不平等の指標

• 所得や資産の不平等の指標として最もよく使われているのがジニ係数
• 変動係数や四分位範囲、四分位範囲を中央値で割った値（四分位範囲はスケールによって変わるが、中央値で割るとスケールに依存しなくなる）、20-80 パーセンタイル範囲が用いられることも
• ジニ係数とセットで紹介されるのがローレンツ曲線

ジニ係数の定義

\(i\) さんの収入を \(x_i \; (i = 1, \, 2, \; \ldots, \; N)\) 、\(x_i\) の平均を \(\bar x\) とすると、収入のジニ係数は、 \[ \frac{\sum_{i = 1} ^ N \sum_{j=1} ^N |x_i - x_j|}{2 N^2 \bar x} \]

• すべての値の組み合わせで差をとって、それらを平均し、最大値が \(1\) になるように標準化したのがジニ係数、といえようか。
• テキスト本文の定義と少し式が違うが、両者は等しい。テキストは手計算向き、こちらはコンピュータ向きの表現

ジニ係数の計算例

• あるサークルに属する学生 3人の所有資産（単位：万円）が、5, 20, 100だったとする。
• \(N= 3\) 、\(\bar x = 41.7\) なので、ジニ係数は

\[ \begin{align} & (|5 - 5| + |5 - 20| + |5 - 100| + \\ & |20 - 5| + |20 - 20| + |20 -100| + \\ & |100 - 5| + |100 - 20| + |100-100| ) \div (2 \cdot 3^2 \cdot 41.7) = 0.507 \end{align} \]

• 例題を解いてみよ

ローレンツ曲線の定義

• 累積相対度数と累積相対資産／収入を折れ線グラフにしたものをローレンツ曲線と呼ぶ。

3人の学生の資産のローレンツ曲線

• 赤い折れ線がローレンツ曲線
• 人数が多いと曲線に見える
• 平等であるほど原点を通る傾き \(1\) の直線に近づく
• 不平等であるほど、地を這うような曲線を描き、累積相対度数が \(1\) に近づくと急激に上昇する

ジニ係数の幾何学的な計算

• ローレンツ曲線とx軸で囲まれた領域は、左端の三角形と、二つの台形（を横に倒した形）に分けられる
• 三角形と台形の面積をすべて求め、それらの総和を 0.5 から引いて2倍すれば、ジニ係数を計算できる
• 三角形は、上底の長さが 0 の台形と考えることができるので、人数分の台形の面積を求めればジニ係数を計算できる \[ \begin{align} (0.04 + 0)\times 1/3 \div 2 + (0.04 + 0.2)\times 1/3 \div 2 + (0.2 +1)\times 1/3 \div 2 &= 0.2467 \\ (0.5 - 0.2467)\times 2 &= 0.507 \end{align} \]
• 表計算ソフトで計算する場合、こちらの計算法のほうが簡単かも？