Prof: Nirian Martin
Asignatura: Estadistica
Tema: 6

La región de rechazo una vez establecido un nivel de significación \(\alpha\) se puede expresar de dos formas alternativas,

\[ \begin{align*} R_{c(\alpha)} & =\left\{ \underset{\sim}{x} \in \mathbb{R}^{n}\text{:}\tfrac{\mathcal{L}(p_{1};\underset{\sim}{x})}{\mathcal{L}(p_{0};\underset{\sim}{x})}>c(\alpha)\right\} \\ & =\left\{ \underset{\sim}{x} \in \mathbb{R}^{n}\text{:}\tfrac{\mathcal{L}(p_{0};\underset{\sim}{x})}{\mathcal{L}(p_{1};\underset{\sim}{x})}<c^{*}(\alpha)\right\} , \end{align*} \] donde \(c^{*}(\alpha)=1 / c(\alpha)\) y llamando \(Y=\sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim\mathcal{B}in(n,p)\) se tiene

\[ \begin{align*} \mathcal{L}(p;\underset{\sim}{x}) & =\prod_{i=1}^{n}p^{x_{i}}(1-p)^{1-x_{i}}\\ & =p^{y}(1-p)^{^{n-y}}. \end{align*} \]

Al ser

\[ \begin{equation} \tfrac{\mathcal{L}(p_{1};\underset{\sim}{x})}{\mathcal{L}(p_{0};\underset{\sim}{x})}=\left( \tfrac{p_{1}/(1-p_{1})}{p_{0}/(1-p_{0})}\right) ^{y}\left( \tfrac{1-p_{1}}{1-p_{0}}\right) ^{^{n}} \end{equation} \]

creciente de \(y\), la región de rechazo se puede expresar como

\[ \begin{align*} R_{c(\alpha)} & =\left\{ \underset{\sim}{x} \in \mathbb{R}^{n}\text{:}\mathcal{L}(p_{1};\underset{\sim}{x})/\mathcal{L}(p_{0};\underset{\sim}{x})>c(\alpha)\right\} ,\\ & =\left\{ \underset{\sim}{x} \in \mathbb{R}^{n}\text{:}y>c^{\prime}(\alpha)\right\} . \end{align*} \]

La función test, al ser \(Y\) discreta, requiere aleatorizar en la frontera de la región de rechazo con el fin de lograr un nivel de significación \(\alpha\) exacto

\[ \phi(\underset{\sim}{x})=\left\{ \begin{array} [c]{ll} 1, & y>c^{\prime}(\alpha)\\ \gamma, & y=c^{\prime}(\alpha)\\ 0, & y<c^{\prime}(\alpha) \end{array} \right. . \] Por tanto, \(c^{\prime}(\alpha)\in\{0,1,\ldots,n\}\) debe ser tal que \[ \begin{align*} \alpha & =E\left[ \phi(\underset{\sim}{X});p_{0}\right] \\ & =P\left( Y>c^{\prime}(\alpha);p_{0}\right) +\gamma P\left( Y=c^{\prime }(\alpha);p_{0}\right) \\ & =\sum_{i=c^{\prime}(\alpha)+1}\binom{n}{p_{0}}p_{0}^{i}(1-p_{0} )^{n-i}+\gamma\binom{n}{p_{0}}p_{0}^{c^{\prime}(\alpha)}(1-p_{0} )^{n-c^{\prime}(\alpha)}. \end{align*} \] Por ejemplo, para \(n=4\), \(p_{0}=\frac{1}{4}\), \(p_{1}=\frac{3}{4}\) y \(\alpha=0.05\) se tendría que \(c^{\prime}(\alpha)=3\) porque \[ (\tfrac{1}{4})^{4}=0.0039<0.05,\quad4(\tfrac{1}{4})^{3}\tfrac{3}{4}+(\tfrac {1}{4})^{4}=0.0508>0.05, \] de modo que \[ \gamma=\frac{0.05-(\tfrac{1}{4})^{4}}{4(\tfrac{1}{4})^{3}\tfrac{3}{4}}=0.983. \] Obsérvese que por ser \(Y\) minimal suficiente el estadístico de razón de verosimilitudes, el estadístico se podía haber obtenido directamente mediante \[ \tfrac{\mathcal{L}(p_{1};Y)}{\mathcal{L}(p_{0};Y)}=\left( \tfrac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{0}/(1-p_{0})}\right) ^{Y}\left( \tfrac{1-p_{1}} {1-p_{0}}\right) ^{^{n}}. \] Para calcular la función de potencia en \(p\) repetimos el mismo esquema que para \(\alpha\) pero bajo el supuesto general de que \(p\in\Theta =\{p_{0},p_{1}\}\): \[ \begin{align*} \beta(p) & =E\left[ \phi( \underset{\sim}{X} );p\right] =P\left( \phi( \underset{\sim}{X} )=1;p\right) \\ & =P\left( \underset{\sim}{X} \in R_{c(\alpha)};p\right) +\gamma P\left( Y=3;p\right) \\ & =P\left( Y\geq4;p\right) +\gamma P\left( Y=3;p\right) \\ & =p^{4} + 0.983 \times 4p^{3}(1-p). \end{align*} \] Cuando en lugar de \(H_{0}\text{: }p=p_{0}\text{ vs. }H_{1}\text{: }p=p_{1}\), siendo \(p_{0}<p_{1}\), se tiene uno de los dos siguientes contrastes de hipótesis, \[ \begin{align*} H_{0} & \text{:}\text{ }p=p_{0}\text{ vs. }H_{1}\text{: }p>p_{0},\\ H_{0} & \text{:}\text{ }p\leq p_{0}\text{ vs. }H_{1}\text{: }p>p_{0}, \end{align*} \] la expresión de la función de potencia es la misma, \[ \beta(p)=p^{4}+0.983\times4p^{3}(1-p), \] si bien es cierto que lo que cambia es el espacio paramétrico, \(\Theta=\{p_{0},p_{1}\}\), \(\Theta=[p_{0},1)\), \(\Theta=(0,1)\) respectivamente. Dicha función de potencia se ha demostrado que es de máxima potencia (MP) para \(H_{0}\text{: }p=p_{0}\text{ vs. }H_{1}\text{: }p=p_{1}\). Se dice que es uniformemente de máxima potencia (UMP) para los otros dos contrastes. En la siguientes lineas se muestra cómo operar con R y la representación gráfica de la función de potencia.

n<-4
po<-0.25
c<-3
sum(dbinom(c+1:n,n,po)) #debe ser menor que alpha
## [1] 0.00390625
gamma<-(0.05-sum(dbinom(c+1:n,n,po)))/dbinom(c,n,po)
gamma
## [1] 0.9833333