Estadística y Probabilidad
Clase 2.6
Variables aleatorias
Msc. Roberto Trespalacios
Universidad Tecnológica de Bolivar
2024-01-29
Tabla de contenido
- Variable aleatoria
- Variables aleatorias discretas
- Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
- Propiedades de una distribución de probabilidad
- Función de distribución de una variable aleatoria discreta (acumulativa)
- Valor esperado de una variable aleatoria discreta
- Varianza de una variable aleatoria discreta
- Ejemplos
- Ejercicios
Variable aleatoria
Dado un experimento aleatorio cualquiera, una variable aleatoria es una transformación \(X\) del espacio de resultados \(\Omega\) al conjunto de números reales, esto es,
\[X \rightarrow \mathbb{R}\]
Suponga entonces que se efectúa el experimento aleatorio una vez y se obtiene un resultado \(\omega \in \Omega\). Al transformar este resultado con la variable aleatoria \(X\) se obtiene un número real \(X(\omega) = x\).
- Para denotar las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas (\(X, Y, Z,...etc)\), y las letras minúsculas \((x, y, z, ...,etc)\) para designar sus valores concretos.
- Podemos entonces suponer que los posibles resultados del experimento aleatorio son los diferentes números reales \(x\) que la función \(X\) puede tomar.
Ejemplo 1
Consideremos el experimento: E =: “Lanzar una moneda dos veces y contar el número de veces que sale cara”. Llamémosle \(X\) a la variable aleatoria, definida por:
- \(X\): “Número de veces que sale cara”.
- Los posibles valores (rango) qu puede tomar la variable aleatoria \(X\) son: \(x \in \{0, 1, 2\}\)
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Ejemplo 2
Supongamos el experimento E = “Una persona entra a un banco y se para en la fina de una caja”. Llamémosle \(T\) a la variable aleatoria definida por:
- \(T\): “Tiempo de espera en la fila”.
- Los posibles valores (rango) que puede tomar la variable aleatoria \(T\) son: \(t \in \{t_0 \in \mathbb{R} | t_0 \geqslant 0\}\)
Una posible forma de discretizar los valores de la variable aleatoria \(T\) para \(t\geqslant 0\) es:
\[\begin{equation*}
T(t) = \left\{\begin{array}{lll}
0 & si & t<10\\
1 & si & 10 \leqslant t < 20\\
2 & si & 20 \leqslant t < 30\\
3 & si & t\geqslant30
\end{array}\right.
\end{equation*}\]
Variables aleatorias discretas
Las variables aleatorias discretas son aquellas que presentan un número contable de valores. Es decir,
\[\begin{align*}
X: \Omega & \Rightarrow \mathbb{N}\\
\omega & \Rightarrow X(\omega) =x
\end{align*}\]
Ejemplos
- Cantidad de autos que transitan por una calle al medio día.
- En una muestra aleatoria de 10 personas, el número de personas con tipo de sangre O.
- Número de hijos por familia.
- Cantidad de rayos que caen en un área determinada durante un año.
Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
La función de densidad, peso o probabilidad de una variable aleatoria discreta \(X\), provee los posibles valores de la variable y sus respectivas probabilidades. Esto esto es:
Sea \(X\) una variable aleatoria discreta que toma los valores \(x_1, x_2, x_3,\dots\) con probabilidades respectivas \(p(X = x_1), p(X = x_2),p(X = x_3),\dots\) Esta lista de valores numéricos y sus probabilidades puede ser finita o bien infinita, pero numerable.
La función de densidad de la variable \(X\) se define como sigue:
\[\begin{align*}
f: \mathbb{N}& \Rightarrow [0,1]\\
x& \Rightarrow f(x) = p(X=x)=p
\end{align*}\]
Simplificando la notación, podemos escribirlo así:
\[
f(x)=\begin{cases}
p(X=x), & \text{ si } X= x_1, x_2, \dots\\
0, & \text{ otro caso.}
\end{cases}
\]
Propiedades de una distribución de probabilidad
Sea \(f(x)=P(X=x)\) la probabilidad de que la variable aleatoria \(X\) tome un valor \(x\), entonces:
- \(\sum p(X=x)=1\)
- \(0\leq p(X=x)\leq 1\)
Ejemplo 3
Consideremos el experimento del ejemplo 1. E =: “Lanzar una moneda dos veces y contar el número de veces que sale cara”. Recordemos que
El diagrama de Venn está dado por,
Su tabla sería
| 0 |
\(\frac{1}{4}\) |
| 1 |
\(\frac{2}{4}\) |
| 2 |
\(\frac{1}{4}\) |
Su función de probabilidad es
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{4}, & \text{ si } x= 0\\
\frac{2}{4}, & \text{ si } x= 1\\
\frac{1}{4}, & \text{ si } x= 2\\
0, & \text{ otro caso }
\end{cases}
\]
Y su gráfico
Ejemplo 4
Función de probabilidad y gráfico de la cantidad de aciertos en cuatro números marcados en la lotería Keno.
Tabla de la función de densidad (probabilidad) para la lotería Keno.
| 0 |
0.2512 |
| 1 |
0.4275 |
| 2 |
0.2538 |
| 3 |
0.0622 |
| 4 |
0.0053 |
Gráfico de la función de densidad para la lotería Keno.
Observaciones
\(p(X=x)\), significa la probabilidad de que la variable aleatroia \(X\) tome un valor \(x\).
Ejemplo: \(p(X=2)=0.2538\), significa “la probabilidad de que la variable aleatoria \(X\) sea igual a 2 es 0.2538”. Escribimos \(p(2) = 0.2538\) de forma abreviada.
Función de distribución de una variable aleatoria discreta (acumulativa)
Se llama función de distribución (o función acumulada) de la v.a.d. \(X\), \(F(x)\), a la probabilidad de que \(X\) sea menor o igual que \(x\); es decir:
\[\begin{align*}
F: \mathbb{N}& \Rightarrow [0,1]\\
x& \Rightarrow F(x) = P(X \leqslant x)=\sum_{X\leqslant x}f(x)
\end{align*}\]
Ejemplo 5
Recordemos del ejemplo 4 anterior, la función de densidad de cantidad de aciertos en cuatro números marcados en la lotería Keno.
Tabla de distribución
| 0 |
0.2512 |
0.2512 |
| 1 |
0.4275 |
0.6787 |
| 2 |
0.2538 |
0.9325 |
| 3 |
0.0622 |
0.9947 |
| 4 |
0.0053 |
1.0000 |
Función de distribución
\[
f(x)=\begin{cases}
0, & \text{ si } x < 0\\
0.2512, & \text{ si } 0 \leqslant x < 1\\
0.6787, & \text{ si } 1 \leqslant x < 2\\
0.9325, & \text{ si } 2 \leqslant x < 3\\
0.9947, & \text{ si } 3 \leqslant x < 4\\
1.0000 , & x \geqslant 4
\end{cases}
\]
Observaciones
\(p(X \leqslant x)\), significa la probabilidad de que la variable aleatroia \(X\) sea menor o igual \(x\).
Así, por ejemplo, \(p(X \leqslant 3)= 0.9947\), significa “la probabilidad de que la variable aleatoria \(X\) sea menor o igual a 3 es 0.9947”. Escribimos \(p(x \leqslant 3) = 0.9947\) de forma abreviada.
Ejemplo 6
Supongamos que le pedimos a un jugador de “Basketball” que realize cuatro lanzamientos. Sea la variable aleatoria \(X\) es el número de tiros que realiza el jugador. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de anotar.
Tabla de distribución
| 0 |
0.02 |
0.02 |
| 1 |
0.08 |
0.10 |
| 2 |
0.25 |
0.35 |
| 3 |
0.36 |
0.71 |
| 4 |
0.29 |
1.00 |
Función de distribución
\[\begin{equation}
f(x)=\begin{cases}
0, & \text{ si } x < 0\\
0.02, & \text{ si } 0 \leqslant x < 1\\
0.10, & \text{ si } 1 \leqslant x < 2\\
0.35, & \text{ si } 2 \leqslant x < 3\\
0.71, & \text{ si } 3 \leqslant x < 4\\
1.00 , & x \geqslant 4
\end{cases}
\end{equation}\]
Ejemplo 7
Sea \(X\) una variable aleatoria. La tabla describe una distribución de probabilidad. ¿Cuál es el valor faltante?.
| 0 |
0.01 |
| 1 |
0.10 |
| 2 |
|
| 3 |
0.31 |
| 4 |
0.20 |
Solución. Puesto que es una función de distribución de probabilidad, entonces \(p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1\) con lo cual, \[
\begin{align*}
p(2)= & 1 - (p(0)+p(1)+p(3)+p(4)) \\
= &1 - 0.62 \\
= &0.38
\end{align*}
\]
Note que cada \(p(x)\) está entre 0 y 1.
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
El valor esperado \(E(x)\) o la media de una variable aleatoria discreta \(X\) se representa por \(\mu_x\) y está dada por:
\[\mu= E(X)=\sum x f(x)\]
Donde: \(x\) es el valor de la variable aleatoria y \(p(x)\) es la probabilidad de observar el valor \(X=x\).
Ejemplo 8
Para la distribución del ejemplo 3, (lanzamiento de dos monedas), el valor esperado es:
\[
\begin{align*}
\mu= E(X)= & \sum x f(x) \\
= & 0 \frac{1}{4} + 1 \frac{2}{4} + 2 \frac{1}{4} \\
= & \frac{1}{2}
\end{align*}
\]
Varianza de una variable aleatoria discreta
La varianza \(Var(X)\) de una variable aleatoria discreta \(X\), se representa por \(\sigma^2\) y está dada por:
\[
\begin{align*}
\sigma^{2} = Var(X) = & \sum [(x-\mu_x)^{2}f(x)] \\
= & \left[\sum x^2f(x)\right]-\mu^{2}
\end{align*}
\]
La desviación estándar \(sd(X)\) de una variable aleatoria discreta \(X\), es la raíz cuadrada de la varianza, esto es:
\[\sigma = sd(X)=\sqrt{\sigma^2}\].
Ejemplo 9
Para la distribución del ejemplo 3, (lanzamiento de dos monedas), la varianza es:
\[
\begin{align*}
\sigma^2= Var(X)= & \left[\sum x^2f(x)\right]-\mu^{2} \\
= & \left[0^2 \frac{1}{4} + 1^2 \frac{2}{4} + 2^2 \frac{1}{4}\right] - \left[\frac{1}{2}\right]^2 \\
= & \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \\
=& \frac{5}{4}
\end{align*}
\]
La desviación es: \(\sigma = sd(X)=\sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} = 1.12\)
Ejercicios
- Del ejemplo 4 (lotería Keno).
- Calcule la probabilidad de obtener dos aciertos o más.
- Calcule la probabilidad de obtener uno o dos aciertos.
- Determine la media (valor esperado) de la variable aleatoria discreta \(X\).
- Determine la desviación estándar de la variable aleatoria discreta \(X\).
- De acuerdo con el ejemplo 6 (anotaciones en baloncesto).
- Calcule la probabilidad de que el jugador haga 2 canastas o menos.
- Calcule la probabilidad de que el jugador haga más de 4 canastas.
- Determine la media (valor esperado) de la variable aleatoria discreta \(X\). Interprete este resultado.
- Determine la desviación estándar de la variable aleatoria discreta \(X\).
Ejercicios
- En el experimento de lanzar tres monedas. Suponga la variable aleatoria que cuenta el número de caras.
- ¿Cuáles son los espacios muestrale del experimento y el de la variable aleatoria?
- ¿Cuáles son la función de probabilidad y de distribución de la variable aleatoria?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener una o dos caras?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 2 caras?
- ¿Cuál es la probabilidad de no obtener más de 3 caras?
- Encuentre el valor esperado y la varianza para la variable aleatoria.
- Si una persona quiere comprar un boleto de en un sorteo, en el que puede ganar un primer premio de $ 500 ó un segundo premio de $ 200 con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuánto esperaría pagar por el boleto?
