Laboratorio 8

Distribución binomial

Ejemplos en R

1. Considere a un vendedor de seguros que visita a 10 familias elegidas en forma aleatoria. El resultado correspondiente de la visista a cada familia se clasifica como éxito si la familia compra un seguro y como fracaso si no compra ningún seguro. Por experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que un familia tomada aleatoriamente compre un seguro es 0.10.

1. ¿Presenta este experimeno las características de un experimento binomial? ¿Por qué?
2. ¿Cuál es la variable aleatoria del problema?
3. Escriba la distribución de la variable aleatoria con sus parámetros.
4. Grafique la función de probabilidad y la función de distribución.
5. Encuentre las siguientes probabilidades
   1. Se venden tres seguros
   2. Se venden menos de tres seguros
   3. Se venden seis o más seguros
   4. Se venden entre dos y seis seguros
   5. No se venden seguros
   6. Se venden a lo sumo 8 seguros
6. Encuetre el valor esperado y la varianza de la variable.

Solución

1. Sí, ya que cumple con las cuatro condiciones.
   • Cada posible venta es un experimento de Bernoulli.
   • Hay dos eventos posibles que son: vende o no vende.
   • Cada venta a una familia es independiente de la otra.
   • Existe una probabilidad de éxito constante 0.1.
2. \(X =:\) “Número de familias que compran el seguro”
3. \(X \Rightarrow Bin(n=10, p=0.1)\)
4. Función de probabilidad

Code

library(ggplot2)
eventos=0:10

fx = dbinom(x = eventos , size=10, prob=0.1)
data = data.frame(x=as.factor(0:10), y=fx)

ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_point(size = 2, color= "blue") + 
  geom_segment(aes(x=x, xend=x, y=0, yend=y), size = 1, linetype="dashed") +
  labs(title = "Función de densidad del\n número de familias\n que compran seguro", 
       x="X", 
       y= "f(x)") +
  theme_linedraw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text = element_text(size = 18),
        axis.title.y = element_text(angle = 0, vjust = 0.5))

4. Función de distribución

Code

library(ggplot2)

eventos=0:10
Fx = pbinom(q = eventos , size=10, prob=0.1)
data = data.frame(x=-1:10, 
                  y=c(0, Fx), 
                  xend = 0:11,
                  yend=c(0, Fx),
                  xacu = 0:11,
                  yacu = c(Fx, 1.0000))

ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_point(aes(x=xend, y=yend), size = 4, color= "blue", shape=1) +
  geom_point(aes(x=xacu, y=yacu), size = 2, color= "blue") +
  geom_segment(aes(x=x, xend=xend, y=y, yend=yend), size = 0.8, alpha = 0.7) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:11) +
  labs(title = "Función de distribución del\n número de familias\n que compran seguro", 
       x="X", 
       y= "F(x)") +
  theme_linedraw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5), text = element_text(size = 18),
        axis.title.y = element_text(angle = 0, vjust = 0.5))

5. Cálculo de probabilidades

6. \(p(X = 3)\)

Code

# p(x=3)
dbinom(x = 3 , size=10, prob=0.1)

[1] 0.05739563

2. \(p(X < 3)\)

Code

# p(x<3)
sum(dbinom(x = 0:2 , size=10, prob=0.1))

[1] 0.9298092

Code

# otra forma
pbinom(q = 2, size=10, prob=0.1)

[1] 0.9298092

3. \(p(X \geqslant 6)\)

Code

# p(x>=6)
sum(dbinom(x = 6:10 , size=10, prob=0.1))

[1] 0.0001469026

Code

# otra forma
1 - pbinom(q = 5, size=10, prob=0.1)

[1] 0.0001469026

4. \(p(2 \leqslant\ X \leqslant\ 6)\)

Code

# p(2 <= x <= 6)
sum(dbinom(x = 2:6 , size=10, prob=0.1))

[1] 0.2638919

22. \(p(X = 0)\)

Code

# p(x = 0)
dbinom(x = 0 , size=10, prob=0.1)

[1] 0.3486784

6. \(p(X \leqslant\ 8)\)

Code

# p(x <= 8)
sum(dbinom(x = 0:8 , size=10, prob=0.1))

[1] 1

Code

pbinom(q = 8, size=10, prob=0.1)

[1] 1

6. Encuetre el valor esperado y la varianza de la variable.

Code

# E(x) = np
Ex = 10*0.1
cat("El varlor esperado es: E(X) =", Ex, "\n")

El varlor esperado es: E(X) = 1 

Code

# Var(x) = np(1-p)
varx = 10*0.1*0.9
cat("La varianza es: Var(X) =", varx)

La varianza es: Var(X) = 0.9