Modelo Café Arábica - Mínimos Quadrados Ordinários

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
PROFESSOR: Sinézio Fernandes Maia

Autor

Josué de Meneses Lopes

Data de Publicação

26 de abril de 2024

Atividade em Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)

A atividade abaixo se refere a busca de um modelo robusto e não tendencioso em MQO, para encontrar a quantidade ótima de contratos de hedge para o mercado futuro de café arábica.

Configurações iniciais

Para evitar notações científicas:

options(scipen = 9999)
options(max.print = 100000)

Pacotes útilizados:

library(urca)
library(readxl)
library(tidyverse)
library(deflateBR)
library(dynlm)
library(ggplot2)
library(fBasics)
library(lmtest)
library(whitestrap)
library(FinTS)

Base de dados

dados <- read_excel("/Users/josue/Documents/R/Derivativos/modelo mqo/ICFFUT_(Mensal).xlsx")

Plotagem dos dados

ggplot(dados, aes(x = Data)) +
  geom_line(aes(y = Abertura, color = "Spot")) +
  geom_line(aes(y = Fechamento, color = "Futuro")) +
  labs(title = "CAFÉ ARÁBICA",
       x = "Data",
       y = "Preço",
       color = "Variáveis") +
  scale_color_manual(values = c("Spot" = "blue", "Futuro" = "red")) +
  theme_minimal()

Transformando em Séries Temporais e Deflacionando pelo pacote ‘deflateBR’

# Transformando em séries temporais
spot <- ts(dados$Abertura, start= c(2003,01), end=c(2024,03), frequency = 12)
futuro <- ts(dados$Fechamento, start= c(2003,01), end=c(2024,03), frequency = 12)

# Definindo o tempo
times <- seq(as.Date("2003/1/2"), by = "month", length.out = 255)

# Deflacionando
spotR <- deflate(spot, nominal_dates = times, real_date = "02/2024", index = "ipca")
futuroR <- deflate(futuro, nominal_dates = times, real_date = "02/2024", index = "ipca")

Plotando os Gráficos de Preço Spot e Futuro

par(mfrow = c(1,2))

plot(spotR, main = "CAFÉ ARÁBICA - Spot"); plot(futuroR, main = "CAFÉ ARÁBICA - Futuro")

Tranformando dem logaritmo

O objetivo é corrigir a heterocedásticidade

lspot <- log(spotR)
lfuturo <- log(futuroR)

plot(lspot, main = "CAFÉ ARÁBICA - log SPOT"); plot(lfuturo, main = "CAFÉ ARÁBICA - log FUTURO")

Fazendo a regressão em diferença

Para corrigir os problemas causados pela autocorrelação nós fazemos a regressão em diferença

lag <- stats::lag
Regressao <- dynlm(diff(lspot)~diff(lag(lfuturo,11)))
summary(Regressao)


Time series regression with "ts" data:
Start = 2003(2), End = 2023(4)

Call:
dynlm(formula = diff(lspot) ~ diff(lag(lfuturo, 11)))

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.21827 -0.05323 -0.00249  0.05326  0.32666 

Coefficients:
                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)            -0.009883   0.005375  -1.839   0.0672 .
diff(lag(lfuturo, 11)) -0.135043   0.063875  -2.114   0.0355 *
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.08345 on 241 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.01821,   Adjusted R-squared:  0.01413 
F-statistic:  4.47 on 1 and 241 DF,  p-value: 0.03553

Regressao


Time series regression with "ts" data:
Start = 2003(2), End = 2023(4)

Call:
dynlm(formula = diff(lspot) ~ diff(lag(lfuturo, 11)))

Coefficients:
           (Intercept)  diff(lag(lfuturo, 11))  
             -0.009883               -0.135043

Testes para resíduos

par(mfrow = c(1,1))
residuos <- residuals(Regressao); head(residuos)

    fev 2003     mar 2003     abr 2003     mai 2003     jun 2003     jul 2003 
 0.087184851 -0.213692794 -0.013379014  0.112945752 -0.090207365 -0.004864075

plot(residuos, type="l", col="red")
abline(h=0, col="blue", lw=3)

par(mfrow=c(1,2))
hist(residuos, main="", col="cadetblue", prob=T, xlab = names(residuos)[1], breaks = 30)
curve(expr=dnorm(x,mean=mean(residuos),sd=sd(residuos)),col="red",add= TRUE, lwd=2)
qqnorm(residuos, col="blue")
qqline(residuos, col="red")

Teste para a presença de normalidade

Teste de Jarque Bera:

jarqueberaTest(residuos)


Title:
 Jarque - Bera Normalality Test

Test Results:
  STATISTIC:
    X-squared: 4.5414
  P VALUE:
    Asymptotic p Value: 0.1032

Teste de Shapiro Wilk:

shapiro.test(residuos)


    Shapiro-Wilk normality test

data:  residuos
W = 0.99039, p-value = 0.1087

Testes para presença de heteroscedasticidade

Teste de Goldfeld-Quandt:

length(residuos); length(residuos)*0.15

[1] 243

[1] 36.45

gqtest(Regressao, fraction = 38.1, alternative = "greater")


    Goldfeld-Quandt test

data:  Regressao
GQ = 0.87604, df1 = 101, df2 = 100, p-value = 0.746
alternative hypothesis: variance increases from segment 1 to 2

Teste de Breusch-Pagan-Godfrey:

  bptest(Regressao)


    studentized Breusch-Pagan test

data:  Regressao
BP = 2.4905, df = 1, p-value = 0.1145

Teste de White:

library(whitestrap)
white_test(Regressao)

White's test results

Null hypothesis: Homoskedasticity of the residuals
Alternative hypothesis: Heteroskedasticity of the residuals
Test Statistic: 2.93
P-value: 0.231571

Testes de autocorrelação

Teste de Durbin Watson:

dwtest(Regressao)


    Durbin-Watson test

data:  Regressao
DW = 2.0771, p-value = 0.7271
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Teste de Breusch-Godfrey (1978):

bgtest(Regressao, order = 4)


    Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 4

data:  Regressao
LM test = 3.8461, df = 4, p-value = 0.4272

Teste de Arch:

ArchTest(residuos, lags = 4)


    ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects

data:  residuos
Chi-squared = 0.20293, df = 4, p-value = 0.9952

Teste de Dickey-Fuller

dfuller <- ur.df(residuos, lags = 0, type="drift")
summary(dfuller)


############################################### 
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
############################################### 

Test regression drift 


Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.21476 -0.05322 -0.00270  0.05033  0.32902 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.0003468  0.0053585  -0.065               0.948    
z.lag.1     -1.0426757  0.0644559 -16.177 <0.0000000000000002 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.08336 on 240 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5216,    Adjusted R-squared:  0.5196 
F-statistic: 261.7 on 1 and 240 DF,  p-value: < 0.00000000000000022


Value of test-statistic is: -16.1766 130.8488 

Critical values for test statistics: 
      1pct  5pct 10pct
tau2 -3.46 -2.88 -2.57
phi1  6.52  4.63  3.81

Conclusão

Corrigindo todos os problemas de heterocedásticidade, autocorrelação e mantendo uma distribuição normal, podemos concluir que para cada unidade de futuro, há uma perda de 13,50% no preço spot e aumenta o risco em 0,98%.