Probabilidad

Sucede que a pesar de haber tomado medidas de precaución, lastimosamente tu experimento falló y se generaron dos agujeros negros de manera consecutiva en vez de un único agujero negro. Las probabilidades de que se generasen por separado son: \(P(A)=0.4\), \(P(B)=0.1\) y de manera inaudita obsevamos que mantienen un estado de equilibrio central entre ellas: \(P(A \cap B)=0.3\).

  1. Calcula la probabilidad de la unión de ambos agujeros negros, lo cual hubiera significado un éxito de experimento .

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) , tal que sustituyendo tendremos: -> \(P(A \cup B) = (0.4\ + \ 0.1) - 0.3 = 0.2\)

  1. Calcula \(P(A^c\cup B^c)\).

Como bien sabemos del apartado anterior: \(P(A\cup B) = 0.2\), sabemos que solo queda calcular su complementario, por ende: \(P(A^c\cup B^c)= 1- P(A\cup B) = 1-0.2 = 0.8\)

  1. Por alguna extraña razón, tras aceptar tu destino te propones algún que otro cáculo, como es el siguiente: \(P(A\cap B)/ P(B)\)

Aunque pueda parecer complicado, en verdad es más sencillo de lo que parece dado que sabemos ambos podemos simplemente aplicar la resolución: \(P(A\cap B)/ P(B) = 0.3\ / \ 0.1 = 0.3*10/1 = 3\)

  1. Al borde la muerte y del fin del mundo, te apetece determinar si los sucesos A y B son independientes, tal que:

Si son independientes, debe cumplirse según la fórmula: \(P(A \cap B)=0.3\) debe ser igual a \(P(A)P(B)=0.4*0.1=0.04\) y por ende concluir que al no ser iguales, no son independientes.

Variable aleatoria

Una empresa que fabrica motores de combustión ha creado una nueva gama de motores que para su correcto funcionamiento deben funcionar entre 50 y 150 revoluciones por segundo, los valores distintos no serán válidos. Si \(X\) es la potencia del motor según sus revoluciones y posee la función de densidad siguiente:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{3250000} & \text{si } 50 < x < 150 \\\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]

  1. Calcula la probabilidad de que las revoluciones sean menores a 100.

    \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3x^2}{3250000} dx = \int_{50}^{100} \frac{3x^2}{3250000} dx = 0.2692308 \]

f <- function(x) {{3*x^2}/{3250000}}
integrate(f, 50, 100)
## 0.2692308 with absolute error < 3e-15

  1. Calcula la esperanza de las revoluciones a las que funcionan los motores.

    \[ \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{50}^{150} x \cdot \left( \frac{3x^2}{3250000} \right) dx = \int_{50}^{150} \left( \frac{3x^3}{3250000} \right) dx = 115.3846 \]

g <- function(x) {x*{{3*x^2}/{3250000}}}
integrate(g, 50, 150)
## 115.3846 with absolute error < 1.3e-12

  1. Calcula la desviación típica.

    \[ \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \left( \frac{3x^2}{3250000} \right) dx - \mu^2 = \int_{50}^{150} \left( \frac{3x^4}{3250000} \right) dx - \mu^2 = 647.929 \]

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{647.929} = 25.454 \]

# Definición de la función j(x)
f <- function(x) { 3*x^2 / 3250000 }

# Cálculo de la esperanza matemática
media <- integrate(function(x) x * f(x), lower = 50, upper = 150)$value

# Cálculo de la varianza 
varianza <- integrate(function(x) x^2 * f(x), lower = 50, upper = 150)$value - (media^2)

# Cálculo de la desviación típica
sigma <- sqrt(varianza)

sigma
## [1] 25.45445

  1. Calcula la probabilidad de que las revoluciones se encuentren entre 80 y 120.

    \[ \int_{80}^{120} \frac{3x^2}{3250000} dx=0.37415 \]

h <- function(x) {{3*x^2}/{3250000}}
integrate(h,80,120)
## 0.3741538 with absolute error < 4.2e-15

Variable aleatoria binomial

En una gran empresa de sofware la tasa de que un proyecto sea un fracaso es de un 8%, dada la delicada situación económica quieren conocer las siguientes probabilidades sabiendo que el éxito o fracaso de cada proyecto es independiente, para poder decidir cuantos proyectos pueden tener al mismo tiempo en marcha sin execisivo riesgo.

  1. Calcula la probabilidad de que teniendo 25 proyectos en marcha 5 de ellos fracasen.

\(P(X=5)\)=

dbinom(5,25,0.08)
  1. Calcula la probabilidad de que teniendo 100 proyectos el número de fracasos será igual o menor que 10.

\(P(X\leq 10)\)=

pbinom(10,100,0.08)
  1. Calcula la probabilidad de que teniendo 25 proyectos el número de fracasos sea igual o menor a 10 u igual o mayor a 5.

\(P(5\leq X\leq 10)=P(X\leq 10)-P(X\leq 4)\)=

pbinom(10,25,0.08)-pbinom(4,25,0.08)

  1. Calcula la probabilidad de que iniciando 50 proyectos, 10 o más de ellos fracasen.

\(P(X\geq 10)=1-P(X\leq 9)\)=

1-pbinom(9,50,0.08)

Probabilidad

La Agencia Espacial Europea (ESA) acaba de inicar 3 programas y quiere conocer distintas probabiliades de fracaso sabiendo: la probabilidad de que fracase el programa A y el B es de 0.3 (\(P(A \cap B=0.3\)), la probabilidad de fracaso de B es de 0.6 (P(B)=0.6)), la probabilidad de que el programa C falle dado un fracaso de B es del 0.1 (P(C/B)=0.1), y la probabilidad de fracaso de C es del 0.7 (P(C)=0.7). A continuación calcula las siguientes probabilidades.

  1. Calcula la probabilidad de que el programa A de la ESA fracase habiendo fracasado B, sus probabilidades no son independientes ya que el programa B consiste en un componente importante en el programa A.

\(P(A/B) = P(A \cap B)/P(B)\) , tal que sustituyendo tendremos: \(P(A/B) =0.3/0.6=0.5\)

  1. El programa B también se utiliza en el programa C, por lo que tampoco son independientes. Calcula \(P(B/C)\).

\(P(B/C) = P(C \cap B)/P(C)\), pero dado que desconocemos la probabilidad de que C y B fallen al mismo tiempo, usaremos Bayes.\(P(B/C) = P(C \cap B)/P(C)=(P(C/B)*P(B))/P(C)= (0.1*0.6)/0.7=0.08571429\)

  1. La Agencia Espacial Europea ha reiniciado los programas B y C y por tanto las probabilidades de fracaso se han visto modificadas excepto P(B) y P(C)¿Cuál es la probabilidad de que fallen B y C si se nos comunicax que la probabilidad de que falle uno de ellos es de 0.8?

\(P(B\cap C) = -P(B \cup C )+P(B)+P(C)=-0.8+0.6+0.7=0.5\)

  1. La ESA debido a la gran probabilidad de que dos de sus nuevos programas terminen en fracaso a la vez, se ha planteado la posibilidad de que el programa C no utilice B. Repite el apartado anterior siendo B y c independientes:

Utilizaremos: \(P(B \cap C)=P(B)*P(C)=0.6*0.7=0.42\)

Contraste de hipótesis

PRIMER EJERCICIO:

Aparentemente ante el avance científico sobre una nueva especie dominante en una isla desierta, se ha determinado que aquel organismo se multiplica de manera alarmante y peligrosa para la existencia del ser humano, por suerte, dos grupos de exploradores tomaron diversas muestras, tras organizarlas pudimos determinar el tamaño de muestras de cada grupo, muestra1 = 23, muestra2 = 31, así como obtener algunos datos estadísticos como; las desviaciones estándar: sigma1 = 2, sigma2 = 3, además de las medias muestrales que cada grupo recogió previamente: media1 = 15, media2 = 20

  1. Construir un intervalo de confianza bilateral del 99% para la diferencia entre las medias de crecimiento de los organismos.
  2. Realizar un contraste de hipótesis y determinar si hay una diferencia significativa entre las medias de crecimiento de los organismos con una hipótesis nula de que las medias son iguales.
  3. ¿Es igual para un intervalo del 50%?
  4. ¿Esta la media incluída?

Datos: Tamaño de muestra1: (n1) = 23 Tamaño de muestra2: (n2) = 31 Media muestral1: (xbarra1) = 15 Media muestral2: (xbarra2) = 20 Desviación_estándar1: (sigma1) = 2 Desviación_estándar2: (sigma2) = 3

Como no se menciona en el ejercicio, tomamos por defecto: alpha = 0.01 (100%-99%)

a) Para conseguir el intervalo de confianza bilateral, haremos en R:

\((xbarra1-xbarra2)-qnorm(1-alpha/2)*sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\) \((xbarra1-xbarra2)+qnorm(1-alpha/2)*sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\)

-> Resultado: (-6.755037 , -3.244963)

b) Para este segundo apartado haremos dos cosas: Mostrar teóricamente el contraste de hipótesis así como hacer el estadístico-test para corroborarlo.

H0: mu1 - mu2 = 0 (Las medias son iguales) H1: mu1 - mu2 != 0 (Hay diferencia significativa)

Haremos el estadístico-test y el P-valor en formato R: \(ts = ((xbarra1-xbarra2)-mu)/sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\) \(pValue = 2 * (1-pt(-abs(ts), n1-1)\)

-> Resultado: Estadístico-test: -7.33839 P-valor: 1.429079e-09

Dado que el valor es ínfimo o menor que 0.01 se concluye que se rechaza la Hipótesis nula

c) Para ese intervalo solo cambiamos el valor de alpha a 0.5 y aplicamos lo mismo. Haremos el estadístico-test y el P-valor en formato R: \(ts = ((xbarra1-xbarra2)-mu)/sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\) \(pValue = 2 * (1-pt(-abs(ts), n1-1)\)

-> Resultado: Intervalo de (-5.459563 , -4.540437)

Con eso podemos afimar que no es igual para el 50% sino menor, solo comparando los intervalos: Inter1:(-6.755037 , -3.244963), Inter2:(-5.459563 , -4.540437)

d) La medias son diferentes, dado que el 0 no está incluida en el intervalo de 99%.

Lo mismo ocurre con el Intervalo del 50%.

SEGUNDO EJERCICIO:

Tras un evento apolalíptico, una de las últimas organizaciones gubernamentales estableció un gran desarrollo en el avance matemático de los jóvenes con el fin de llevar a la humanidad por un buen camino. Dicho eso, se proponen a revisar el desempeño escolar de los dos grupos, A y B en una de las escuelas más prestigiosas de la nación. El grupo A es de alumnos que han recibido clases adicionales de refuerzo mientras que el B es de alumnos que no recibieron clases adicionales. Se revisaron examenes realizados por ambos grupos:

Grupo A (refuerzo):

Notas examen1: (85,88,92,79,90,86,83,87,91,84)

Notas examen2: (88,90,94,82,92,87,85,89,93,86)

Grupo B (sin refuerzo):

Notas examen1: (78,82,88,75,85,80,77,81,86,79)

Notas examen2: (80,84,90,77,87,82,79,83,88,81)

1.¿Cuáles son las medias de notas para cada equipo?

2.¿Cuál es la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para el contraste de medias de los dos grupos?

3.¿Hay evidencia suficiente para afirmar que la media de las notas de uno de los dos grupos es mucho más grande que el otro?

4.Ahora queremos saber si existe suficiente evidencia estadística para afirmar que las notas del grupo A son mayores a 89.

  1. Para este caso registraremos en R ambos examenes de cada grupo y averiguamos la media de cada uno.

Grupo A:

\(GrupoA_1 = c(78,82,88,75,85,80,77,81,86,79)\)

\(GrupoA_2 = c(88,90,94,82,92,87,85,89,93,86)\)

Grupo B:

\(GrupoB_1 = c(85,88,92,79,90,86,83,87,91,84)\)

\(GrupoB_2 = c(80,84,90,77,87,82,79,83,88,81)\)

Luego sus medias:

GrupoA:

\(media1 = mean(GrupoA_1)\)

\(media2 = mean(GrupoA_2)\)

GrupoB:

\(media3 = mean(GrupoB_1)\)

\(media4 = mean(GrupoB_2)\)

  1. Para este caso es tan simple como identificar y mostrar las hipótesis: Hipótesis nula: H_0 = Las medias de los grupos A y B son iguales \(H_0: muA = muB\). Hipóteis alternativa: H_1 = Las medias de los grupos A y B son diferentes \(H_1: muA != muB\).

  2. Para este caso tendremos realizar la prueba de t-estudent para comparar las medias de los grupos A y B, como no dice un nivel de significancia tomamos por defecto del 95%, es decir, alpha = 0.05

hacemos el t.test ylos comparamos: En R: \(t_test = t.test(GrupoA_1,GrupoB_1,alternative = "two.sided",conf.level = 0.95)\) -> Resultados: \(t = -2.9607, df = 17.958, p-value = 0.008386\) Intervalo de confianza: \((-9.232539 , -1.567461)\).

Resumen: Podemos aclarar que hay una diferencia entre las medias dado que el 0 no esta involucrado en el intervalo de confianza.

  1. Para este caso tendremos que hacer la prueba anterior pero con mu = 89 y algún que otro cambio en R:

En R: \(t.test(GrupoA_1,mu = 89,alternative = "greater",conf.level = 0.95)\) -> Resultados: \(t = -5.9832, df = 9, p-value = 0.9999\) Intervalo de confianza: \((78.67964 , Inf)\)

Resumen: Podemos aclarar que la media del grupo A es mayor que 89, podríamos haberlo estimado comparando las medias pero de este metodo tenemos un resultado mas fiable y con datos que lo respaldan.

Test No paramétricos & Paramétricos: No paramétrico, Wilcoxon

Este año Red Bull ha contratado a un evaluador de rendimiento para sus pilotos y así gestionar mejor nuevos contratos como despidos futuros, para así llevar a Red Bull en la cima de la clasificación. Para ello se especula una posible oferta al piloto Fernando Alonso. Para ello han preparado una comparación con el piloto Max Verstappen en cuanto a resultados de tiempo de carreras del año pasado como muestras independientes.

Para este problema se tiene en cuenta la definición de Hipótesis nula

Tiempos:

-> Max Verstappen: 1’33, 1’34, 1’37, 1’42, 1’54, 1’47, 2’11, 1’40

->Fernando Alonso: 1’37, 1’39, 1’41, 1’42, 1’45, 1’53, 2’05, 2’14

1.Ordena y elabora los datos y calcula los rangos. Tras el cálculo de rangos comprueba que se cumpla la condición.

Max = c(1.33, 1.34, 1.37, 1.42, 1.54, 1.47, 2.11, 1.40)
Fernando =  c(1.37, 1.39, 1.41, 1.42, 1.45, 1.53, 2.05, 2.14)

# Obtenemos la longitud de cada cadena:
n1 = length(Max)
n2 = length(Fernando)

# Ordenaremos a continuación los datos:
Max_ordenado = sort(Max)
Fernando_ordenado = sort(Fernando)

# A continuación crearemos la tabla de valores con los rangos correspondientes:

# _____________________________________________________
# [Max Verstappen] | [Fernando Alonso]  | [K1]    [K2]|
# |1.33            |  -                 |  0       -  |  
# |1.34            |  -                 |  0       -  |
# |1.37            |  1.37              |  0.5     2.5|
# |-               |  1.39              |  -       3  |
# |1.4             |  -                 |  2       -  |
# |-               |  1.41              |  -       4  |
# |1.42            |  1.42              |  3.5     4.5|
# |-               |  1.45              |  -       5  |
# |1.47            |  -                 |  5       -  |
# |-               |  1.53              |  -       6  |
# |1.54            |  -                 |  6       -  |
# |-               |  2.05              |  -       7  |
# |2.11            |  -                 |  7       -  |
# |-               |  2.14              |  -       8  |
# _____________________________________________________
# Cálculo de rangos:
k1 = c(0,0,0.5,2,3.5,5,6,7)
k1_suma = sum(k1)           # Resultado: 24
k2 = c(2.5,3,4,4.5,5,6,7,8)
k2_suma = sum(k2)           # Resultado: 40

# Condición necesaria:
Condicion_parte1 = k1_suma + k2_suma # Resultado: 64
Condicion_parte2 = n1*n2             # Resultado: 64
# Donde n1 y n2 es la longitud de cada cadena.

Condición = Condicion_parte1 == Condicion_parte2 # Resultado: True
# Se cumple la condición necesaria.

2.Calcula \(U_s\) y \(U_(a/2)\) (Us y U_alpha/2). En caso que Fernando tenga tiempo igual o menor a Max cabe la posibilidad de ofertarle un contrato, para ello indica según el resultado si se rechaza la hipótesis nula.

# Para calcular Us tomaremos el maximo entre k1_suma y k2_suma
Us = max(k1_suma,k2_suma)

# Aplicaremos el comando en R para Averiguar U_alpha/2:
# qwilcox(1-alpha/2,n1,n2)
U_alpha_medios = qwilcox(1-(0.05/2),n1,n2)

# Para que se rechaze la hipótesis nula Us debe cumplir que: Us > U_alpha/2
# Observamos que Us <= U_alpha/2 tal que: 40 <= 50
# Por ende no rechazamos la Hipótesis nula, por tanto decimos que el tiempo de
# ambos es similar/idéntico.

Test No paramétricos & Paramétricos: Paramétrico, t-test

Para futuras carreras por parte de Red Bull, se tomaron medidas como es el tiempo de vuelta de los pilotos, suponiendo condiciones controladas como son el clima y una pista x específica, los tiempos de los pilotos seguirán una distribución normal. Bajo esas especificaciones queremos comparar los tiempos de vuelta promedio de dos pilotos: Max Verstappen y Webber Mark.

3.Define la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para este caso.

# La hipótesis nula y alternativa se definirían de la siguiente manera:
# Hipótesis nula (H0):
# H0: μ_verstappen = μ_mark
# Donde μ_verstappen representa el tiempo de vuelta promedio de Max 
# Donde μ_mark representa el tiempo de vuelta promedio de Mark

# Hipótesis alternativa (H1):
# H1: μ_verstappen ≠ μ_mark
# Donde μ_verstappen representa el tiempo de vuelta promedio de Max 
# Donde μ_mark representa el tiempo de vuelta promedio de Mark

4.Evalúa la hipótesis nula y alternativa para la comparación de tiempos de vuelta promedio sabiendo que siguen una distribución normal.

# Evaluación de datos

# Introducimos los datos:
M_verstappen = c(1.37, 1.39, 1.42, 1.51, 1.53)
M_Webber = c(1.45, 1.47, 1.50, 1.51, 1.52)

# Ahora se hará el t.test
Student_test = t.test(M_verstappen,M_Webber)
Student_test
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  M_verstappen and M_Webber
## t = -1.3246, df = 5.2783, p-value = 0.2398
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.13387252  0.04187252
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     1.444     1.490
# Como se puede observar, el p-value es mayor que el nivel de significancia por defecto: 0.05
# Por lo tanto podemos concluir que hay una diferencia significativa en los tiempos de vuelta promedio.

ANOVA

Una compañía fabricante de telefonos inteligente ha diseñado 15 prototipos para lanzar su nuevo producto al mercado y 3 grupos de 5 teléfonos disponen de la misma CPU. Dados los datos de rendimiento según una formula que emplea la empresa:

CPU1: 99.44,100.07,100.13,99.72,100.46 CPU2: 104.99,105.74,105.95,104.46,105.10 CPU3: 110.16,109.87,109.60,110.68,110.43

1.Suponiendo que se cumplen las hipotesis para el análisis de varianza discierne si hay diferencias debida al uso de una CPU distinta.

datos=c(99.44,100.07,100.13,99.72,100.46,104.99,105.74,105.95,104.46,105.10,110.16,109.87,109.60,110.68,110.43)
cpu=factor(c(rep(“1”,5),rep(“2”,5),rep(“3”,5)))
summary(aov(datos~cpu))

El valor del p-valor es 1.49*10^-12, por tanto hay evidencia estadística en contra de que el rendimiento con distintas CPU sea el mismo.

2.Repite el primer apartado pero ahora considerando que los prototipos se dividen entre 5 grupos que usan chps de memoria de un fabricante distinto.¿Afecta al rendimiento la CPU?¿Y el chip de memoria?

datos=c(99.44,100.07,100.13,99.72,100.46,104.99,105.74,105.95,104.46,105.10,110.16,109.87,109.60,110.68,110.43)
cpu=factor(c(rep(“1”,5),rep(“2”,5),rep(“3”,5)))
memoria=factor(c(rep(“A”,3),rep(“B”,3),rep(“C”,3),rep(“D”,3),rep(“E”,3)))
summary(aov(datos~cpu+memoria))

El primer p-valor es 8.95*10^-9, por tanto podemos afirmar que hay evidencia estadística contra la hipotesis de que la CPU no afecta al rendimiento. El segundo p-valor es 0.931, por lo que podemos afirmar que no hay evidencia estadística contra la hipotesis de que el chip de memoria no afecta al rendimiento y que las diferencias pueden deberse al azar.

3.Calcula los datos restantes de la tabla ANOVA suponiendo que solo nos den la siguiente información: tenemos los 15 prototipos divididos en 3 las CPU como hemos mencionado en el apartado 1, la suma de cuadrados total es 262.2 y los cuadrados medios dentro de los grupos es 0.23.

Grados de libertad entre grupos: b-1=3-1=2

Grados de libertad dentro de los grupos: n-b=15-3=12
Grados de libertad en total: n-1=15-1=14
Suma de cuadrado dentro de los grupos: GL dentro/CM dentro=12*0.23=2.76
Suma de cuadrados entre grupos: SC total-SC dentro=262.2-2.76=259.44
Media de cuadrados entre grupos: SC entre/b-1 259.44/2=129.72
F: MSE/MSD=129.72/0.23=564

4.Realiza el apartado 3 teniendo en cuenta: los grados de libertad entre grupos es de 2, los grados de libertad dentro de bloques es de 4, la suma de cuadrados dentro de bloques es de 0.26, la suma de cuadrados total es de 262,22 y la media de cuadrados entre grupos es de 129.7.

Grados de libertad para debido al azar:GL entre * GL dentro=2*4=8
Grados de libertad en total:Suma de GL entre, dentro y azar.2+4+8=14

Suma de cuadrados entre grupos: p-1(GL entre) * CM entre = 2*129.7=259.4
Suma de cuadrado para debido al azar: SC total-SCentre-SCdentro = 262.22-0.26-259.4=2.56

Media de cuadrados dentro de los bloques: SC dentro/b-1(GL dentro) = 0.26/4=0.065
Media de cuadrados al azar: SC azar/GL azar = 2.56/8=0.32

F1: MSE/MSD = 129.7/0.32=405.31
F2: MSB/MSD = 0.065/0.32=0.2031

Regresión lineal

Una editora de videojuegos quiere conocer que impacto en la cantidad de unidades vendidas de sus juegos tiene el tamaño del presupuesto de cada uno de ellos debido a la crisis del sector, y la dificultad de poder financiar proyectos de tal envergadura.Si suponemos que se cumplen las condiciones para hacer regresión lineal:

presupuesto = c(40, 45, 50, 55, 60, 80, 100, 120, 150, 160, 180, 200) ventas = c(3.5, 3.8, 4.2, 4.8, 5.5, 6.5, 7.0, 7.5, 8.5, 9.0, 9.5, 10.0)

Las ventas son en millones de unidades y el presupuesto en millones de dólares

1.Comenta si hay correlación entre ambas variables

Introduciendo los datos anteriores en R y usando cor(presupuesto,nota) podemos saber si existe correlación. Podemos afirmar que si hay correlación ya que el resultado que nos da es muy alto: 0.98.

2.¿Que porcentaje de la variabilidad de la nota es explicada por el presupuesto?

Para averigaurlo nos basta con hacer 0.98^2 = 0.9604. El 96,04% de la variabilidad de la nota se explica por el presupuesto.

3.¿Cuál es el intervalo de confianza de la constante y de la pendiente con un nivel de confianza de 0.9?

Usaremos confint(lm(ventas~presupuesto),level=0.9). El interavlo de la constante es (2.04,3.11) y el de la pendiente es (0.0348,0.0439)

  1. La editora está preparando los juegos que piensa lanzar en la nueva generación de videoconsolas y tiene dos alternativas, un proyecto con un presupuesto de 130 millones y otro más ambicioso que cuesta 230. Predice las ventas para ambos casos y concluye si es rentable elegir el proyecto más ambicioso si por cada millón de unidades la compañía ingresa 30 millones de dólares.

predict(lm(ventas~presupuesto),data.frame(presupuesto=130),level = 0.95)
predict(lm(ventas~presupuesto),data.frame(presupuesto=230),level = 0.95)

Con 130 millones se venderían 7.70 millones, lo que supondrían unos ingresos de 231 millones. Con 230 millones de presupuesto se venderían 11.63 millones de juegos, lo que supondrían unos igresos de 348.9 millones. La diferencia es de 348.9-231 = 117.9, por tanto la elección del proyecto más abicioso preveemos que logragrá unos beneficios superiores en 17.9 millones.

Trabajo banco de datos

Utilizaremos el conjunto de datos email50 del paquete openintro, en concreto la variable spam que nos indica si es un correo no deseado, y num_char que indica la longitud del mensaje en miles de carácteres. El objetivo será saber si los textos que son spam tienen una mayor longitud. A continución podemos ver la longitud media de los correos en una grafica.

La hipotesis nula será que la longitud de los correos es igual ya sean correo no deseado o no, mientras que la hipotesis alternativa será que si hay una diferencia en la media dependiendo de si son spam.

Hipótesis nula:

\(H_0 : \mu_{\text{spam}} = \mu_{\text{no spam}}\)

Hipótesis alternativa:

\(H_1 : \mu_{\text{spam}} \neq \mu_{\text{no spam}}\)

spam = subset(email50, spam == 1) nospam = subset(email50, spam == 0)

t.test(spam\(num_char,nospam\)num_char, conf.level=.95)

El resultado da un p-valor de 0.9904, por tanto no hay evidencia estadística contra la hipotesis nula de que la longitud del correo es igual ya sea spam o no.

A continuación creamos una gráfica para poder ver la media de longitud del correo para ambos casos, podemos ver el código utilizado y la imagen resultante.

mediaspam = mean(spam\(num_char) medianospam = mean(nospam\)num_char)

Crear un vector con las medias y etiquetas

medias = c(NoSpam = medianospam, Spam = mediaspam)

Dibujar el gráfico de barras

barplot(medias, main = “Longitud media de los correos por categoría”, ylab = “Longitud media correo”, col = c(“blue”, “red”), ylim = c(0, max(means) + 0.1))