous allons principalement nous concentrer sur un outil essentiel de la statistique bivariée : le tableau de contingence.

Aussi appelé “tableau croisé” ou “tableau à double entrée”.

Si les statisticiens préfèrent, en toute rigueur, parler de « table de contingence », les sociologues utilisent plus facilement l’expression de « tableau croisé », plus imagée, pour désigner cet outil qui à lui seul incarne, en même temps qu’il la symbolise, toute une façon de faire de la sociologie.

Pierre Mercklé - Les 100 mots de la sociologie

Nous voulons étudier la relation entre la fréquentation annuelle des cinémas et le niveau d'études, que ce soit pour avoir une idée plus précise des publics des salles ou parce que l'on veut vérifier s'il existe une corrélation entre ces deux variables.

Pour ce faire, nous utiliserons les données de l'enquête sur les conditions de vie de l'INSEE (mai 2003).

Jusqu'ici, nous disposons uniquement de tris à plat qui ne nous permettent pas de répondre à cette question.

• Les lignes correspondent aux valeurs (discrètes, classes ou modalités) de la variable X, les colonnes à celles de Y.

• Chaque case contient l'effectif des individus pour lesquels les deux variables prennent les valeurs correspondant à celles de la ligne et de la colonne.

  	Modalité 1 de X	Modalité 2 de X	Modalité 3 de X
  Classe 1 de Y
  Classe 2 de Y
  Classe 3 de Y		Effectif quand X = modalité 2 et Y = classe 3

NB : on choisit pour l'instant d'ignorer les individus qui n'ont pas répondu aux deux questions.

• Odile est une fille et a obtenu son bac
• Dominique est une fille et a obtenu son bac
• Camille est un garçon et n'a pas obtenu son bac
• Dominique est une fille et n'a pas obtenu son bac
• Salima est une fille et a obtenu son bac
• Paul est un garçon et n'a pas obtenu son bac
• Rodolphe est un garçon et a obtenu son bac
• Léa est une fille et a obtenu son bac
• Pierre est un garçon et a obtenu son bac

• 9 individus au total (\( 4 + 2 + 1 + 2 \))
• 2 variables :
  • Sexe (2 modalités : fille et garçon)
  • Réussite au bac (2 modalités : réussite et échec)

• Variables \( X \) (\( k \) modalités : \( \{x_1,...,x_k\} \)), \( Y \) (\( l \) modalités : \( \{y_1,...,y_l\} \)) : « tableau à \( l \) lignes et \( k \) colonnes »
• \( n_{i,j} \) : « nombre d'individus pour lesquels \( X = x_j \) ET \( Y = y_i \) » ou « case de la \( i \)-ième ligne et \( j \)-ième colonne »

Par convention, les effectifs lignes sont ajoutés au tableau dans une colonne supplémentaire, et les effectifs colonnes dans une ligne supplémentaire.

Total de la \( i \)-ième ligne : \( n_{i·} = \sum_{j = 1}^{k} n_{i,j} \)

Total de la \( j \)-ième colonne : \( n_{·j} = \sum_{i = 1}^{l} n_{i,j} \)

Rappel du tableau :

• Qu'obtient-on si on fait le total des effectifs lignes ?
• Et le total des effectifs colonnes ?
• Que remarque-t-on ?

Rappel du tableau :

Le total des effectifs lignes et colonnes est égal à l'effectif total.

Ici, la somme des ensembles est égale à 331994.

Par rapport à l'échantillon :

• Quelle est la proportion de filles passant un bac L ?
• Quelle est la proportion de garçons passant un bac S ?
• Quelle est la proportion de garçons ?
• Quelle est la proportion de personnes passant un bac SES ?

• Proportion de filles passant un bac L : \( 43735 / 331994 \approx 13\% \)
• Proportion de garçons passant un bac S : \( 92409 / 331994 \approx 28\% \)
• Proportion de garçons : \( 146078 / 331994 \approx 44\% \)
• Proportion de personnes passant un bac SES : \( 106801 / 331994 \approx 32\% \)

• À partir des effectifs

\[ \frac{n_{i,j}}{n} \]

• À partir des effectifs lignes

\[ \frac{n_{i·}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{k} n_{i,j} \]

• À partir des effectifs colonnes

\[ \frac{n_{·j}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{l} n_{i,j} \]

Le tableau final :

Que remarque-t-on :

• En additionnant les pourcentages ?
• En additionnant les pourcentages marginaux ?

• La somme des pourcentages vaut 100%

\[ \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{k} \frac{n_{i,j}}{n} = \frac{n}{n} = 1 \]

• La somme des pourcentages marginaux vaut 100%

Exemple pour les effectifs lignes :

\[ \sum_{i = 1}^{l} \frac{1}{n} n_{i·} = \sum_{i = 1}^{l} \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{k} n_{i,j} = \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{k} \frac{n_{i,j}}{n} = \frac{n}{n} = 1 \]

On voudrait répondre aux questions suivantes :

• Parmi les personnes qui ont passé le bac L, quelle proportion représentent les filles ?
• Parmi les personnes qui ont passé un bac S, quelle proportion représentent les garçons ?
• Parmi les garçons, quelle proportion passe un bac SES ?
• Parmi les filles, quelle proportion passe un bac S ?

• Parmi les personnes qui ont passé le bac L, proportion de filles : \( 43735 / 55324 \approx 0.79 \)
• Parmi les personnes qui ont passé un bac S, proportion de garçons : \( 92409 / 169869 \approx 0.54 \)
• Parmi les garçons, proportion passant un bac SES : \( 42080 / 146078 \approx 0.28 \)
• Parmi les filles, proportion passant un bac S : \( 77460 / 185916 \approx 0.41 \)

Il est souvent utile d'utiliser des pourcentages par rapport aux modalités des variables utilisées, et non par rapport à l'échantillon total.

Dans un tableau de contingence, il est possible de donner les résultats en pourcentages lignes (resp. en pourcentages colonnes). Par convention, on ajoute une colonne (resp. une ligne) pour y afficher le total de chaque ligne (resp. colonne), qui doit être égal à 100%.

Attention ! Lors de la lecture d'un tableau croisé, il ne faut pas confondre pourcentages en ligne et en colonne, au risque de commettre de grandes erreurs d'interprétation.

Dans le cas des pourcentages en ligne :

\[ \frac{\text{Effectif de la case}}{\text{Effectif ligne}} = \frac{n_{i,j}}{n_{i·}} \]

Dans le cas des pourcentages en colonne :

\[ \frac{\text{Effectif de la case}}{\text{Effectif colonne}} = \frac{n_{i,j}}{n_{·j}} \]

Vérification du total des pourcentages en ligne :

\[ \sum_{j = 1}^{k} \frac{n_{i,j}}{n_{i·}} = \frac{n_{i·}}{n_{i·}} = 1 \]

Prenons un collège (fictif) avec deux classes de troisième et leurs résultats au brevet en fonction du genre :

Les deux tableaux croisés indiquent que dans chaque classe, les garçons réussissent mieux que les filles.

Peut-on conclure que dans ce collège, les garçons réussissent mieux que les filles ?

Pour répondre à cette question, il suffit de recalculer les pourcentages de reçus au brevet à partir des effectifs de chaque classe :

Réussite des garçons (collège) : \( (8 + 6) / (20 + 8) = 0.5 \)

Réussite des filles (collège) : \( (1 + 17) / (5 + 25) = 0.6 \)

Ce phénomène est appelé « effet de structure » : alors que dans chaque classe, les garçons semblent mieux réussir, au niveau du collège, les filles réussissent mieux.

Lorsqu'une population est répartie en sous-populations, il peut arriver qu'une grandeur évolue dans un sens sur chaque sous-population et dans le sens contraire sur l'ensemble de la population. Ce paradoxe s'explique parce que les effectifs de certaines sous-populations augmentent alors que d'autres régressent : c'est l'effet de structure. (Définition de l'INSEE)

Pour éviter ces erreurs d'interprétation, on pourrait créer un nouveau tableau croisé (au niveau du collège) ou encore utiliser des moyennes pondérées.

Les tables de mobilité sociale se construisent comme un tableau croisé classique avec les CSP de deux générations (ici père/fils).

À partir des données de l'enquête sur les conditions de vie de l'INSEE (mai 2003), nous voulons étudier les relations entre la fréquentation annuelle des cinémas et le niveau d'études.

Reconnaître les variables, leurs modalités, les marges et l'effectif total. S'entraîner à lire les différentes cases du tableau.

Séances annuelles de cinéma en fonction du niveau d'études (hors nr)

De quel type de pourcentages s'agit-il ? Comment lire les différentes cases ? Dans la ligne “Ens. technique”, peut-on comparer 34% et 35% en termes d'effectifs ? Quelles hypothèses peut-on formuler ?

De quel type de pourcentages s'agit-il ? Comment lire les différentes cases ? Pourquoi avoir précisé les effectifs ? Certains recodages sont-ils souhaitables ? Quelles hypothèses peut-on formuler ?

Combien y a-t-il de non-réponses (NR) aux deux questions posées ? Peut-on formuler de nouvelles hypothèses tenant compte des non-réponses ?

Au lieu d'effectuer un recodage de la variable quantitative “Fréquentation annuelle” en une variable qualitative à 3 modalités, on pourrait également présenter le tableau suivant et comparer les moyennes :

Ou premières notions de statistiques inférentielles

Reprenons notre étude de la fréquentation annuelle des cinémas.

La table de contingence nous a permis jusqu'ici :

• de décrire avec précision des sous-populations au croisement de deux variables (fréquentation et niveau d'étude)
• de formuler des hypothèses intéressantes sur le lien entre ces deux variables

Mais pour l'instant, rien n'est encore prouvé ! C'est pour aller plus loin que nous voulons tester nos hypothèses rigoureusement… ce qu'on verra dans la prochaine séance.