Statistica 1 - Serie 11

1. Distribuzione Normale

• \(P(X=0)\) … non possiamo calcolare questa probabilità perché la variabile aleatoria è continua e ogni prbabilità con ugualianza per le variabili aleatore continue è nulla.
• \(P(X\leq2)\) … commando pnorm(x,mu,sigma) ritorna \(P(X\leq x)\) per \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

pnorm(2,2,4)

## [1] 0.5

• \(P(-2\leq X \leq6)\) … bisogna riscrivere la probabilità con \(P(-2\leq X \leq6) = P(X\leq6) - P(X\leq-2)\)

pnorm(6,2,4) - pnorm(-2,2,4)

## [1] 0.6826895

• \(P(-7\leq X \leq -1)\) … stesso approccio come prima

pnorm(-1,2,4) - pnorm(-7,2,4)

## [1] 0.2144029

• \(P(X>10.7)\) … non possiamo calcolare probabilità con ``maggiore” in R, dobbiamo riscrivere la probabilità come \(P(X>10.7) = 1 - P(X \leq 10.7)\)

1 - pnorm(10.7,2,4)

## [1] 0.01481506

• \(P(X>16)\) … stesso approccio come prima \(P(X>16) = 1 - P(X \leq 16)\)

1 - pnorm(16,2,4)

## [1] 0.0002326291

• Extra: qual’è la probabilità di ottenere un risultato entro 2 devizioni standard della media?

pnorm(2,0,1) - pnorm(-2,0,1)

## [1] 0.9544997

3. Distribuzione Parteo

La distribuzione di Pareto, introdotta da Vilfredo Pareto nel 1896, è usata come modello per la distribuzione dei redditi. La sua densità \(f(\cdot ;x_{0};\alpha )\), \(\alpha >1\) e \(x_{0}>0\), è definita come segue:

\[f(x;x_{0};\alpha )=\left\{ \begin{array}{c} \alpha x^{-(\alpha +1)}x_{0}^{\alpha }\quad ,\quad x\in \lbrack x_{0},\infty ) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad ,\quad x\in \lbrack 0,x_{0}) \end{array} \right. .\]

Si disegnino \(f(\cdot ;x_{0};\alpha )\) …

x0    <- 1         
alpha <- 2
x     <- seq(x0,4*x0,0.1)   # valori x instessanti tra x0 e 4*x0

fx    <- alpha*x^-(alpha+1)*x0^alpha
plot(x,fx,"l", xlim=c(0,4*x0),
     main="Densità della distribuzione Pareto")

… e \(F(\cdot ;x_{0};\alpha )\)

Fx    <- 1 - (x0/x)^alpha
plot(x,Fx,"l", xlim=c(0,4*x0),
     main="Funzione di riparto della distribuzione Pareto")

Altezza di bambini

Si supponga che l’altezza, in centimetri, di bambini ticinesi di 10 anni sia una variabile aleatoria normale con parametri \(\mu =140\) e \(\sigma =6\).

Qual è la percentuale di bambini di altezza superiore a 150 centimetri?

NB: Ricodriamoci che

• pnorm(x,mu,sigma) ritorna \(P(X\leq x)\) per \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
• \(P(X>x) = 1 - P(X\leq x)\).

x <- 150
mu <- 140
sigma <- 6
1-pnorm(x,mu,sigma)

## [1] 0.04779035

Tra i bambini più alti di 145 centimetri, quale percentuale è più alta di 150 centimetri?

(1-pnorm(150,mu,sigma)) / (1-pnorm(145,mu,sigma))

## [1] 0.2362019

Conducenti ubriacati

Il sabato sera la polizia del canton Ginevra sottopone ad un test dell’alcool tutti gli automobilisti che passano sulla strada cantonale.

Qual è la proporzione di automobilisti multati (tasso dell’alcool superiore a 0.05%) se si suppone che il tasso di alcool negli automobilisti’?? distribuito secondo una distribuzione normale con valore atteso \(\mu=0.04\%\) e scarto quadratico medio \(\sigma=0.01\%\)?

x <- 0.05
mu <- 0.04
sigma <- 0.01
1-pnorm(x,mu,sigma)

## [1] 0.1586553

Oltre alla multa, i conducenti con un tasso di alcool superiore a 0.06% subiscono un ritiro della patente. Degli automobilisti multati, qual è la proporzione di quelli a cui viene ritirata la patente?

Conducenti che perdono la patente

1-pnorm(0.06,mu,sigma)

## [1] 0.02275013

Proporzione di conducenti multati che perdono la patente

(1-pnorm(0.06,mu,sigma)) / (1-pnorm(0.05,mu,sigma))

## [1] 0.1433935