Taller 3 parte 1
Estadística y probabilidad
Variables aleatorias discretas
Fecha de entrega: martes 4 de mayo, 2024

Observaciones

• El taller puede hacerse en grupo de tres estudiantes.
• Se debe subir a SAVIO un archivo pdf con la solución de los problemas a mano o a computador
• Solo un estudiante debe subir el taller y en el encabezado de cada archivo deben estar los nombres y apellidos de los integrantes del grupo.
• El archivo debe tener el nombre siguiente:

Nombre_Apellido_estudiante1_Nombre_Apellido_Estudiante2_Nombre_Apellido_Estudiante3_taller_2_codigo_curso.pdf

Problemas

1. Se venden 5000 billetes para una rifa a un precio de $1000 cada billete. Si el único premio del sorteo es de $2000000,

1. ¿Cuál es la variable aleatoria del problema?
2. ¿Cuál es la tabla de la función de probabilidad?
3. Calcule el resultado que debe esperar una persona que compra 3 billetes.

2. Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (\(X\)), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad:

\(x\)	0	1	2	3	4	5
\(f(x)=P(X=x)\)	0.50	0.28	0.07	0.06	0.05	0.04

1. La representación gráfica de la función de probabilidad y la función de distribución.
2. Calcule las siguientes probabilidades.
   1. Obtener entre uno y cuatro errores.
   2. Obtener menos de 6 errores.
   3. No obtener errores.
   4. Obtener tres errores, dado que ya obtuve 2 errores.
3. El valor esperado de \(X\).
4. La varianza de \(X\).
5. La media y la varianza en el caso de que cada error se pondere(peso) por 1/5.

3. Un trabajador recibirá un premio de 3000, 2000 o 1000 euros, según el tiempo que tarde en realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y 15 horas y más de 15 horas, respectivamente. La probabilidad de realizar el trabajo en cada uno de estos casos es de 0.1, 0.4 y 0.5.

1. Determine cuál es la variable aleatoria del problema.
2. Construya la función de probabilidad y al función de distribución.
3. Grafique las funciones de probabilidad y de distribución.
4. Calcule la esperanza de la variable aleatoria.
5. Defina una nueva variable aleatoria, \(Y\), con valor 1 si tarda menos de 10 horas y valor 0, en caso contrario. Obtenga la función de probabilidad, el valor esperado y la desviación estandar de la variable \(Y\).

4. Sea \(X\) una variable aleatoria discreta tal que: \(P(X=a) =1/10\); con \(a = 2, 3, \dots, 11\)

1. Calcule las funciones de probabilidad y de distribución de \(X\).
2. \(p(X > 7)\)
3. \(p(X \leqslant 5)\)
4. \(p(3 \leqslant X \leqslant 8)\)

5. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad.

\(x\)	1	2	3	4	5
\(f(x)=P(X=x)\)	0.05		0.05	0.45	0.25

1. Encuentra el valor faltante para que sea una función de probabilidad.
2. Calcula \(p(X \leqslant 3)\), \(p(X > 3)\), \(p(X \in \{1, 3, 5\})\).
3. Calcula \(E[X]\) y \(Var(X)\).
4. Calcula y representa la función de distribución de \(X\)

6. Dos personas discuten sobre si una moneda está trucada. Una afirma que la cara tiene doble probabilidad que la cruz, mientras que la otra cree que la moneda no está trucada. Lanzan la moneda 5 veces y salen 3 caras y 2 cruces. ¿Cuál de las dos opiniones es más verosímil?

7. La siguiente es la tabla de la función de probabilidad de la variable aleatoria que cuenta el número de hijos por familia.

\(N^o\) de hijos	0	1	2	3	4	5	7
\(N^o\) de familias	15	40	23	10	7	4	1

1. ¿Cuál es la variable del problema?
2. Encuentre la función de densidad(probabilidad) y de distribución del problema.
3. ¿Cuál es la probabilidad de una familia elegida al azar tenga menos de dos hijos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos?
5. Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos?
6. Determina el número de hijos esperado al selecionar una familia al azar.
7. Calcula la varianza del número de hijos esperado al selecionar una familia al azar.

8. ¿Cuál es el dinero que espera ganar un jugador que lanza dos dados de quinielas y recibe $90 si sale dos doses; $45 si sale un dos y paga $81 si no sale dos?

Observación

Un dado de quinielas tiene 6 caras: tres caras tienen un 1, dos caras están marcadas con una X y una cara tiene un 2.