Scopul proiectului este de a realiza o analiza de varianță (ANOVA), care este o metoda statistică utilizata pentru a studia diferențele între medii.
Setul de date folosit pentru analiza este penguins, din (Horst, Hill, and Gorman 2020), care provine dintr-un studiu ce a investigat diverse caracteristici ale speciilor de pinguini: Adélie, Gentoo si Chinstrap. Scopul este sa gasim daca exista diferente in medie intre inaltimile ciocurilor, raportandu-ne la specie.
head(penguins)
# A tibble: 6 × 8
species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm body_mass_g
<fct> <fct> <dbl> <dbl> <int> <int>
1 Adelie Torgersen 39.1 18.7 181 3750
2 Adelie Torgersen 39.5 17.4 186 3800
3 Adelie Torgersen 40.3 18 195 3250
4 Adelie Torgersen NA NA NA NA
5 Adelie Torgersen 36.7 19.3 193 3450
6 Adelie Torgersen 39.3 20.6 190 3650
# ℹ 2 more variables: sex <fct>, year <int>
Testul Levene este o statistica utilizata pentru a vedea daca variantele dintre mai multe grupuri de date sunt egale sau nu. Acest test este folosit pentru a verifica ipoteza nula conform careia toate grupurile au aceeasi varianta. Daca valoarea \(Pr(>F)\) este mai mica decat \(0.05\), aceasta indica faptul ca exista diferente intre variante, caz in care se respinge ipoteza nula. Daca \(Pr(>F)\) este mai mare decat \(0.05\), nu avem suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza nula, deci variantele grupurilor nu difera foarte mult. Vom face o reprezentare grafica a variantelor inaltimii in functie de specie, dupa care vom aplica testul Levene.
varianta <-aggregate(bill_depth_mm ~ species, data = pg, FUN = var)barplot(height = varianta$bill_depth_mm,names.arg = varianta$species,xlab ="Specie",ylab ="Varianta",col ="forestgreen", cex.main =0.7)
levene_r <-leveneTest(bill_depth_mm ~ species, data = pg)print(levene_r)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 2 1.9124 0.1494
330
Se observa ca sunt aproximativ egale, fapt sustinut si de valoarea obtinuta in urma testului.
0.1494 > 0.05.
plot(bill_depth_mm ~ species, data=pg)
Este doar o observatie in afara boxplot-ului in cazul primei specii, insa nu va influenta modelul in mod semnificativ.
Fie datele \(y_{i j}\) impartite in \(i=1, \ldots, p\) grupuri si avand \(j=1, \ldots, n_i\) elemente pe fiecare grup. Modelul general este: \[
y_{i j}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{i j}
\] unde \(\mu\) media, \(\alpha_i\) efectul nivelului \(i\), fixat si necunoscut si \(\varepsilon_{i j}\) valorile reziduale. Consideram ca \(\varepsilon_{i j} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)\).
Matricea are dimensiunea \(n \times p\) , unde \(n\) este numarul total de observatii si fiecare coloana corespunde unui grup. Coloana pentru primul grup are \(n_1\) de \(1\) si \(n_2+\cdots+n_p\) de \(0\). Coloana pentru al doilea grup are \(n_1\) de \(0\) si \(n_2\) de \(1\), urmate de \(n_3+\cdots+n_p\) de \(0\). Obtinem modelul liniar:
\[
Y=X \beta+\varepsilon
\]
In cazul setului nostru de date, matricea \(X\) este:
deoarece avem 3 specii, si este o matrice de \(333\) linii si \(3\) coloane.
l1 <-length(pg$species[pg$species =="Adelie"])l2 <-length(pg$species[pg$species =="Chinstrap"])l3 <-length(pg$species[pg$species =="Gentoo"])cat("Numarul de pinguini din specia Adelie:",l1, "\n")
Numarul de pinguini din specia Adelie: 146
cat("Numarul de pinguini din specia Chinstrap:",l2, "\n")
Numarul de pinguini din specia Chinstrap: 68
cat("Numarul de pinguini din specia Gentoo:",l3, "\n")
Numarul de pinguini din specia Gentoo: 119
Deci, \(n_1 = 146, n_2 = 68, n_3 = 119\).
Pentru aceasta parte am folosit informatiile din (Faraway 2004). Pentru realizarea analizei datelor vom folosi functia aov. Variabila raspuns este inaltimea ciocului (bill_depth_mm), deoarece este cea care este influentata de specie. Variabila explicativa este specia (species). Denumirea de unifactoriala vine de la faptul ca fiecare variabila raspuns este clasificata intr-un singur mod. ANOVA nu testeaza daca o anumita medie este mai mica decat alta, ci doar daca sunt egale sau nu. Ipoteza nula este ca toate mediile sunt egale.
a <-aov(bill_depth_mm ~ species, data = pg)summary(a)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
species 2 870.8 435.4 344.8 <2e-16 ***
Residuals 330 416.7 1.3
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Vom presupune ca reziduurile sunt independente si normal repartizate.
Din cauza valorii mici \(Pr(>F)\), exista diferente intre medii. Tabelul ofera urmatoarele informatii:
Df (Degrees of Freedom): numarul de grade de libertate pentru “species” si pentru “Residuals”. Cum sunt \(333\) de observatii si \(3\) specii, numarul de grade de libertate pentru specii va fi \(2\) si pentru valorile reziduale \(330\). Adunate ne dau numarul de grade de libertate total al modelului.
Sum Sq (Sum of Squares): suma patratelor diferentelor intre valorile observate si cele estimate, i.e. pentru “species” reprezinta variatia totala explicata de efectele speciei asupra inaltimii, iar pentru “Residuals”, variatia care nu poate sa fie explicata de model. Valoarea \(870.8\) este mare, ceea ce inseamna ca efectul speciei explica o mare parte din variatia datelor. Are o influenta semnificativa asupra inaltimii ciocurilor.
Mean Sq (Mean Square): media sumelor patratelor (Sum Sq) impartita la gradele de libertate corespunzatoare.
F value: raportul dintre Mean Sq al speciilor si Mean Sq al reziduurilor.
Pr(>F)/ valoarea p: ne indica faptul ca exista o diferenta mare intre medii.
Concluzii ANOVA Unifactoriala
Vom efectua o analiza post-hoc folosind functia pairwise.t.test si metoda Bonferroni pentru ajustarea valorii p. Nivelul ales initial era de \(0.05\). Se imparte acest numar la numarul de comparatii, in cazul acesta fiind \(3\) si se obtine aproximativ \(0.17\), noul nivel cu care trebuie comparat fiecare rezultat. In acest fel, se reduce probabilitatea de a avea erori in interpretare.
#Testam daca sunt egale mediile pentru fiecare perecheperechi <-pairwise.t.test(pg$bill_depth_mm, pg$species, p.adjust="bonf")perechi
Pairwise comparisons using t tests with pooled SD
data: pg$bill_depth_mm and pg$species
Adelie Chinstrap
Chinstrap 1 -
Gentoo <2e-16 <2e-16
P value adjustment method: bonferroni
Nu sunt diferente mari intre inaltimea ciocurilor pinguinilor din specia Chinstrap si celor din specia Adelie. Intre a celor din specia Gentoo si Adelie, precum si Gentoo si Chinstrap exista diferente semnificative.
References
DeGroot, Morris H., and Mark J. Schervish. 2010. Probability and Statistics. 4th ed. Addison-Wesley.
Horst, Allison Marie, Alison Presmanes Hill, and Kristen B Gorman. 2020. “Palmerpenguins: Palmer Archipelago (Antarctica) Penguin Data.”https://doi.org/10.5281/zenodo.3960218.
