Duración de Erupciones Volcánicas: Un vulcanólogo desea saber si la duración promedio de las erupciones en un volcán específico es de 10 minutos. Para probar esta hipótesis, se observó una muestra aleatoria de 50 erupciones, encontrando que la duración promedio es de 11 minutos con una desviación estándar de 2.5 minutos.

# Datos proporcionados
n <- 50 # Tamaño de la muestra
x_barra <- 11 # Duración promedio observada
s <- 2.5 # Desviación estándar de la muestra
mu <- 10 # Duración promedio hipotética

# Cálculo del estadístico t
t_stat <- (x_barra - mu) / (s / sqrt(n))

# Cálculo de los grados de libertad
df <- n - 1

# Cálculo del p-valor
p_valor <- 2 * pt(-abs(t_stat), df)

# Imprimir resultados
cat("Estadístico t:", t_stat, "\n")
## Estadístico t: 2.828427
cat("Grados de libertad:", df, "\n")
## Grados de libertad: 49
cat("P-valor:", p_valor, "\n")
## P-valor: 0.006758541
# Prueba de hipótesis
alpha <- 0.05
if (p_valor < alpha) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para concluir que la duración promedio de las erupciones no es de 10 minutos.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para concluir que la duración promedio de las erupciones no es de 10 minutos.\n")
}
## Se rechaza la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para concluir que la duración promedio de las erupciones no es de 10 minutos.

. Edad de Formaciones Geológicas: Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 rocas de una formación geológica, encontrando una edad promedio de 71.8 millones de años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8.9 millones de años, ¿parecería esto indicar que la edad promedio de la formación es mayor que 70 millones de años? Utilice un nivel de significancia del 5%

# Datos proporcionados
n <- 100 # Tamaño de la muestra
x_barra <- 71.8 # Edad promedio observada
sigma <- 8.9 # Desviación estándar poblacional
mu <- 70 # Edad promedio hipotética
alpha <- 0.05 # Nivel de significancia

# Cálculo del estadístico t
t_stat <- (x_barra - mu) / (sigma / sqrt(n))

# Cálculo de los grados de libertad
df <- n - 1

# Cálculo del p-valor (cola derecha)
p_valor <- pt(t_stat, df)

# Imprimir resultados
cat("Estadístico t:", t_stat, "\n")
## Estadístico t: 2.022472
cat("Grados de libertad:", df, "\n")
## Grados de libertad: 99
cat("P-valor:", p_valor, "\n")
## P-valor: 0.9770876
# Prueba de hipótesis
if (p_valor < alpha) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para concluir que la edad promedio de la formación es mayor que 70 millones de años.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para concluir que la edad promedio de la formación es mayor que 70 millones de años.\n")
}
## No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para concluir que la edad promedio de la formación es mayor que 70 millones de años.

Edad de los Minerales en una Mina: Supongamos que un geólogo desea determinar si la media de la edad de los minerales en una mina específica es mayor a 40 millones de años. Para esto, se analiza una muestra aleatoria de 50 minerales, obteniendo una media muestral de 42 millones de años y una desviación estándar de 5 millones de años.

# Datos proporcionados
n <- 50 # Tamaño de la muestra
x_barra <- 42 # Media muestral de la edad de los minerales
s <- 5 # Desviación estándar de la muestra
mu <- 40 # Media hipotética
alpha <- 0.05 # Nivel de significancia

# Cálculo del estadístico t
t_stat <- (x_barra - mu) / (s / sqrt(n))

# Cálculo de los grados de libertad
df <- n - 1

# Cálculo del p-valor (cola derecha)
p_valor <- pt(t_stat, df)

# Imprimir resultados
cat("Estadístico t:", t_stat, "\n")
## Estadístico t: 2.828427
cat("Grados de libertad:", df, "\n")
## Grados de libertad: 49
cat("P-valor:", p_valor, "\n")
## P-valor: 0.9966207
# Prueba de hipótesis
if (p_valor < alpha) {
  cat("Se rechaza la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para concluir que la media de la edad de los minerales en la mina es mayor a 40 millones de años.\n")
} else {
  cat("No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para concluir que la media de la edad de los minerales en la mina es mayor a 40 millones de años.\n")
}
## No se rechaza la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia para concluir que la media de la edad de los minerales en la mina es mayor a 40 millones de años.

Apoyo a una Ley de Protección Ambiental: Supongamos que un legislador ha prometido que al menos el 50% de los votantes apoyará su propuesta de ley para la protección ambiental. Un encuestador desea determinar si la proporción de votantes que apoyan al legislador es mayor o igual al 50%. Para esto, se encuesta a 1000 votantes, encontrando que 550 votantes apoyan la propuesta

# Instalamos y cargamos el paquete necesario
if(!require(binom)){install.packages("binom", dependencies=TRUE)}
## Loading required package: binom
## Warning: package 'binom' was built under R version 4.3.3
library(binom)

# Datos de la encuesta
n_votantes <- 1000  # Número total de votantes encuestados
n_favor <- 550      # Número de votantes a favor de la propuesta

# Proporción de votantes a favor
p_favor <- n_favor / n_votantes

# Proporción esperada (50%)
p_esperada <- 0.5

# Realizamos la prueba de hipótesis
prueba <- binom.test(n_favor, n_votantes, p_esperada, alternative = "greater")

# Mostramos los resultados
print(prueba)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  n_favor and n_votantes
## number of successes = 550, number of trials = 1000, p-value = 0.0008653
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5235385 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.55

Cancelación de Expediciones Científicas: Un geólogo afirma que el 12% de todas las expediciones científicas son canceladas. Durante un periodo de seis semanas, fueron canceladas 21 de las 200 expediciones programadas. Haga una prueba con un nivel de significancia del 5% para determinar si la verdadera proporción de todas las expediciones que son canceladas es diferente del 12%.

# Instalamos y cargamos el paquete necesario
if(!require(binom)){install.packages("binom", dependencies=TRUE)}
library(binom)

# Datos de la expedición
n_expediciones <- 200  # Número total de expediciones programadas
n_canceladas <- 21      # Número de expediciones canceladas

# Proporción de expediciones canceladas
p_canceladas <- n_canceladas / n_expediciones

# Proporción afirmada por el geólogo (12%)
p_afirmada <- 0.12

# Realizamos la prueba de hipótesis con un nivel de significancia del 5%
prueba <- binom.test(n_canceladas, n_expediciones, p_afirmada, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

# Mostramos los resultados
print(prueba)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  n_canceladas and n_expediciones
## number of successes = 21, number of trials = 200, p-value = 0.5867
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.12
## 95 percent confidence interval:
##  0.06618123 0.15601871
## sample estimates:
## probability of success 
##                  0.105
if(prueba$p.value < 0.05) {
  cat("La hipótesis nula fue rechazada: hay evidencia suficiente para decir que la proporción real es diferente del 12%.\n")
} else {
  cat("La hipótesis nula no fue rechazada: no hay evidencia suficiente para decir que la proporción real es diferente del 12%.\n")
}
## La hipótesis nula no fue rechazada: no hay evidencia suficiente para decir que la proporción real es diferente del 12%.

Diversidad de Fósiles en Diferentes Regiones: De una muestra aleatoria de 203 fósiles encontrados en una región colombiana, 52 eran de una especie particular. De una muestra aleatoria independiente de 270 fósiles encontrados en una región brasilera, 56 eran de la misma especie. Usando un nivel del 5%, contrastar frente a una alternativa bilateral, la hipótesis nula de que las proporciones de fósiles de esta especie en las regiones colombianas y brasileras son iguales.

# Datos de las muestras
n_colombia <- 203  # Tamaño de la muestra colombiana
n_brasil <- 270    # Tamaño de la muestra brasilera
f_colombia <- 52   # Fósiles de la especie en la muestra colombiana
f_brasil <- 56     # Fósiles de la especie en la muestra brasilera

# Realizamos la prueba de hipótesis para dos proporciones
prueba <- prop.test(c(f_colombia, f_brasil), c(n_colombia, n_brasil), correct = FALSE)

# Mostramos los resultados
print(prueba)
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(f_colombia, f_brasil) out of c(n_colombia, n_brasil)
## X-squared = 1.563, df = 1, p-value = 0.2112
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.02835076  0.12585122
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.2561576 0.2074074
# Añadimos una línea para indicar si la hipótesis nula fue rechazada o no
if(prueba$p.value < 0.05) {
  cat("La hipótesis nula fue rechazada: hay evidencia suficiente para decir que las proporciones son diferentes.\n")
} else {
  cat("La hipótesis nula no fue rechazada: no hay evidencia suficiente para decir que las proporciones son diferentes.\n")
}
## La hipótesis nula no fue rechazada: no hay evidencia suficiente para decir que las proporciones son diferentes.

Comparación de la Erosión en Dos Tipos de Rocas: Se llevó a cabo un experimento para comparar la erosión de dos tipos de rocas diferentes. Se probaron doce muestras del tipo 1, exponiendo cada una a condiciones climáticas extremas, y se observó la profundidad de la erosión. Del mismo modo, se probaron diez muestras del tipo 2. Las muestras del tipo 1 dieron una erosión promedio de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4, mientras que las muestras del tipo 2 dieron un promedio de 81 y una desviación estándar muestral de 5. ¿Puede concluirse en el nivel de significancia del 5% que la erosión del tipo 1 excede al del tipo 2 por más de 2 unidades? Asuma que las poblaciones son aproximadamente normales con varianzas iguales.

# Datos de las muestras
n1 <- 12  # Número de muestras del tipo 1
n2 <- 10  # Número de muestras del tipo 2
xbar1 <- 85  # Promedio de erosión del tipo 1
xbar2 <- 81  # Promedio de erosión del tipo 2
s1 <- 4  # Desviación estándar muestral del tipo 1
s2 <- 5  # Desviación estándar muestral del tipo 2
d0 <- 2  # Diferencia de erosión esperada

# Calculamos el valor t observado
sp <- sqrt(((n1 - 1) * s1^2 + (n2 - 1) * s2^2) / (n1 + n2 - 2))
t_obs <- (xbar1 - xbar2 - d0) / (sp * sqrt(1/n1 + 1/n2))

# Grados de libertad
df <- n1 + n2 - 2

# Calculamos el valor p
p_value <- 2 * pt(-abs(t_obs), df)

# Mostramos los resultados
cat("Valor t observado:", t_obs, "\n")
## Valor t observado: 1.043163
cat("Grados de libertad:", df, "\n")
## Grados de libertad: 20
cat("Valor p:", p_value, "\n")
## Valor p: 0.3093188
# Conclusión basada en el nivel de significancia del 5%
if(p_value < 0.05) {
  cat("Con un nivel de significancia del 5%, se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, hay evidencia suficiente para concluir que la erosión del tipo 1 excede al del tipo 2 por más de 2 unidades.\n")
} else {
  cat("Con un nivel de significancia del 5%, no se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para concluir que la erosión del tipo 1 excede al del tipo 2 por más de 2 unidades.\n")
}
## Con un nivel de significancia del 5%, no se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para concluir que la erosión del tipo 1 excede al del tipo 2 por más de 2 unidades.