Taller 3 - parte 1
Estadística inferencial
Fecha de entrega: martes 4 de mayo, 2024
Pruebas de hipótesis
Observaciones
- El taller puede hacerse en grupo de tres estudiantes.
- Se debe subir a SAVIO un archivo pdf con la solución de los problemas a mano y un archivo html con la solución en R.
- Solo un estudiante debe subir el taller y en el encabezado de cada archivo deben estar los nombres y apellidos de los integrantes del grupo.
- El archivo debe tener el nombre siguiente:
Nombre_Apellido_estudiante1_Nombre_Apellido_Estudiante2_Nombre_Apellido_Estudiante3_taller_2_codigo_curso.pdf
Pruebas de hipótesis
Una media
Se sabe por experiencia, que un fármaco para la ansiedad, tiene una efectividad media de 26 puntos (según un determinado test que mide la ansiedad). Con objeto de averiguar el grado de efectividad media de un nuevo fármaco que contiene un 0.01% más de ingrediente activo, se seleccionó una muestra de 37 sujetos con dicho trastorno. Después de una semana de administración del fármaco, se observó una media de bajada de la ansiedad de 30 puntos, con una desviación típica de 5 (según un determinado test). Con un nivel de significancia del 1%, ¿Podemos decir que el nivel medio de efectividad es mayor para el nuevo medicamento?
Tras preguntar a una muestra de 37 personas por su nivel de satisfacción con su operador de telefonía móvil, hemos encontrado un nivel medio de 45 (en una escala de 0 a 100) y una desviación tipo de 10 puntos. Con un nivel de significancia del 3% ¿puede afirmarse que la satisfacción media de la población es exactamente central, es decir de 50 puntos?
Datos de diferentes titulaciones universitarias hacen suponer que la media de años que se requieren para culminar los estudios de psicología es de 7. Para comprobarlo se obtiene una muestra aleatoria simple de 50 expedientes, encontrándose una media de 6 años y una desviación tipo de 4 años. Con un nivel de significacia de 0.05 ¿puede mantenerse la afirmación inicial de los siete años?
La vida útil de un foco es de 5000 horas. Un nuevo diseño se piensa incremente esta vida. Se prueban \(n=25\) focos con fusión a \(\bar{x}=5117\), \(s= 1886\). Concluir para un nivel alfa del 5%, si en efecto el nivel de vida útil es el mensionado.
Se escoge a 17 individuos al azar y se les mide. Resultando que su estatura media es 1.71 metros y que la desviación típica es 0.02 metros. Contrastar la hipótesis de que la estatura media nacional sea 1.75 con un nivel de significación del 5%.
Las horas tomadas para plantar un árbol mediano son las siguientes. Probar a un 5% si el tiempo es > 2 hrs. Los tiempos son los siguientes: 1.9, 1.7, 2.8, 2.4, 2.6, 2.5, 2.8, 3.2, 1.6, 2.5.
Una proporción
Midwest planea comercializar un producto sólo si por lo menos el 40% del público lo prefiere. En una muestra de 500 personas encuentra que 225 lo prefieren. ¿A un nivel alfa de 2%, Midwest debe comercializar el producto?
Un estudio indicó que el 64% de los consumidores de supermercado creen en las marcas propias. El fabricante de una salsa de tomate preguntó a 100 compradores donde 52 prefieren marca propia, probar si el porcentaje de preferencias es menor al 64%, para un 5% de nivel de significancia.
Midlakes canceló sus vuelos ya que se estimó que más del 18% involucraba aviones con fallas mecánicas. ¿Este estimado se confirma a un nivel alfa del 0.05 si 24 aviones de 120 tenían fallas?
Dos medias
Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4. Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Se afirma que el cemento con plomo tiene niveles de calcio superiores a los del cemento estandar. ¿Es correcta esta afirmación al nivel de significancia del 5%?. Suponga que las dos poblaciones son normales y tienen la misma desviación estándar.
Se realizó un experimento para comparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Un médico afirma que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo es menor con el medicamento B. Suponga, que los tiempos se distribuyen normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar cada fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre.
¿Podemos afirmar que en efecto, es valida la afirmación del médico; con una significancia del 5%. Suponga varianzas iguales.
| Medicamento A | Medicamento B |
|---|---|
| \(n_1=12\) | \(n_2=12\) |
| \(\bar{x}_1=26.8\) | \(\bar{x}_2=32.6\) |
| \(s_1^2=15.57\) | \(s_2^2=17.54\) |
Se estudia el efecto que la presencia de un moderador puede tener en el número de ideas generadas en un grupo de trabajo. Se observan grupos de cuatro personas, con y sin moderador. En una muestra aleatoria de cuatro grupos con moderador el número promedio de ideas generadas por grupo fue 78.0, con cuasi desviación típica muestral de 24.4. Para una muestra independiente de cuatro grupos sin moderador el promedio de ideas generadas fue 63.5, y su cuasi desviación típica fue 20.2. Suponiendo que distribuciones normales con varianzas iguales, contraste la hipótesis nula (para \(\alpha = 0.1\)) de igualdad de medias, frente a la alternativa de que la media de la población es mayor para grupos con moderador.
Once individuos participaron en un experimento para estudiar la efectividad de cierta dieta combinada con ejercicio para la reducción de los niveles de colesterol en suero. Los niveles de colesterol en suero antes y después del programa se muestran en la siguiente tabla.
| Individuo | Antes | Después |
|---|---|---|
| 1 | 200 | 190 |
| 2 | 199 | 209 |
| 3 | 239 | 230 |
| 4 | 240 | 220 |
| 5 | 205 | 198 |
| 6 | 198 | 190 |
| 7 | 234 | 238 |
| 8 | 209 | 201 |
| 9 | 189 | 189 |
| 10 | 245 | 250 |
| 11 | 200 | 200 |
¿Proporcionan los datos evidencia suficiente para concluir que el programa es efectivo en la reducción de los niveles de colesterol?
Dos proporciones
En Investigación de Mercados, es importante conseguir un porcentaje de respuestas elevado para las encuestas. Para mejorar este porcentaje se puede incluir una pregunta inicial de motivación que aumente el interés del encuestado por completarlo. Se han enviado cuestionarios con pregunta de motivación sobre la mejora los espacios de ocio en una ciudad, a una muestra de 250 hogares, obteniendo 101 respuestas. Otros cuestionarios idénticos sin pregunta de motivación se han enviado a otra muestra independiente de 250 hogares, obteniendo 75 respuestas. Contraste la hipótesis nula de que las dos proporciones poblacionales sean iguales, frente a la alternativa de que la tasa de respuestas sea más elevada cuando se incluye pregunta de motivación.
Realizar un contraste sobre la influencia del nivel de estudios de los padres en el hijo mayor con 123 padres universitarios y 52 con estudios primarios, resultando que el hijo mayor había realizado estudios universitarios en 78 y 36 familias respectivamente. ¿Se puede admitir que la proporción de universitarios es igual?
Con el fin de realizar un estudio sobre la eficiencia de medicamentos para la infección en vías urinarias, se toman muestras de dos grupos de 100 individuos. La proporción en el grupo en cual se usa fosfomicina/trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/sulfametoxazol fue 0.61. Diga al nivel del 5%, si los medicamentos tienen la misma eficiencia.
Un ejecutivo de una compañia celular ha recibido múltiples quejas acerca de un nuevo modelo de celular. Dos plantas producen el mismo celular y él sospecha que una de ellas es la que está produciendo los celulares defectuosos. Para probar esta hipótesis, el ejecutivo selecciona una muestra de 200 celulares de cada planta y cuenta el número de celulares defectuosos de cada una. En la planta 1 encontró 10 celulares defectuosos y en la planta 2 encontró 15. Prueba o rechaza la hipótesis del ejecutivo de que existe una diferencia en la proporción de celulares defectuosos de las dos plantas con un nivel de significancia de 0.1.
Una varianza
- Los datos del costo(miles de millones) de la electricidad para 8 ciudades diferentes son los siguientes.
| Ciudad | Costo en electricidad (miles de millones) |
|---|---|
| A | |
| B | |
| C | |
| D | |
| E | |
| F | |
| G | |
| H | |
Asumiendo que los datos siguen una distribución normal, y con un nivel de significancia \(\alpha =0.01\), a. ¿Es valida la afirmación de que la varianza poblacional del costo del consumo de electricidad en las ciudades es igual a 6.5? b. ¿Son los costos medios historicos de todas las ciudades sueriores a 42.4?
- Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuidos normalmente con una varianza poblacional de 0.2 pulgadas\(^2\), pero se cree que últimamente la varianza ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas:
5.5, 5.4, 5.4, 5.6, 5.8, 5.4, 5.5, 5.4, 5.6, 5.7.
Con ésta información, pruebe si lo que se cree es cierto.
- Se desea contrastar si puede suponerse razonablemente que en un nuevo proceso de fabricación de filamentos la varianza del grosor es de 4 milímetros. Para ello se toma una muestra de 28 filamentos que arroja una varianza muestral de 2 milímetro. Suponiendo la variable normal, contrastar la hipótesis en los grosores de los filamentos a un nivel de significación de 0.05.
Dos varianzas
(Manualmente) Contrastar la hipótesis de que dos poblaciones tienen la misma dispersión con un nivel de significación del 1% y sabiendo que la desviación típica de una muestra realizada sobre la primera población era 12 con un tamaño muestral de 25 y que en una muestra sobre la segunda de tamaño 30 la desviación típica resultó ser 7. Considérese que ambas poblaciones son normales.
Se administra un medicamento para la ansiedad a 14 personas, de las cuales 6 lo hacen por primera vez y 8 ya son habituales de ella. La droga produjo en el primer grupo sueños de duración 11,12,13,16,17 y 15 horas, mientras que en el segundo grupo 8,7,9,10,6,7,9 y 8 horas. Asumiendo distribución normal de los tiempos. Se pide:
- Media y desviación típica de cada grupo.
- Para un \(\alpha\) de 5%, ¿Son las desviaciones estandar poblacionales iguales?
- ¿Son los promedios del tiempo de sueño iguales en cada grupo?
Para una muestra de 17 bonos industriales emitidos recientemente con calificación AAA, la cuasi varianza de sus vencimientos (en años al cuadrado) fue de 123.35. Para otra muestra independiente de 11 bonos industriales emitidos con calificación CCC, la cuasi varianza de sus vencimientos fue de 8.02. Si se denotan las correspondientes varianzas poblacionales como \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\), lleve a cabo un contraste bilateral para compararlas al 5%.
Se observa la eficiencia de dos departamentos asignándole a cada uno de ellos diez tareas y midiendo su rendimiento en ellas. Los resultados están a continuación:
| Departamento 1 | 0.6 | 1.2 | 0.9 | 1.9 | 2.0 | 0.6 | 0.9 | 2.0 | 0.8 | 1.0 |
| Departamento 2 | 0.4 | 1.3 | 1.1 | 2.1 | 1.9 | 0.5 | 1.1 | 1.7 | 0.8 | 1.1 |
Suponiendo las puntuaciones como variables normales, a. A qué nivel de significancia se puede afirmar que las varianzas pobacionales son iguales. b. Puedemos afirmar que las medias del rendimiento son iguales.