Estadística Inferencial

Tabla de contenido

• Prueba de hipótesis para la varianza de una población
  • Distribución de la varianza muestral
  • Prueba de hipótesis para la varianza poblacional
  • planteamiento y valor crítico
  • Prueba de cola a la izquierda, derecha y dos colas
  • Pruebas
• Ejemplo
• Ejercicios

Distribución de la varianza muestral

Sea \(X_1, X_2, \dots ,X_n\) es una muestra aleatoria de una distribución normal de parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\), entonces podemos construir un intervalo de confianza para \(\sigma^2\) utilizando el hecho que la estimación la varianza poblacional tiene distribución Chi-cuadrada; es decir,

\[ \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \]

Los valores quantiles asociados a la distribición \(\chi^2\), para un nivel de significancia \(\alpha\) y \(n-1\) grados de libertad, son \(\chi^2_{(1-\alpha,n-1)}\) y \(\chi^2_{(\alpha,n-1)}\).

A continuación se estudiará la construcción de pruebas de hipótesis para la varianza poblacional \(\sigma^2\), de una población.

Prueba de hipótesis para la varianza poblacional \(\sigma^2\)

Planteamiento y valor crítico

1. Determine la hipótesis nula y alterna. La hipótesis se puede estructurar en tres caminos:

2. Seleccione el nivel de significancia \(\alpha\).
3. Calcule el estadístico de prueba

\[\displaystyle \chi_0=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

Planteamiento y valor crítico

4. Compare el valor crítico con la prueba estadística.

5. Conclusión.

Ejemplo 1

Una maquina de llenado de botellas debe estar programada para efectuar un llenado con una desviación estándar no superior a 5 ml. Para probar que esto se está cumpliendo, se tomaron aleatoriamente un lote de 20 botellas y se midió el nivel del liquido y se encontró que la desviación estandar fue 6.2 ml. Se supone que los niveles del liquido, están normalmente distribuidos. Si se desea evaluar la calidad de la máquina de llenado, ¿cuál debería ser el sistema de hipótesis a probar?, pruebe el sistema al 5% de significancia.

Ejemplo 2

Con líneas individuales en sus diversas ventanas, una oficina de correos encuentra que la desviación estándar para los tiempos de espera, para los clientes el viernes por la tarde son 7.2 minutos; estos tiempos se distribuyen normal. La oficina de correos experimenta con una sola línea de espera principal y encuentra que para una muestra aleatoria de 25 clientes, los tiempos de espera tienen una desviación estándar de 3.5 minutos. Con un nivel de significación del 5%, pruebe si la afirmación de que una sola línea causa la misma variación entre los tiempos de espera.

Ejercicios

1. Un fabricante de dulces debe controlar la temperatura. En el que se hornean los dulces. Demasiada variación causará inconsistencia en el sabor de los dulces. Viendo los registros, muestran que la desviación estándar de la temperatura es \(1.2^\circ C\). Una muestra aleatoria de 30 lotes de caramelos es seleccionada y se calcula una desviación estándar de temperatura de \(2.1^\circ C\). Para un nivel de significancia de 0.05, ¿hay evidencia de que la desviación estándar de la temperatura ha aumentado?. Asuma que las temperaturas tienen districución normal.

2. Un silvicultor quiere controlar un sotobosque denso de arce rayado que está interfiriendo con la regeneración deseable de la madera dura usando un soplador de niebla para aplicar un tratamiento herbicida. Ella quiere asegurarse de que el tratamiento tenga una tasa de aplicación consistente, es decir, baja variabilidad no superior a 0.06 \(gal/m^2\). Recolecta datos de 11 sopladores de niebla y obtiene una varianza de muestra de 0.064 \(gal/m^2\) Usando un nivel de significancia del 5%, prueba la afirmación de que la varianza es significativamente mayor a 0.06 \(gal/m^2\)

3. Se cree que el precio de las acciones de una determinada compañía crecerá a un ritmo de 5 dólares por semana con una desviación típica de 1 dólar. Un inversor cree que las acciones no crecerán tan rápido. Las variaciones en el precio de las acciones se registran durante diez semanas y son las siguientes: 4, 3, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 1 y 2 dólares. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5%. Plantee las hipótesis nula y alternativa, exponga su conclusión e identifique el error tipo I.