Modelo Clássico de Transporte

Contexto: Duas usinas fornecedoras de vigas metálicas localizam-se hipotéticamente em Recife e Manaus. Obras em São Paulo e Rio de Janeiro possuem para a próxima semana uma demanda de 50 e 100 peças de viga W respectivamente. O estoque das mesmas em Recife e Manaus é de 40 e 150 respectivamente. Considerando o custo de transporte de cada peça enviada entre as cidades sejam: Recife-São Paulo (R$200,00); Manaus-São Paulo (R$300,00); Recife-Rio de Janeiro (R$280,00) Manaus-Rio de Janeiro (R$350,00). Elabore o modelo de transporte de custo mínimo.

Solução

Critério de Otimalidade: Minimizar o custo do transporte das peças.

Definição das variáveis de decisão:

\(x_{ij}\): número de peças enviadas da cidade de origem \(i\) para a cidade de destino \(j\), \(i=1 (Recife),2(Manaus)\) e \(j=\) 1(São Paulo), 2(Rio de Janeiro)

Função Objetivo:

min \(z=200x_{11} + 280x_{12} + 300x_{21} + 350x_{22}\)

Restrições

\(x_{ij} \ge 0, \space \forall i,j=1,2\)

Pontos de transbordo

Um ponto de transbordo é uma facilidade como centro de distribuição, terminal, porto marítimo ou fábrica que pode conectar as origens e destinos, com o objetivo de reduzir os custos logísticos.

Considere pontos de transbordo

Suponha agora que a oferta de 1-Recife e 2-Manaus seja enviada até um ponto de transbordo localizado em 3-Campinas e de lá é entregue ao cliente final. Agora o custo de envio de cada peça de 1-Recife ou 2-Manaus para 3-Campinas é de R$150,00 por peça e, cada trecho de 3-Campinas para 4-São Paulo ou 5-Rio de Janeiro é respectivamente R$80,00 e R$100,00 por peça.

Modelo com transbordo

Critério de Otimalidade: Minimizar o custo do transporte das peças.

Definição das variáveis de decisão:

\(x_{ij}\): número de peças enviadas do ponto \(i\) para o ponto\(j\), tal que \(i=1,..,3\) e \(j=3, ...,5\) sendo 1-Recife, 2-Manaus, 3-Campinas, 4-São Paulo e 5-Rio de Janeiro.

Função Objetivo:

min \(z=150x_{13} + 150x_{23} + 80x_{34} + 100x_{35}\)

Restrições

\(x_{ij} \ge 0, \space \forall (i,j) \in \{(1,3), (2,3),(3,4),(3,5)\}\)

Solução com transbordo e sem transbordo

Success: the objective function is 36500 

[1]  40 110  50 100

Success: the objective function is 45800 

[1]  40   0  10 100

Rede

Origem: 1-Recife e 2-Manaus; Destinos: 5-São Paulo e 6-Rio de Janeiro

Transbordo: 3-Campinas e 4-Vitória

Modelo com transbordo

Critério de Otimalidade: Minimizar o custo do transporte das peças.

Definição das variáveis de decisão:

\(x_{ij}\): número de peças enviadas do ponto \(i\) para o ponto\(j\), tal que \(i=1,..,4\) e \(j=3, ...,6\) sendo 1-Recife e 2-Manaus, 3-Campinas, 4-Vitória, 5-São Paulo e 6-Rio de Janeiro.

Função Objetivo:

min \(z=150x_{13} + 150x_{23} + 100x_{14} + 180x_{24} + 80x_{35} + 100x_{36} + 130x_{45} + 50x_{46}\)

Restrições

\(x_{ij} \ge 0, \space \forall (i,j) \in \{(1,3), (2,3),(1,4), (2,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6)\}\)

Solução com dois pontos de transbordo

1-Recife, 2-Manaus, 3-Campinas, 4-Vitória, 5-São Paulo e 6-Rio de Janeiro.

Success: the objective function is 31300 

[1]   0  50  40  60  50   0   0 100

Roteamento de Veículos

Envolve determinar as rotas mais eficientes para um conjunto de veículos que devem atender a uma série de locais de destino, chamados de clientes, levando em consideração diversas restrições. O objetivo é minimizar os custos totais, como o tempo de viagem, distância percorrida, custo de combustível, etc.

A rede de transporte

Deseja-se partir do ponto 1 e chegar ao ponto 6 ao menor custo possível. Sabendo que \(c_{12}=c_{13}=c_{14}=10\); \(c_{25}=5\); \(c_{26}=6\); \(c_{35}=c_{36}=5\); \(c_{45}=c_{46}=1\); \(c_{52}=5\); \(c_{54}=0\).

Modelo de roteamento

Critério de Otimalidade: Minimizar o custo da rota.

Definição das variáveis de decisão:

\(x_{ij}\): 1 se o trecho (i,j) faz parte da rota e 0 em caso contrário. \((i,j) \in \{(1,2),(1,3),(1,4), (2,5),(2,6),(3,5),(3,6), (4,5), (4,6), (5,2),(5,4)\}\)

Função Objetivo:

min \(z=10x_{12}+10x_{13}+10x_{14}+5x_{25}+6x_{26}\) \(+5x_{35}+5x_{36}+1x_{45}+1x_{46}+5x_{52}+0x_{54}\).

Restrições

\(x_{ij} \in \{0,1\}, \space \forall (i,j) \in \{(1,2),(1,3),(1,4), (2,5),(2,6),(3,5),(3,6),\) \((4,5), (4,6), (5,2),(5,4)\}\)

Solução

Rota de custo mínimo: 1-4-6

Success: the objective function is 11 

 [1] 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

Código 1 R

Exercício com dois pontos de transbordo

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(150,150,100,180,80,100,130,50)
x=paste0("x",c(13,23,14,24,35,36,45,46))
        R1 = c(1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)
        R2 = c(0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0)
        R3 = c(0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0)
        R4 = c(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1)
        R5 = c(1, 1, 0, 0,-1,-1, 0, 0)
        R6 = c(0, 0, 1, 1, 0, 0,-1,-1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5,R6)
b = c(40, 150, 50, 100, 0,0)
sinal = c("<=","<=",">=",">=" ,"=", "=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = T)
solucao

Success: the objective function is 31300 

solucao$solution

[1]   0  50  40  60  50   0   0 100

knitr::kable(data.frame(Var=x,Quant_pecas=solucao$solution))

Código 2 R

Roteamento de veículos

library(lpSolve) #precisa instalar o pacote caso não tenha
coef.objetivo = c(10,10,10,5,6,5,5,1,1,5,0)
x=paste0("x",
     c(12,13,14,25,26,35,36,45,46,52,54))
R1 = c(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
R2 = c(0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0)
R3 = c(1, 0, 0,-1,-1, 0, 0, 0, 0, 1, 0)
R4 = c(0, 1, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 0, 0, 0)
R5 = c(0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,-1,-1, 0, 1)
R6 = c(0, 0, 0,-1, 0,-1, 0,-1, 0, 1, 1)
restricoes = rbind(R1,R2,R3,R4,R5,R6)
b = c(1, 1, 0,0,0,0)
sinal = c("=","=","=","=" ,"=", "=")
solucao = lpSolve::lp(direction = "min",
                      objective.in = coef.objetivo,
                      const.mat = restricoes, 
                      const.dir = sinal, 
                      const.rhs = b, all.int = T)
solucao

Success: the objective function is 11 

solucao$solution

 [1] 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

knitr::kable(data.frame(Trecho=x,Ação=solucao$solution))

Revise

• Terminou? Revise os conceitos e modelos das aulas anteriores, incluindo o caderno de modelagem. Prepare-se para a avaliação parcial desta unidade.

• Revise os conceitos sobre modelagem.

• Revise as hipóteses dos modelos de otimização linear.

• Revise os itens necessários que um modelo deve conter.

• Refaça todos os modelos propostos em aula.