Introducción

En el estudio de la teoría de probabilidad, las variables aleatorias desempeñan un papel central, ya que proporcionan un medio matemático para cuantificar los resultados de procesos aleatorios. Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos principales: discretas y continuas, cada una con su propia metodología de análisis y conjuntos de distribuciones de probabilidad asociados. Las variables aleatorias discretas asumen valores específicos y contables, y son modeladas mediante distribuciones tales como la binomial, la geométrica y la Poisson. En contraste, las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, siendo ejemplos comunes de sus distribuciones la normal, la exponencial y la uniforme.

PUNTO 1

  1. BINOMIAL: El jugador argentino Lionel Messi marca 12 penaltis en 15 lanzamientos. Si lanza 8 penaltis, calcular la probabilidad de que:
      1. Marque menos de 7 penaltis.
      1. Marque exactamente 2 penaltis.
      1. NO marque siete o más.
      1. Marque más de un penalti.
      1. Interprete los resultados.

Código

# Datos
p <- 12 / 15  # Probabilidad de éxito (marcar)
n <- 8        # Número de penaltis lanzados

# Parte a: Probabilidad de marcar menos de 7 penaltis (0 a 6)
prob_menos_de_7 <- pbinom(6, size = n, prob = p)

# Parte b: Probabilidad de marcar exactamente 2 penaltis
prob_exacta_2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)

# Parte c: Probabilidad de NO marcar siete o más penaltis
prob_no_siete_o_mas <- 1 - pbinom(6, size = n, prob = p)

# Parte d: Probabilidad de marcar más de un penalti
prob_mas_de_1 <- 1 - pbinom(1, size = n, prob = p)

# Imprimir resultados
print(paste("Probabilidad de marcar menos de 7 penaltis:", round(prob_menos_de_7, 4)))
## [1] "Probabilidad de marcar menos de 7 penaltis: 0.4967"
print(paste("Probabilidad de marcar exactamente 2 penaltis:", round(prob_exacta_2, 4)))
## [1] "Probabilidad de marcar exactamente 2 penaltis: 0.0011"
print(paste("Probabilidad de NO marcar siete o más penaltis:", round(prob_no_siete_o_mas, 4)))
## [1] "Probabilidad de NO marcar siete o más penaltis: 0.5033"
print(paste("Probabilidad de marcar más de un penalti:", round(prob_mas_de_1, 4)))
## [1] "Probabilidad de marcar más de un penalti: 0.9999"

Gráfica

library(ggplot2)

# Crear un dataframe con los datos
dat.messi<- data.frame(
  Categoría = c("P(X < 7)", "P(X = 2)", "P(X >= 7)", "P(X > 1)"),
  Probabilidad = c(0.4967, 0.0011, 0.5033, 0.9999),
  Etiqueta = c("49.67%", "0.11%", "50.33%", "99.99%"),
  Color = c("blue", "red", "green", "purple")
)

# Crear la gráfica
p.messi <- ggplot(dat.messi, aes(x = Categoría, y = Probabilidad, fill = Color)) +
  geom_bar(stat = "identity", show.legend = FALSE) +
  geom_text(aes(label = Etiqueta), vjust = -0.3, color = "black") +
  labs(title = "Probabilidades de resultados de penaltis por Lionel Messi",
       x = NULL, y = "Probabilidad") +
  theme_minimal() +
  scale_fill_identity() +
  coord_cartesian(ylim = c(0, 1.1)) 

print(p.messi)

Análisis de probabilidades PUNTO 1

  • a) Probabilidad de marcar menos de 7 penaltis: 0.4967
    • 49.67% - Hay casi un 50% de chance de que Messi marque menos de 7 penaltis en 8 intentos.
  • b) Probabilidad de marcar exactamente 2 penaltis: 0.0011
    • 0.11% - Esta es una probabilidad extremadamente baja, lo que indica que es muy improbable que Messi, con su alta tasa de éxito histórica, marque solamente 2 penaltis en 8 intentos.
  • c) Probabilidad de NO marcar siete o más penaltis: 0.5033
    • 50.33% - Hay una probabilidad ligeramente superior al 50% de que Messi no marque al menos 7 penaltis de 8.
  • d) Probabilidad de marcar más de un penalti: 0.9999
    • 99.99% - La probabilidad de que marque más de un penalti es casi segura, lo que refuerza la expectativa de que es muy poco probable que Messi falle en múltiples ocasiones en una serie corta de intentos.

PUNTO 2

  1. POISSON: En el video juego Free Fire. el promedio de jugadores que llegan a conformar la escuadra en un determinado tiempo, es de 2,5 jugadores. Hallar la probabilidad de que en un determinado minuto haya:
  • a. Probabilidades individuales de llegada de jugadores:
    • \(P(X = 0)\)
    • \(P(X = 1)\)
    • \(P(X = 2)\)
    • \(P(X = 3)\)
    • \(P(X = 4)\) donde \(X\) representa el número de jugadores.
  • b. Probabilidad de que lleguen más de cuatro jugadores:
    • \(P(X \geq 4)\)
  • c. Probabilidad de que lleguen menos de 4 jugadores:
    • \(P(X < 4)\)
  • d. Realizar la gráfica:
    • Incluir el código para generar la gráfica en R.
  • e. Interpretación de los resultados:
    • Describir las implicaciones de las probabilidades calculadas y lo que muestra la gráfica.

Código

# Parámetro lambda
lambda_poisson <- 2.5

# Valores de k desde 0 hasta 9
k_valor <- 0:9  

# Calculando las probabilidades de Poisson para los valores de k
probabilidad <- dpois(k_valor, lambda_poisson)

# Probabilidades de 0 a 4 jugadores
prob_0_a_4 <- probabilidad[1:5]  
# Probabilidad de menos de 4 jugadores
prob_menos_de_4 <- sum(probabilidad[1:4])  
# Probabilidad de más de 4 jugadores
prob_mas_de_4 <- 1 - sum(probabilidad[1:5])  

# Mostrar los resultados calculados
print(prob_0_a_4)
## [1] 0.0820850 0.2052125 0.2565156 0.2137630 0.1336019
print(prob_menos_de_4)
## [1] 0.7575761
print(prob_mas_de_4)
## [1] 0.108822

Gráfica

library(ggplot2)
# Gráfica
jugadores <- c("0", "1", "2", "3", "4", ">4", "<4")
probabilidades <- c(0.0821, 0.2052, 0.2565, 0.2138, 0.1336, 0.1088, 0.7576)
etiquetas <- c("8.21%", "20.52%", "25.65%", "21.38%", "13.36%", "10.88%", "75.76%")
datos <- data.frame(Jugadores = jugadores, Probabilidad = probabilidades, Etiquetas = etiquetas)

p.jug <- ggplot(datos, aes(x = Jugadores, y = Probabilidad, fill = Jugadores)) +
  geom_bar(stat = "identity", width = 0.5) +  # Barras
  geom_text(aes(label = Etiquetas), vjust = -0.5, color = "black") +  # Etiquetas de texto sobre las barras
  labs(title = "Probabilidad de número de jugadores que llegan en determinado minuto",
       subtitle = "Distribución de llegada de jugadores",
       x = "Número de Jugadores",
       y = "Probabilidad") +
  scale_fill_brewer(palette = "Paired") +  # Colores
  theme_minimal() +  # Tema minimalista
  theme(axis.title.x = element_text(face = "bold", color = "#993333"),
        axis.title.y = element_text(face = "bold", color = "#993333"),
        plot.title = element_text(hjust = 0.5))  # Ajustes estéticos

print(p.jug)

Análisis de probabilidades PUNTO 2

  • Probabilidades para números específicos de jugadores:
  • ( P(X = 0): 0.0821, o 8.21%. Esto indica que hay aproximadamente un 8.21% de probabilidad de que no llegue ningún jugador en un minuto dado.
  • ( P(X = 1): 0.2052, o 20.52%. Hay una probabilidad del 20.52% de que llegue exactamente un jugador.
  • ( P(X = 2): 0.2565, o 25.65%. Esta es la probabilidad más alta entre las calculadas, indicando que es más probable que lleguen exactamente dos jugadores.
  • ( P(X = 3): 0.2138, o 21.38%. También es bastante probable que lleguen tres jugadores.
  • ( P(X = 4): 0.1336, o 13.36%. La probabilidad de que lleguen cuatro jugadores es menor, reflejando la tendencia decreciente a medida que el número se aleja del promedio.
  • Probabilidad de que lleguen más de cuatro jugadores: 0.1088, o 10.88%. Aunque es un evento menos común, existe una probabilidad de que lleguen más de cuatro jugadores en un minuto.
  • Probabilidad de que lleguen menos de cuatro jugadores: 0.7576, o 75.76%. Esta es una probabilidad bastante alta, sugiriendo que en la mayoría de los minutos, el número de jugadores que se unen está por debajo de cuatro.

PUNTO 3

  1. UNIFORME: En la estación del Transmilenio en Bogotá, el tiempo transcurrido entre el paso de dos buses sucesivos en la misma dirección es una variable continua \(X\), que sigue una distribución uniforme dentro del intervalo \((\frac{2}{3}, \frac{33}{2})\) minutos, equivalente a dos tercios y dieciséis y medio minutos respectivamente. Este análisis busca determinar la probabilidad de que un usuario que llega justo cuando un bus parte tenga que esperar cierto tiempo para el siguiente bus.

Cuando un usuario llega al andén y el bus acaba de partir, se calculan las probabilidades para los siguientes escenarios:

  • a. Esperar más de 5.8 minutos.
  • b. Esperar entre 2.7 y 9.3 minutos.

Código

a <- 2/3
b <- 33/2
L <- b - a

##  a. ¿más de 5,8 minutos?
P_mas_que_5_8 <- (b - 5.8) / L
P_mas_que_5_8
## [1] 0.6757895
##  b. ¿entre 2,7 y 9,3 minutos?
P_entre_2_7_y_9_3 <- (9.3 - 2.7) / L
P_entre_2_7_y_9_3
## [1] 0.4168421

Gráfica

library(ggplot2)

max_time <- 15
uniform_prob <- 1 / max_time

data <- data.frame(time = seq(0, max_time, length.out = 1000))

data$probability <- uniform_prob

ggplot(data, aes(x = time, y = probability)) +
  geom_line(color = "red", size = 1) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = probability), fill = "blue", alpha = 0.5, data = subset(data, time > 5.8)) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = probability), fill = "green", alpha = 0.5, data = subset(data, time > 2.7 & time < 9.3)) +
  labs(title = "Comparación de probabilidades de tiempo de espera",
       x = "Tiempo de espera (minutos)",
       y = "Probabilidad") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

Análisis de probabilidades PUNTO 3

  • Probabilidad de esperar más de 5.8 minutos (67.58%): Esta probabilidad indica que casi dos tercios de los tiempos de espera son mayores a 5.8 minutos. Para los usuarios, esto significa que, tras la partida de un bus, es bastante probable que deban esperar más de 5.8 minutos por el siguiente.
  • Probabilidad de esperar entre 2.7 y 9.3 minutos (41.68%): Esta probabilidad muestra que hay una probabilidad razonable (aproximadamente 42%) de que el tiempo de espera caiga dentro de este rango específico. Es una probabilidad significativa, pero también destaca que hay casi un 60% de posibilidad de que el tiempo de espera sea menos de 2.7 minutos o más de 9.3 minutos.

PUNTO 4

  1. EXPONENCIAL: La encuesta realizada por la U.Q.K.C en los tiempos del covid-19, mostró que el tiempo que se pasa utilizando una computadora para entretenimiento varía mucho según la edad. Los individuos de 75 años en adelante promediaron 0.3 horas (18 minutos) por día. Si estos tiempos siguen una distribución exponencial, encuentre la proporción del grupo que pasa:
    1. Menos de 12 minutos al día usando la computadora para entretenimiento.
    1. Más de dos horas al día usando la computadora para entretenimiento.
    1. Entre 30 y 90 minutos al día usando la computadora para entretenimiento.

Código

# Parámetro lambda para la distribución exponencial (tasa = 1 / media)
lambda <- 1 / 0.3

# a) Menos de 12 minutos al día (0.2 horas)
P_menos_de_12_min <- pexp(0.2, rate = lambda)

# b) Más de dos horas al día
P_mas_de_2_hours <- 1 - pexp(2, rate = lambda)

# c) Entre 30 y 90 minutos al día (0.5 a 1.5 horas)
P_entre_30_y_90_min <- pexp(1.5, rate = lambda) - pexp(0.5, rate = lambda)

print(paste("Probabilidad de menos de 12 minutos:", P_menos_de_12_min))
## [1] "Probabilidad de menos de 12 minutos: 0.486582880967408"
print(paste("Probabilidad de más de dos horas:", P_mas_de_2_hours))
## [1] "Probabilidad de más de dos horas: 0.0012726338013398"
print(paste("Probabilidad entre 30 y 90 minutos:", P_entre_30_y_90_min))
## [1] "Probabilidad entre 30 y 90 minutos: 0.182137655838476"

Gráfica

# Cargar la librería ggplot2
library(ggplot2)

# Parámetro lambda para la distribución exponencial
lambda <- 1 / 18  # 18 minutos es el promedio

# Definir los límites de tiempo para la gráfica
time_limit <- 180  # Por ejemplo, hasta 3 horas o 180 minutos

# Crear un data frame con la secuencia de tiempos y calcular la densidad
times <- seq(0, time_limit, length.out = 1000)
density <- dexp(times, rate = lambda)

# Calcular las probabilidades para los intervalos específicos
prob_less_12 <- pexp(12, rate = lambda)
prob_more_120 <- 1 - pexp(120, rate = lambda)
prob_between_30_90 <- pexp(90, rate = lambda) - pexp(30, rate = lambda)

# Data frame para las áreas sombreadas
data <- data.frame(
  time = times,
  density = density,
  less12 = ifelse(times < 12, density, NA),
  more120 = ifelse(times > 120, density, NA),
  between30and90 = ifelse(times >= 30 & times <= 90, density, NA)
)

# Gráfico de la distribución exponencial y las áreas sombreadas
ggplot(data, aes(x = time, y = density)) + 
  geom_line(color = "black") +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = less12), fill = "blue", alpha = 0.5) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = more120), fill = "purple", alpha = 0.5) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = between30and90), fill = "green", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Distribucion Exponencial del Tiempo de Uso de Computadora",
       x = "Tiempo de uso (minutos)",
       y = "Densidad de probabilidad",
       caption = paste("Probabilidad de < 12 min:", round(prob_less_12 * 100, 2), 
                       "%\nProbabilidad de > 120 min:", round(prob_more_120 * 100, 2), 
                       "%\nProbabilidad de entre 30 y 90 min:", round(prob_between_30_90 * 100, 2), "%")) +
  theme_minimal() +
  theme(plot.caption = element_text(hjust = 0, size = 8))

# Guardar la gráfica en un archivo
ggsave("exponential_distribution_elderly.png", width = 8, height = 5)

Análisis de probabilidades PUNTO 4

  • Probabilidad de menos de 12 minutos: 48.66% Hay una probabilidad considerablemente alta de que un individuo de 75 años o más pase menos de 12 minutos al día usando la computadora para entretenimiento.
  • Probabilidad de más de dos horas: 0.13% La probabilidad de que estos individuos pasen más de dos horas diarias en la computadora es extremadamente baja.
  • Probabilidad entre 30 y 90 minutos: 18.21% Aproximadamente el 18% de los individuos de 75 años o más pasan entre 30 y 90 minutos al día usando la computadora.

PUNTO 5

  1. NORMAL: El tiempo promedio que puede durar el efecto de un pesticida liberado en el medio ambiente es de 23,4 días, y una desviación estándar de 3,1 días. Si la variable continua tiempo se distribuye como una normal. encuentre la probabilidad:
    1. de que el efecto del pesticida dure más de 30 pero menos de 15 días. (para todos los casos, Graficar Y Concluir)

Código

mu <- 23.4  
sigma <- 3.1

# Calcular probabilidades
prob_menor_de_15 <- pnorm(15, mean = mu, sd = sigma)
prob_mas_de_30 <- 1 - pnorm(30, mean = mu, sd = sigma)
total_probabilidad <- prob_menor_de_15 + prob_mas_de_30

print(paste("Probabilidad de menos de 15 días:", prob_menor_de_15))
## [1] "Probabilidad de menos de 15 días: 0.00336743371680076"
print(paste("Probabilidad de más de 30 días:", prob_mas_de_30))
## [1] "Probabilidad de más de 30 días: 0.016625795810478"
print(paste("Probabilidad total (menos de 15 o más de 30 días):", total_probabilidad))
## [1] "Probabilidad total (menos de 15 o más de 30 días): 0.0199932295272787"

Gráfica

# Crear un rango de días para el gráfico
# Generar valores x y y para la distribución normal
x_valor <- seq(0, 50, length.out = 300)
y_valor <- dnorm(x_valor, mean = mu, sd = sigma)

# Crear el data frame para ggplot
dat.pest <- data.frame(Dias = x_valor, Densidad = y_valor)

# Graficar la distribución normal con las áreas de interés sombreadas
ggplot(dat.pest, aes(x = Dias, y = Densidad)) +
  geom_line(color = "blue") +  # Línea que muestra la distribución normal
  geom_area(data = subset(dat.pest, Dias < 15), fill = "orange", alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(dat.pest, Dias > 30), fill = "green", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Distribución normal del tiempo de duración del efecto del pesticida",
       subtitle = "Sombreado para días < 15 y días > 30",
       x = "Tiempo (días)",
       y = "Densidad de Probabilidad") +
  theme_minimal()

# Imprimir las probabilidades calculadas

Análisis de probabilidades PUNTO 5

  • Probabilidad de menos de 15 días: 0.34% La probabilidad de que el efecto del pesticida dure menos de 15 días es muy baja, aproximadamente 0.34%.
  • Probabilidad de más de 30 días: 1.66% También es relativamente poco común que el efecto del pesticida persista más de 30 días, con una probabilidad aproximada del 1.66%.
  • Probabilidad total (menos de 15 o más de 30 días): 2.00% La probabilidad combinada de que el efecto del pesticida dure menos de 15 días o más de 30 días es de aproximadamente 2.00%. Esto implica que, en el 98% de los casos, el efecto del pesticida durará entre 15 y 30 días.