Komplexné čísla

Author

Hannah Kuklovská

1 Úvod

Komplexné čísla predstavujú fascinujúci matematický koncept, ktorý hrá kľúčovú úlohu v mnohých oblastiach. Ich zavedenie sa v minulosti stretlo s počiatočným odporom a skepsou, avšak ich význam a užitočnosť sa postupne stali neoddeliteľnou v podobe matematiky, ako ju poznáme v súčasnosti.

V tomto projekte sa budeme venovať komplexným číslam, ich históriou, pôvodom. Pozrieme sa na základné definície a vlastnosti tohto fascinujúceho matematického konceptu. Zhrnieme tiež geometrickú interpretáciu komplexných čísel a ich zobrazovanie v komplexnej rovine. Narazíme aj na témy ako: polarizovaná forma komplexných čísel, De Moivreova veta a komplexné konjugácie.

Nosnú časť projektu tvoria komplexné n-té odmocniny z 1. Naším cieľom je pozrieť sa bližšie na ich zaujímavé vlastnosti vzhľadom na jednotkovú kružnicu v komplexnej rovine.

Projekt bude obsahovať nielen teoretické pozadie, ale aj praktické príklady,ktoré pomôžu lepšie demonštrovať vlastnosti komplexných čísel.

2 Definícia

Komplexné číslo je usporiadaná dvojica reálnych čísel. Komplexné číslo \(a = (a_1, a_2)\) zapisujeme v tzv. algebraickom tvare \[ a = a_1 + ia_2 \tag{1}\]

,kde \(i\) je imaginárna jednotka, pre ktorú platí \(i^2 = -1\). Číslo \(a_1\) sa nazýva reálna časť komplexného čísla \(a\) a označuje sa \(\text{Re } a\), číslo \(a_2\) sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla \(a\) a označuje sa \(\text{Im } a\). Množinu všetkých komplexných čísel označujeme \(\mathbb{C}\).

Všimnime si

Z algebraického tvaru komplexného čísla je zrejmé, že reálne čísla sú špeciálnym prípadom komplexných čísel: reálne číslo \(a\) identifikujeme s komplexným číslom \(a + i0\), teda s komplexným číslom \((a, 0)\). Komplexné číslo, ktoré má imaginárnu časť odlišnú od nuly, sa nazýva imaginárne, a číslo vo forme \((0, a)\), kde \(a \neq 0\), sa nazýva čisto imaginárne1.

Figure 1: Číselné obory

3 História

3.1 Kubická rovnica

Komplexné čísla zaviedol slávny taliansky hráč a matematik Gerolama Cardana (1501-1576) v roku 1545, keď našiel explicitný vzorec pre všetky tri korene kubickej rovnice

algebraická rovnice tretieho stupňa. Jej základný tvar vyzerá nasledovne:

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \tag{2}\]

kde \[ a \not = 0 \]

3.2 Aritmetické pravidlá

Mnohí matematici prispeli k úplnému rozvoju komplexných čísel. Pravidlá sčítania, odčítania, násobenia a delenia komplexných čísel vypracoval taliansky matematik Rafael Bombelli(1526-1572).

3.3 Označenie

Označenie \(1\) a \(i\) pre jednotkové vektory v horizontálnom kladnom smere a vertikálnom kladnom smere zaviedol Leonhard Euler (1707-1783), ktorý vizualizoval komplexné čísla ako body s pravouhlými súradnicami, ale neposkytol uspokojivý základ pre komplexné čísla.

3.4 Cesta k dnešnému pojmu

Bol to Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ktorý zaviedol termín komplexné číslo.

Cauchy, francúzsky súčasník Gaussa, rozšíril pojem komplexných čísel na pojem komplexných funkcií.

4 Grafické znázornenie

Komplexné čísla možno graficky znázorniť ako bod v rovine súradníc. V kartézskych súradniciach2. Ako sme už spomenuli v predošlej kapitole(Section 2) pre reálnu časť čísla sa používa os x a pre imaginárnu zložku sa používa os y.

Figure 2: Súradnicová os

Príklad vizualizácie v prostredí Python:

import matplotlib.pyplot as plt

# Body, komplexné čísla
r1, i1 = (3,2) #('3 + 2i')
r2, i2 = (-2,-2) #('-2 + -2i')

# Graf
plt.plot(r1, i1, marker = "*", color = "lightblue", markersize = 20)  
plt.plot(r2, i2, marker = "*", color = "lightgreen", markersize = 20)  
plt.plot([0, r1], [0, i1], color = "gray")  
plt.plot([0, r2], [0, i2],color = "gray")  
plt.annotate('3 + 2i', xy = (r1, i1),xytext=(r1 + 0.2, i1 + 0.2))
plt.annotate('-2 + -2i', xy = (r2, i2), xytext=(r2 + 0.2, i2 - 0.2))
plt.xlabel('Reálna os')
plt.ylabel('Imaginárna')
plt.title('Vizualizácia komplexných čísel')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=1) 

plt.xlim(-4, 4)
(-4.0, 4.0)
plt.ylim(-4, 4)  
(-4.0, 4.0)
plt.show()

5 Komplexný konjugát

V matematike je komplexný konjugát komplexného čísla, číslo s rovnakou reálnou časťou a imaginárnou časťou, ktorá je rovnako veľká, ale má opačné znamienko. Zvyčajne ho označujeme \({\displaystyle {\overline {z}}}\)

Teda, ak \(a\) a \(b\) sú reálne čísla, tak komplexný konjugát \(a - ib\) bude mať tvar \(a + ib\)

5.1 Súčin

Súčinom komplexného čísla a jeho konjugátu je reálne číslo:

\[ (a - ib)(a + ib) = a^2 + b^2 \tag{3}\]

Vizualizácia(3) vyzerá nasledovne:

Figure 3: Komplexná konjukácia

6 Komplexné n-té odmocniny z 1

Korene \(n\)-tej mocniny z jednotky sú komplexné riešenia rovnice(Stewart 2007):

\[ z^n = 1 \]

6.1 De Moivreova veta

De Moivreova veta hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo \(z = r(cos\theta + isin \theta)\) , kde \(r\) je veľkosť (polomer) komplexného čísla a \(\theta\) je argument (uhol), a ľubovoľné kladné celé číslo \(n\), platí: \[ (r(cos(\theta) + isin(\theta))^n = r^n(cos(n\theta) + isin(n\theta)) \tag{4}\]

6.2 Pokračujeme ďalej

Predpokladajme, že komplexné číslo \(z = a+ bi\) (1) je riešením tejto rovnice, a uvažujme polárnu reprezentáciu \(z = re^{i\theta}\), kde \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) a \(\tan \theta = \frac{b}{a}\), \(0 \leq \theta < 2\pi\). Potom, podľa De Moivreovej vety(4), platí

\[ 1 = z^n = (re^{i\theta})^n = r^n(\cos \theta + i\sin \theta)^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta). \]

To znamená, že \(r^n = 1\), a keďže \(r\) je reálne nezáporné číslo, platí \(r = 1\). Navyše, \(n\theta = \frac{2k\pi}{n}\) alebo \(\theta = \frac{2k\pi}{n}\) pre nejaké celé \(k\). Hodnoty \(k = 0, 1, 2, \ldots, n-1\) dávajú rôzne hodnoty \(\theta\) a pre akúkoľvek inú hodnotu \(k\) môžeme pridať alebo odčítať násobok celého čísla \(n\) a redukovať sa na jednu z týchto hodnôt \(\theta\)(Stewart (2007)).

Preto sú \(n\)-te korene zjednotenia komplexné čísla3.

\[ e^{\frac{2k\pi}{n}i} = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) \]

pre \[ k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\} \]

Napríklad, nájdeme \(n\)-té odmocniny z jednotky pre \(n = 4\):

n <- 4
korene <- exp(2*pi*1i*(0:(n-1))/n)
korene
[1]  1+0i  0+1i -1+0i  0-1i

6.3 Zobrazenie n-tých odmocnín

Na zobrazenie tohto fenoménu som použila programovací jazyk python a možnosť grafického zobrazovanie, v ňom implementovanom.

Nasledovný kód vykresľuje komplexné \(n\)-té odmocniny z 1 pre rôzne hodnoty \(n\), a ich následnú projekciu na reálnu a imaginárnu os. Najprv sú vypočitané korene pre zvolené \(n\), následne sú oddelené reálne a imaginárne hodnoty. Tieto výsledky sú namapované do grafu v podobe bodov.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_roots_of_unity(n):
    # Výpočet koreňa (koreňov)
    roots = [np.exp(2j * np.pi * k / n) for k in range(n)]
    
    #Oddelenie reálnych a imaginárnych hodnôt
    real_parts = [np.real(root) for root in roots]
    imag_parts = [np.imag(root) for root in roots]
    
    #Korene
    plt.scatter(real_parts, imag_parts, color='red', marker='o', alpha = 0.7, s=100)
    
    plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
    plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
    plt.xlabel('Reálna časť')
    plt.ylabel('Imaginárna časť')
    plt.title('Korene (n = {})'.format(n))
    plt.grid(True)
    plt.axis('equal')
    plt.show()
  

# Demoštratívne príklady 
plot_roots_of_unity(1)

plot_roots_of_unity(2)

plot_roots_of_unity(3)

plot_roots_of_unity(7)

plot_roots_of_unity(10)

plot_roots_of_unity(15)

6.4 Vlastnosti

Niektoré kľúčové vlastnosti \(n\)-tých odmocnín z jednotky4:

  • existuje \(n\) rôznych \(n\)-tých odmocnín z jednotky
  • \(n\)-té odmocniny z jednotky sú rovnomerne rozmiestnené okolo jednotkovej kružnice v komplexnej rovine
  • súčet všetkých \(n\)-tých odmocnín z jednotky je 0 pre \(n \neq 1\)
  • jedine reálne \(n\)-té odmocniny z jednotky sú 1 a -1

viditeľný opakujúci sa vzorec

6.5 Pozorovania

Zistili sme, že komplexné \(n\)-tých odmocnín z jednotky sa vyznačujú zaujímavou symetriou:

  1. Symetria vzhľadom na reálnu os
  • Pre každý komplexný koreň \(z\) je aj jeho komplexne konjugovaná hodnota(Section 5) koreňom
  1. Rovnomerná distribúcia
  • komplexné \(n\)-tých odmocnín z jednotky: sú rovnomerne rozmiestnené po jednotkovej kružnici
  • ak vezmeme \(n\)-tú odmocninu z jednotky, výsledkom bude \(n\) bodov ležiacich na jednotkovej kružnici, ktoré sú rovnomerne rozmiestené. Ich spojením vznikne rovnostranný \(n\)-uholník

7 Použitie

  • Zostrojenie pravidelného 5 uholníka5
  • Výpočet koreňov kubickej rovnice (2)
  • Algebra
    • riešenie polynómových rovníc6 , najmä tých, ktoré vyžadujú existenciu komplexných čísel
  • Spracovanie signálov
    • pri Fourierovej analýze a diskrétnom Fourierovom transformovaní (DFT)
    • kľúčovú úlohu pri rozkladaní signálov na ich frekvenčné zložky a sú nevyhnutné pre digitálne spracovanie signálov
  • Fyzika
    • kvantovej mechanike7 a vlnovej teórie
    • často v kontexte periodických javov a šírenia vĺn
  • Informatika
    • v algoritmoch a výpočtových technikách
    • v numerickom analýze a počítačovej grafike
    • pri interpolácií, aproximácií a spracovaní obrazu

8 Záver

Tento projekt má síce malé rozmery, ale je ako otvorené okno do fascinujúceho sveta komplexných čísel a ich tajomstiev. Ukazuje nám, že aj keď sa, komplexné čísla, na prvý pohľad môžu zdať abstraktné a nezrozumiteľné, majú neuveriteľnú moc a využitie. Ich veľkou výhodou, sú práve symetrie, ktorých prítomnosť sme si v tomto projekte demoštrovali. Práve oni stoja za možnosťou hlbšieho skúmania, na základe identifikácie vzorcov “správania”, tým nám uľahčujú výpočty a umožňujú hlbšie porozumenie. Komplexné čísla nám ponúkajú doposiaľ nepreskúmanú perspektívu, otvárajúc nám dvere k novým konceptom a riešeniam problémov, ktoré by sme inak nemohli rozlúštiť. Sú kľučom k poznaniu sveta okolo nás.

References

Stewart, James. 2007. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning; 6th edition.

Footnotes

  1. odkaz na poznámky z prednášky ČVUT https://intranet.fel.cvut.cz/cz/prestudent/images/msu7.pdf↩︎

  2. Kartézska sústava súradníc je pravotočivá trojrozmerná (dvojrozmerná) ortonormálna sústava súradníc.↩︎

  3. https://cs.stanford.edu/~rayyli/static/contest/lectures/Ray%20Li%20rootsofunity.pdf↩︎

  4. Prednáška Padraica Bartletta https://web.math.ucsb.edu/~padraic/caltech/math1d_2010/ma1d_wk7_notes_2010.pdf↩︎

  5. Dôkaz: https://www.maths.tcd.ie/%7Edwilkins/Courses/ET7246/LocalResources2021/Presentations/PentagonByDeMoivre.pdf↩︎

  6. Polynómové funkcie: https://www.cuemath.com/algebra/polynomial-equations/↩︎

  7. časť fyziky ktorá skúma a popisuje javy na nanoskopických škálach↩︎